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自然科学のための数学IIの期末試験

  • 必須問題の全てと、選択問題から2問を選んで答えること。選択問題は1問15点である。3問以上答えた場合は点数の高いものから2問の点数を採用する。
  • 途中経過も書くこと。答だけ書いてあって間違っていたら0点だが、途中経過が書いてあれば部分点が得られる。また、答だけが合っていてもどこから出てきた答なのか経過不明であれば減点することもある。
この試験は100点満点であり、
  • この試験の点数
  • この試験の点数×0.7+授業中小テストの平均点×0.3
のうち点数の高い方で成績を評価する。

必須問題1

以下の文章が正しいならば「○」と答え、間違っているならば、どこが間違っているかを説明せよ。
  • (1) 微分方程式d2f(x)dx2=xの一般解はf(x)=16x3+CCは任意の定数)である。
  • (2) dydx+5xy=x3という微分方程式は線形微分方程式だから、y=f(x)y=g(x)という解があれば、y=αf(x)+βg(x)α,βは定数)も解である。
  • (3) U(x,y)x=y,U(x,y)y=xである場合、U(x,y)x=yを積分することで解の一つはU(x,y)=xyとわかる。同様にU(x,y)y=xを積分してU(x,y)=xyを得るから、この二つを足すことでU(x,y)=2xyが解だとわかる。
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 (1)の答は「二階微分方程式の一般解は2個のパラメータを含まなくてはいけないから×」でよい(この事実をちゃんと認識しているかどうかを問いたい問題だった)。実際に解いてみせて本当の一般解f(x)=16x3+Bx+Cを出して「Bxが必要」という説明も、もちろんOK。

 (2)は重ね合わせの原理が適用できるのは「線形斉次微分方程式」の場合であるという点がわかっていれば「非斉次なので×」という答が出たはず。

この方程式は「線形非斉次方程式」なので、「非線形だから×」のような解答は減点した。

 (3)はもちろんU(x,y)=xyが正しく、二つの積分を足す必要はまったくない。よって「足すのは間違いだから×」や「U(x,y)=2xyではU(x,y)x=yにならないから×」などと答えて欲しい。

以上三つは授業中で「こんな間違いしちゃダメよ」と説明した部分をそのまま出したが、○○○と答えている人もいた。

必須問題2

以下の微分方程式を解き、yを求めよ。
  • (1) (ddx5)y=0
  • (2) ((ddx)28ddx+16)y=0
  • (3) yxdx+logxdy=0
  • (4) 2ydx+xdy=0
  • (5) dydx+y=ex       (積分定数などは自分で適当に置いてよい)
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 (1)は変数分離してもいいし、「微分して元の5倍になる(ddxy=5y)からy=Ce5x」のように答えてもよい。

 y=e5xのように未定パラメータを忘れたり、なぜかy=e5x+Cのように足し算で積分定数をつけている誤答があった。

 (2)はy=eλxと置いて特性方程式を作ると(λ4)2=0となって重解となる場合。よって、y=(Ax+B)e4xが答え。

 Axe4xの方の解を忘れている誤答が頻出。「二階微分方程式の一般解は2個のパラメータを含むはず」という感覚を持つことは大事。

 (3)は全微分形になっていてd(ylogx)=0と直せるから、ylogx=Cy=Clogxとなる。あるいは変数分離でdyy=dxxlogxとする。右辺の積分が難しいと思うかもしれないが、1xlogxdx=(logx)logxdxと考えれば積分結果はlogy=log(logx)+Cとなる。これを変形してy=Dlogx

全微分形であることに気づかず苦戦している人が多かったが、変数分離でも積分をちゃんと行えば解ける。

 (4)は積分因子としてxを掛ければ全微分形になり、d(x2y)=0と直せるから、y=Cx2。あるいは変数分離してdyy=2dxxとして、logy=2logx+C。これを変形してy=Dx2

 最後で変形を間違えてy=1x2+Dと足し算にしてしまった人が頻出したが、対数で足し算はlogを外すと掛算になる。

 (5)は、非斉次方程式だからまず斉次にするとdydx+y=0で、この解はy=Cex。ここで、

【解き方1】 右辺がexだから、特解もこれに比例するだろうと考えてy=Aexと置いて左辺に代入すると、2Aexとなるから、A=12なら解。よって特解は12ex、と考える。一般解はこれにCexを足す。

【解き方2】 定数変化法を使って、y=C(x)exと置く。代入すると ddx(C(x)ex)+C(x)ex=exdC(x)dxex=exdC(x)dx=e2xC(x)=12e2x+D D と計算する。答は12ex+Dex

必須問題3

水中に住むほぼ球形の生物を半径rの球とみなしてその成長を考える。
  • この生物は体表面から栄養を取り込むので、生物の成長速度は表面積S=4πr2に比例するだろう。
  • この生物は自分の身体を維持するために、体重に比例したエネルギーを必要とするだろう。そのエネルギーは体積V=4πr33に比例する。
以上二つを仮定する。よってこの生物の体積は単位時間ごとにKSだけ増え、kVだけ減ると考えられる(K,kは正の定数)。
  • (1) この生物の体積変化を表す微分方程式を立てよ。
  • (2) この生物の成長が止まっている。その時のrはいくらか。
  • (3) k0の場合の微分方程式を解け(ヒント:(2)の答が特解になる)。
  • (4) k=0だったら微分方程式の解はどうなるか。
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(1) dVdt=KSkV。あるいはS=4πr2,V=4π3r3を代入して、 d(4π3r3)dt=K×4πr2k×4π3r34πr2drdt=K×4πr2k×4π3r3drdt=Kk3r のように計算したものも可。

問題文に書いてある通りの情報を式にしていdVdt=KSkVを答えてくれればよかったのだが、何やら意味のわからない計算をして、KdSdtkdVdtなどと答えていた人がいた。

(2) (1)の答えの右辺が0になるときだから、r=3Kk

「止まっている」に半径が減っている状況を加えてr<3Kkと不等式にしている人もいた。

(3) 解くべき微分方程式は、drdt=Kk3r。これはr=3Kkという特解を持つ。斉次にしたdrdt=k3rの解はr=Aek3tであるから、特解を足してr=Aek3t+3Kkが解。

dVdt=KSkVV=4πr33を代入した d(4π3r3)dt=K×4πr2k×4π3r3 で、微分を実行せずいきなり4πr2で割って drdt=Kk3r としている答案があったが、もちろんそんなことはできない。微分をちゃんと実行してから割り算しないと。

 dVdt=KSkVからいきなり「斉次にして」と言ってdVdt=kVとしている人もいたが、この項KSは今考えている変数であるrを含んだ式なのだから、そんなことはできない。同様に、Sを勝手に定数だと思い込んで微分方程式を解いている人が多数いたが、何が変数で何が定数かはちゃんと把握して考えないと。

(4) k=0の場合の微分方程式はdVdt=KSで、 drdt=K となるから、 r=Kt+C が解。

必須問題4

直交座標(x,y)と極座標(r,θ)の関係はx=rcosθ,y=rsinθである。
  • (1) rx,yで表したのち、yを一定にしてxで偏微分したもの(rx)を求めよ。
  • (2) x=rcosθθを一定としてrで偏微分したもの(xr)を求めよ。
  • (3) 上で求めた二つの掛算、rx×xrは1にならないが、rx×xr+ry×yrなら1になることを確認せよ。
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(1) r=x2+y2なので、rx=xx2+y2

(2) xr=cosθ

(3) rx×xr=xcosθx2+y2=cos2θで1ではない。同様の計算を行なうとry×yr=sin2θなので、二つの和を取ると1になる。

選択問題A

  • (1) 微分方程式 d2dx2f(x)=f(x)+2 の一般解を求めよ。ただし、d2dx2f(x)=f(x)の解がf(x)=Aex+BexABは定数)であることを使ってよい。
  • (2) 同様に、微分方程式d2dx2f(x)=f(x)+xの一般解を求めよ。
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  • (1)斉次にした方程式の一般解は問題文に与えてあるので、非斉次の特解を求めて足せばよい。f(x)=2が特解になるから、f(x)=Aex+Bex2
  • (2)同様に、f(x)=Aex+Bexx

選択問題B

  • (1) 長径a、短形bの楕円の面積はS=πabである。互いに依存する三つの変数S,a,bについて、「bを一定としてSaで偏微分」、「Sを一定としてabで偏微分」、「aを一定としてbSで偏微分」の三つの計算をして、積Sa×ab×bSを計算せよ。
  • (2) 半径r、高さhの円柱の体積V=πr2hの3変数r,h,Vに関して、上の(1)と同様の計算を行え。
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  • (1) S=πab,a=Sπb,b=Spiaと式を作って、 Sa=πbab=Sπb2bS=1πaSa×ab×bS=πb×(Sπb2)×1πa=Sπab=1 となる。
  • 最後の=1まで計算して欲しかったところだが、そこまでやってなくても点は与えている。

  • (2) V=πr2h,r=Vπh,h=Vπr2と式を作って、 Vr=2πrrh=12Vπh3hV=1πr2Vr×rh×hV=2πr×12Vπh3×(1πr2)=1 となる。
  • こちらも最後の=1まで計算して欲しかったところだが、そこまでやってなくても点は与えている。

    これは授業で「1になる」ということを強調したので、実際に計算するときもそれがヒントになったはず。しかし、1になってない解も多かった。

選択問題C

速度wで噴射剤を噴射するロケットの微分方程式は (m+dm)(v+dv)dm(vw)=mv と書くことができた。このロケットが上向きに飛んでいて、重力mgが掛かるとすると、 (m+dm)(v+dv)dm(vw)=mvmgdt と重力による項が付け加わる。この微分方程式を解け。 ただし、ロケットは1秒にMずつの推進剤を噴射するものとする。よって、dm=Mdtdt秒だけ時間がたつとロケットの質量がMdtだけ減る、という式)が成り立つ。
←解答を見たい人はこの三角をクリック 式を整理すると、 dmw+mdv=mgdt ここでdt=dmMを使ってtを消去すると、 dmw+mdv=mgMdm 変数分離して、 dv=wdmmgMdm となり、積分の結果 v=wlogmmgM+C m=m0のときにv=0という初期条件ならば v=wlog(m0m)+(m0m)gM となる。

dm=Mdtとしてdmを消している人がいたが、その場合は変数であるmtで表さなくてはいけない。それをやらずにまるでmを定数のように扱っている間違いが多かった。

選択問題D

x>0で定義された関数f(x)が、f(xy)=f(x)+f(y)という条件を満たしているとする。
  • (1) f(1)=0を示せ。
  • (2) この関数はf(x)=f(1)xを満たすことを示せ。
  • (3) f(1)=aaは定数)とすると、f(x)=axである。この微分方程式を解いて、f(x)を求めよ。
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(1) y=1を代入すれば、f(x)=f(x)+f(1)となるから、f(1)=0

なぜかx=0を代入している人がいたが、問題文に「x>0で定義された関数」と書いてあるのだからそれはダメ。

(2) 両辺をyで微分すると、f(xy)の微分はxf(xy)になり、右辺のf(x)は微分すると消えるから、xf(xy)=f(y)。微分が終わったあとで、y=1と置くと、xf(x)=f(1)

f(x)=axを積分して、f(x)=alogx+CCは積分定数)。しかしf(1)=0にならなくてはいけないから、C=0。よって、f(x)=alogx

積分定数Cを残してしまっている人がいたが、(1)で考えた条件があるのだから積分定数は決まってしまう。

選択問題E

偏微分方程式(2x+y)f(x,y)=0を考えよう。
  • (1) f(x,y)=x+by(bは定数)と仮定して、これが解になるようにbを求めよ。その解を使うと、一般解はどのように書けるか。
  • (2) 変数分離形f(x,y)=X(x)Y(y)を仮定して解け。
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(1) (2x+y)(x+by)=2+bとなるから、b=2とすればよい。つまり、f(x,y)=x2yが一つの解。実はx2yの関数であればなんでも解だから、g(x)を任意の微分可能な関数として、g(x2y)が解。

(2) (2x+y)X(x)Y(y)を計算すると、 2d2X(x)dx2Y(y)=X(x)d2Y(y)dy22d2X(x)dx2X(x)=d2Y(y)dy2Y(y) となる。両辺が定数αだと仮定し、X(x)=eα2x,Y(y)=eαyが解であるから、eα2(x2y)が一つの解(一般解は、さまざまなαの値の解の線形結合)。

選択問題F

y=1acoshaxで表現される線(懸垂線)がある。図をヒントに、この線のx=0からx=Lまでの長さを求めよ。

←解答を見たい人はこの三角をクリック 図のヒントにあるように微小部分の長さはdx2+dy2で、それは (dydx)2+1dx=sinh2ax+1dx=coshaxdx である。これを0からLまで積分して、 L0coshaxdx=[1asinhax]L0=1asinhaL が線の長さである。