(1)の答は「二階微分方程式の一般解は2個のパラメータを含まなくてはいけないから×」でよい(この事実をちゃんと認識しているかどうかを問いたい問題だった)。実際に解いてみせて本当の一般解f(x)=16x3+Bx+Cを出して「Bxが必要」という説明も、もちろんOK。
(2)は重ね合わせの原理が適用できるのは「線形斉次微分方程式」の場合であるという点がわかっていれば「非斉次なので×」という答が出たはず。
この方程式は「線形非斉次方程式」なので、「非線形だから×」のような解答は減点した。
(3)はもちろんU(x,y)=xyが正しく、二つの積分を足す必要はまったくない。よって「足すのは間違いだから×」や「U(x,y)=2xyでは∂U(x,y)∂x=yにならないから×」などと答えて欲しい。
以上三つは授業中で「こんな間違いしちゃダメよ」と説明した部分をそのまま出したが、○○○と答えている人もいた。
(1)は変数分離してもいいし、「微分して元の5倍になる(ddxy=5y)からy=Ce5x」のように答えてもよい。
y=e5xのように未定パラメータを忘れたり、なぜかy=e5x+Cのように足し算で積分定数をつけている誤答があった。
(2)はy=eλxと置いて特性方程式を作ると(λ−4)2=0となって重解となる場合。よって、y=(Ax+B)e4xが答え。
Axe4xの方の解を忘れている誤答が頻出。「二階微分方程式の一般解は2個のパラメータを含むはず」という感覚を持つことは大事。
(3)は全微分形になっていてd(ylogx)=0と直せるから、ylogx=Cでy=Clogxとなる。あるいは変数分離でdyy=−dxxlogxとする。右辺の積分が難しいと思うかもしれないが、1xlogxdx=(logx)′logxdxと考えれば積分結果はlogy=−log(logx)+Cとなる。これを変形してy=Dlogx。
全微分形であることに気づかず苦戦している人が多かったが、変数分離でも積分をちゃんと行えば解ける。
(4)は積分因子としてxを掛ければ全微分形になり、d(x2y)=0と直せるから、y=Cx2。あるいは変数分離してdyy=−2dxxとして、logy=−2logx+C。これを変形してy=Dx2。
最後で変形を間違えてy=1x2+Dと足し算にしてしまった人が頻出したが、対数で足し算はlogを外すと掛算になる。
(5)は、非斉次方程式だからまず斉次にするとdydx+y=0で、この解はy=Ce−x。ここで、
【解き方1】 右辺がexだから、特解もこれに比例するだろうと考えてy=Aexと置いて左辺に代入すると、2Aexとなるから、A=12なら解。よって特解は12ex、と考える。一般解はこれにCe−xを足す。
【解き方2】 定数変化法を使って、y=C(x)e−xと置く。代入すると ddx(C(x)e−x)+C(x)e−x=exdC(x)dxe−x=exdC(x)dx=e2xC(x)=12e2x+D (Dは積分定数) と計算する。答は12ex+De−x。
(1) dVdt=KS−kV。あるいはS=4πr2,V=4π3r3を代入して、 d(4π3r3)dt=K×4πr2−k×4π3r34πr2drdt=K×4πr2−k×4π3r3drdt=K−k3r のように計算したものも可。
問題文に書いてある通りの情報を式にしていdVdt=KS−kVを答えてくれればよかったのだが、何やら意味のわからない計算をして、KdSdt−kdVdtなどと答えていた人がいた。
(2) (1)の答えの右辺が0になるときだから、r=3Kk。
「止まっている」に半径が減っている状況を加えてr<3Kkと不等式にしている人もいた。
(3) 解くべき微分方程式は、drdt=K−k3r。これはr=3Kkという特解を持つ。斉次にしたdrdt=−k3rの解はr=Ae−k3tであるから、特解を足してr=Ae−k3t+3Kkが解。
dVdt=KS−kVにV=4πr33を代入した d(4π3r3)dt=K×4πr2−k×4π3r3 で、微分を実行せずいきなり4πr2で割って drdt=K−k3r としている答案があったが、もちろんそんなことはできない。微分をちゃんと実行してから割り算しないと。
dVdt=KS−kVからいきなり「斉次にして」と言ってdVdt=−kVとしている人もいたが、この項KSは今考えている変数であるrを含んだ式なのだから、そんなことはできない。同様に、Sを勝手に定数だと思い込んで微分方程式を解いている人が多数いたが、何が変数で何が定数かはちゃんと把握して考えないと。
(4) k=0の場合の微分方程式はdVdt=KSで、 drdt=K となるから、 r=Kt+C が解。
(1) r=√x2+y2なので、∂r∂x=x√x2+y2。
(2) ∂x∂r=cosθ。
(3) ∂r∂x×∂x∂r=xcosθ√x2+y2=cos2θで1ではない。同様の計算を行なうと∂r∂y×∂y∂r=sin2θなので、二つの和を取ると1になる。
最後の=−1まで計算して欲しかったところだが、そこまでやってなくても点は与えている。
こちらも最後の=−1まで計算して欲しかったところだが、そこまでやってなくても点は与えている。
これは授業で「−1になる」ということを強調したので、実際に計算するときもそれがヒントになったはず。しかし、−1になってない解も多かった。
dm=−Mdtとしてdmを消している人がいたが、その場合は変数であるmをtで表さなくてはいけない。それをやらずにまるでmを定数のように扱っている間違いが多かった。
(1) y=1を代入すれば、f(x)=f(x)+f(1)となるから、f(1)=0。
なぜかx=0を代入している人がいたが、問題文に「x>0で定義された関数」と書いてあるのだからそれはダメ。
(2) 両辺をyで微分すると、f(xy)の微分はxf′(xy)になり、右辺のf(x)は微分すると消えるから、xf′(xy)=f′(y)。微分が終わったあとで、y=1と置くと、xf′(x)=f′(1)。
f′(x)=axを積分して、f(x)=alogx+C(Cは積分定数)。しかしf(1)=0にならなくてはいけないから、C=0。よって、f(x)=alogx。
積分定数Cを残してしまっている人がいたが、(1)で考えた条件があるのだから積分定数は決まってしまう。
(1) (2∂∂x+∂∂y)(x+by)=2+bとなるから、b=−2とすればよい。つまり、f(x,y)=x−2yが一つの解。実はx−2yの関数であればなんでも解だから、g(x)を任意の微分可能な関数として、g(x−2y)が解。
(2) (2∂∂x+∂∂y)X(x)Y(y)を計算すると、 2d2X(x)dx2Y(y)=−X(x)d2Y(y)dy22d2X(x)dx2X(x)=−d2Y(y)dy2Y(y) となる。両辺が定数αだと仮定し、X(x)=eα2x,Y(y)=e−αyが解であるから、eα2(x−2y)が一つの解(一般解は、さまざまなαの値の解の線形結合)。