自然科学のための数学2015年度第13講

微分積分学の基本定理

えらく大層な名前だが、実は単純なことで、一文で表すならば「積分の逆の演算が微分である」ということに過ぎない。

説明の前にもう一度確認しておくが、定積分$\int_a^b f({x})\mathrm dx$という量は、関数$f({x})$と、下限$a$と上限$b$のすべてに依存する。とりあえず関数$f({x})$の形と下限$b$は「変化しない」としておくと、定積分$\int_a^b f({x})\mathrm dx$は上限$b$の関数であると考えてもよい。つまり、

\begin{equation} F({b})=\int_a^{{b}}f({x})\mathrm dx \end{equation}

のような関数$F({b})$を考える(実際にはこの量は$a$にもよるし、関数$f$の形にもよるので、$F_f(a,b)$とでも書くべきであろうが、ここでは$a$は変化しない定数だとして扱っているので略している)。この$F({b})$は後で定義する「原始関数」の一例である。

ここで、${b}$の変化による$F({b})$の変化の割合(つまり、微分)を考えると、

微積分学の基本定理の一つの表現
$F({b})=\int_a^{{b}} f({x})\mathrm dx$を${b}$で微分すると、${\mathrm d \over \mathrm db}\left(\int_a^{{b}} f({x})\mathrm dx\right)=f({b})$となり、元の関数(ただし、変数は${b}$)に戻る。

ということになる。

これが成り立つのは、ここまでやった定積分という計算の意味をわかっていればわかると思う。図でちゃんとその意味を確認しておこう。

積分の上限${b}$をちょっと変化させる。積分の結果である面積は図に示したの分だけ増加することになる。この部分を例によって「幅$\mathrm db$、高さ$f({b})$の長方形」と考えると、$F({b})$の変化量は$f({b})\mathrm db$である(厳密には後に${\cal O}(\mathrm db^2)$がつく)。

\begin{equation} F({b}+\mathrm db)=F({b})+f({b})\mathrm db \end{equation}

という式は、微分の式$f({x}+\mathrm dx)=f({x})+f'({x})\mathrm dx$と見比べれば、$F'({b})=f({b})$だということである。これで微積分学の基本定理が示せた。

別の言い方をすれば、微小な範囲の積分は

\begin{equation} \int_{{x}}^{{x}+{\small \mathrm dx}}f({y})\mathrm dy = f({x})\mathrm dx + {\cal O}(\mathrm dx^2) \end{equation}

のように書くこともできるということである。

微分積分学の基本定理のありがたみは、どちらかというと面倒な計算である「積分」を「微分の逆」という形で計算できることであるこの講義ノートをここまで読んだ人は、もはや「微分は簡単」という気持ちになっているはずだ、と著者は思っているが、どうだろう?。たとえば我々は${\mathrm d \over \mathrm dx}\left({x}^\alpha\right)=\alpha {x}^{\alpha-1}$をすでに知っているので、前に区分求積でやった計算を経ずとも、

\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}\left({x}^\alpha\right)=\alpha {x}^{\alpha-1}~~の逆として~~ \int_a^b \alpha{x}^{\alpha-1} \mathrm dx =b^\alpha - a^\alpha \end{equation}

を得る。あるいは、$\alpha=\beta+1$として両辺を$\alpha$で割って、

\begin{equation} \int_a^b {x}^{\beta} \mathrm dx ={b^{\beta+1}\over \beta+1} - {a^{\beta+1}\over \beta+1}\label{teisekibunxalpha} \end{equation}

という式を作ることができる。以下でもこれを使って計算しにくい積分を求めていく。

原始関数と不定積分

前節で使った記号$F({x})$は、「定積分の結果を上限の関数として表したもの」であったが、結局それは「微分したら積分する前の関数に戻るもの」でもあった。そこでより一般的に「原始関数(primitive function)」という関数$F({x})$を、

\begin{equation} 微分するとf({x})になる、すなわち f({x})={\mathrm d \over \mathrm dx}F({x})となる関数\label{gensikansuudef} \end{equation}

で定義する(「原始」という言葉はもちろん「微分する前」ということ)。ただし、「定積分の結果を上限の関数として表したもの」は原始関数になるが、原始関数は常に「定積分の結果を上限の関数として表したもの」になるとは限らない。

ある原始関数が求められたとすると、それに任意の定数を足したものも、やはり原始関数である。

なぜならば、

\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}\left(F({x})+C\right) ={\mathrm d \over \mathrm dx}F({x})+\underbrace{{\mathrm d \over \mathrm dx}C}_{0} =f({x}) \end{equation}

となるから、$f({x})$の原始関数$F({x})$に定数を足した$F({x})+C$もやはり$f({x})$の原始関数たる条件(微分したら$f({x})$になる)を満たす。原始関数は一つに決まらないということになるが、原始関数の定義が必然的にそうなるようにできているのだから仕方がない。そもそも微分という演算が「定数を消してしまう」演算なので、「微分の逆」を考えた時に定数の分だけ決まらないのは当然である。

原始関数がわかれば、

\begin{equation} \int_{x_1}^{x_2}f({x})\mathrm dx = F(x_2)-F(x_1)=\bigl[F({x})\bigr]_{x_1}^{x_2}\label{teisekibungensi} \end{equation}

のように「上限での原始関数の値$-$下限での原始関数の値」で計算できる。この量を(上の式の最後でも書いたように)$\bigl[F({x})\bigr]_{x_1}^{x_2}$という記号を使って書く。この式においても、原始関数$F({x})$の「定数$C$を足してもやはり原始関数である」という性質は変わらない。

\begin{equation} \int_{x_1}^{x_2}f({x})\mathrm dx = \bigl[F({x})+C\bigr]_{x_1}^{x_2} =F(x_2)+C-\left(F(x_1)+C\right)=F(x_2)-F(x_1)\label{kieruteisuu} \end{equation}

となってこの式の結果に$C$は影響しないのである。

ここまでで考えた例では、${x}^\alpha$の原始関数が${{x}^\alpha\over \alpha+1}$である。上の式を見ると、

\begin{equation} \int_a^b {x}^{\beta} \mathrm dx =\left[{{x}^\alpha\over \alpha+1}\right]_a^b ={b^{\beta+1}\over \beta+1} - {a^{\beta+1}\over \beta+1} \end{equation}

と書けることがわかるが、実際、

\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}\left({x}^{\alpha+1}\right)=(\alpha+1){x}^{\alpha} \end{equation}

となっている。

$c$を下限とした定積分$\int_c^{{x}}f({y})\mathrm dy$は原始関数の一つである。積分の例$\int_{x_1}^{x_2}{x}\mathrm dx$の場合、原始関数の一つは

\begin{equation} F({x})=\int_c^{{x}}{y}\mathrm dy=\left[{{y}^2\over 2}\right]_c^{{x}} ={{x}^2\over 2}-{c^2\over 2} \end{equation}

ということになる(当たり前だが微分すると${x}$に戻る)。$c$がなんでもよいので、最後についている$-{c^2\over 2}$の分だけ、原始関数$F({x})$は不定性を持つ。これは上の$C$が任意であったことの反映である実は$-{c^2\over 2}$は常に0以下だが、$C$は正の数であってもよい(任意)から、$C$の方が範囲が広い。原始関数が必ずしも「定積分の結果の上限の関数」という形にならないと書いたのはこういう例があるからである。

関数$f({x})$から原始関数$F({x})$を求めるという演算を「不定積分(indefinite integral)」と呼ぶ。不定積分のときは上限と下限を指定せずに、

\begin{equation} \int \mathrm dx f({x})= F({x})~~~または\int f({x})\mathrm dx=F({x}) \end{equation}

のように書く。定積分の記号を流用して同じような形の式に書いているが、不定積分という操作は「関数$f({x})$から原始関数$F({x})$へ」という対応関係微分の「関数$f({x})$から導関数$f'({x})$へ」という対応関係の逆である。であり、一方の定積分は「関数$f({x})$と領域(下限〜上限)から、積分結果という一つの数へ」という対応関係である。

ちょうど、微分を「微分演算子${\mathrm d \over \mathrm dx}$を掛ける」ことで表現したように、不定積分という演算を「前から$\int$を、後ろから$\mathrm dx$を掛ける」$\int \mathrm dx f({x})$という書き方の時は「前から$\int\mathrm dx$を掛ける」でよい。という演算だとして表現していることになる。定積分の$\mathrm dx$は「微小な変化量」という意味が明確だったが、それに比べると不定積分の$\mathrm dx$はむしろ「積分という演算を表現する記号$\int \mathrm dx$」の一部であると言える。

不定積分は名前の通り、定数を付加できる分だけ決まらない。だから、

\begin{equation} \int {x}\mathrm dx = {{x}^2\over 2}+C \end{equation}

のように「まだ決まってない定数(上の式の場合$C$)」をつけて結果を示す。これを「積分定数(constant of integration)」と呼ぶ(文字はよく$C$を使うがそうでなくてはいけないわけではない)。積分定数は不定積分の時は必要だが、定積分の時はどうせ消えてしまう運命にあるので、定積分に積分定数をつける必要はない(つけたければつけてもよいが)。

その他、いろんな関数の積分

いろいろな関数の積分

三角関数の積分

三角関数の微分はすでに求めてあるので、「微積分学の基本定理」を使えば積分も簡単と言えば簡単なのだが、ここではあえて「足算の化け物」としての定積分としても三角関数の積分を求めよう。

たとえば$\int \cos {\theta}\mathrm d\theta$はどんな量になるだろうか。これはグラフを描いて面積を、と言われてもちょっとどうしていいのかわからないかもしれない。そこでこう考える。まず、$\mathrm d\theta\cos {\theta}$という「長さ」を図に描いてみるのである。

上の図にあるように、斜辺が1の直角三角形の角度を${\theta}\to{\theta}+\mathrm d\theta$と変化させた時の「直角三角形の高さの変化」が$\mathrm d\theta\cos {\theta}$である。

これを逆に足していくと考えると、${\theta}=0$から${\theta}=\theta_0$まで足せば、その時の直角三角形の高さ$\sin \theta_0$になるだろう、と予想される。これから我々は、

\begin{equation} \int_0^{\theta_0} \cos {\theta} \mathrm d\theta = \sin \theta_0 \end{equation}

を得る。これは、

\begin{equation} \int_0^{\theta_0} \cos {\theta} \mathrm d\theta =\bigl[\sin {\theta}\bigr]_0^{\theta_0} =\sin\theta_0 - \sin 0 =\sin \theta_0 \end{equation}

と考えることもできる。つまり、$\cos{\theta}$の原始関数は$\sin{\theta}$である(${\mathrm d \over \mathrm d\theta}\sin {\theta}=\cos{\theta}$だからこうなってよい)。

同様に(上の図参照)、$\mathrm d\theta \sin {\theta}$という量をどんどん足していくと考えて、

\begin{equation} \int_0^{\theta_0} \sin {\theta} \mathrm d\theta = 1-\cos \theta_0 \end{equation} も得ることができる。こちらも原始関数を使った形で書こう。$\cos 0=1$であることを考えると、 \begin{equation} \int_0^{\theta_0} \sin {\theta} \mathrm d\theta = 1-\cos\theta_0= -\cos\theta_0 - (-\cos 0)=\bigl[-\cos{\theta}\bigr]_0^{\theta_0} \end{equation} と書くことができるので、$\sin{\theta}$の原始関数は $-\cos{\theta}$である(${\mathrm d \over \mathrm d\theta}\cos{\theta}=-\sin{\theta}$すなわち${\mathrm d \over \mathrm d\theta}\left(-\cos{\theta}\right)=\sin {\theta}$)。 $\sin,\cos $に比べ、$\tan$はちょっとややこしいので、図形ではなく「原始関数を求める」方向で考えよう。$\tan \theta={\sin \theta\over \cos \theta}$という式と、$\log f(\theta)$の微分の式を見比べる。 \begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm d\theta}\left( \log{ f({\theta})} \right)={1\over f({\theta})}{\mathrm d \over \mathrm d\theta}f({\theta}),~~~~ \tan{\theta}={\sin{\theta}\over \cos {\theta}} =-{1\over \cos{\theta}}{\mathrm d \over \mathrm d\theta}\left( \cos {\theta}\right) \end{equation} 最後で、$\cos {\theta}$を微分すると$-\sin {\theta}$であることを使った。これを見比べると、 \begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm d\theta}\left( -\log\left(\cos {\theta}\right) \right)={\sin {\theta}\over \cos{\theta}}=\tan {\theta} \end{equation} とわかる。ゆえに、 \begin{equation} \int \tan {\theta} \mathrm d\theta = -\log\left(\cos {\theta}\right) \end{equation} である。

4.4.2 ${1\over x}$の積分

前に出した${x}^\alpha$の積分の式$\left(\hbox{不定積分の形で書くと}\int {x}^\alpha\mathrm dx = {{x}^{\alpha+1}\over \alpha+1}+C\right)$は$\alpha\neq -1$のときに正しい式であった。では$\alpha=-1$の時、つまり、$\int {1\over {x}}\mathrm dx$がどうなるか、まだ求めていない。しかしすでに「微積分学の基本定理」を知っているので「微分して${1\over x}$になるもの」を探せばよいことになる。前に示したように、${\mathrm d \over \mathrm dx}\log {x}={1\over {x}}$である。よって、 \begin{equation} \int {1\over {x}}\mathrm dx = \log{x}+C\label{intoneoverx} \end{equation} となる。
ここで注意しておいて欲しいのは、${x}$が負の場合。この点を気にして右辺を$\log|{x}|+C$のように絶対値をつけて表現することもある。しかし$\log(-1)=\mathrm i\pi$と考えればこれは$\mathrm e^{\mathrm i\pi}=-1$だから成り立つ式…なのだが一つ落とし穴があって、$\mathrm e^{-\mathrm i\pi}$も$\mathrm e^{3\mathrm i\pi}$も$-1$(実際のところ、$n$を任意の整数として、$\mathrm e^{(2n+1)\mathrm i\pi}=-1$)であるから、$\log(-1)=-\mathrm i\pi$または$\log(-1)=3\mathrm i\pi$としてもよいのである(一般的には、$n$を任意の整数として$\log(-1)=(2n+1)\mathrm i\pi$)。たいていの場合、たくさんの値の代表として$\log(-1)=\mathrm i\pi$を選ぶ。、${x}$が負の時は${x}=-|{x}|$とすれば、
\begin{equation} \log {x}= \log(-|{x}|)=\log|{x}|+ \log(-1)=\log|{x}|+\mathrm i\pi \end{equation}
となり、絶対値があるかないかは定数$\mathrm i\pi$がつくかつかないかの差だということになる。よってこの$\mathrm i\pi$も含めて積分定数$C$にすると思えば、絶対値なしで問題ない。
もう一つ注意しておくと、${1\over {x}}$は${x}=0$で不連続であり、実は${x}>0$と${x}<0$の関数はつながっていない。よって積分結果も正の領域と負の領域では別物である。したがって不定積分は厳密には、
\begin{equation} \int {1\over {x}}\mathrm dx = \begin{cases} \log{x}+C_1& {x}<0のとき\\ \log{x}+C_2& {x}>0のとき \end{cases} \end{equation}
のように領域により別の積分定数をもってよい(微分すればちゃんと${1\over {x}}$に戻る)。これは他の不連続な点を持つ関数でも同様である。

4.4.3 指数関数の不定積分

指数関数(代表例として$\mathrm e^x$)の積分は簡単である。なぜなら$\mathrm e^x$は「微分しても変化しない関数」なのだから、積分しても変化しないに決っている。よって、

{指数関数の不定積分} \begin{equation} \int \mathrm e^{{x}} \mathrm dx = \mathrm e^{{x}} +C~~~~(Cは積分定数) \end{equation}

となる。「変わらない」と言ってもこっちには積分定数が付く点は違う。そのため「積分の積分」を考えると、

\begin{equation} \int\left(\int \mathrm e^{{x}} \mathrm dx\right)\mathrm dx = \int\left( \mathrm e^{{x}} +C\right)\mathrm dx =\mathrm e^{{x}} + C {x} +D \end{equation}

となる。ここで$D$は2個めの積分定数で、1個めの$C$とは別の数であってよい。

練習問題

以下の不定積分(2回)を実行せよ。
  1. $\int\left[\int \sin x \mathrm dx\right]\mathrm dx$
  2. $\int\left[\int {1\over x^2} \mathrm dx\right]\mathrm dx$

 1問目は $$ \begin{array}{rl} \int\left[\int \sin x \mathrm dx\right]\mathrm dx =&\int\left[-\cos x +C\right]\mathrm dx\\ =& -\sin x +C x +D \end{array} $$ となる(積分定数は二つ、$C$と$D$が現れる)。

 2問目は不連続点があるので注意が必要で、 $$ \begin{array}{rl} \int\left[\int {1\over x^2} \mathrm dx\right]\mathrm dx =&\begin{cases} \int\left[-{1\over x}+C_1 \right]\mathrm dx& x\gt0\\ \int\left[-{1\over x}+C_2 \right]\mathrm dx& x\lt0 \end{cases}\\ =&\begin{cases} -\log x+C_1x+D_1& x\gt0\\ -\log (-x) +C_2x+D_2& x\lt0 \end{cases}\\ \end{array} $$ となる。最後の$\log(-x)$は$\log|x|$でもよいし、$\log x$であっても($\mathrm i\pi$だけ$D_2$がずれるだけのことなので)かまわない。

 一個目の積分ですでに$C_1,C_2$の二つの積分定数があることに注意。${1\over x^2}$という関数も$x=0$で不連続であるから、その点を超える部分に関しては連続性がないので、正負で積分定数が変わってよい。この点を間違えた人は多かった。


 ${1\over x^2}$の積分が$-{1\over x}+C$で、$C$の値が$x$の正負の領域で変わってもいいのは、次のグラフを見るとわかる。

 $y={1\over x}+3$と$y={1\over x}-2$は、どちらも微分すると$y'=-{1\over x^2}$である。よって「正の範囲で$y={1\over x}-2$、負の範囲で$y={1\over x}+3$」というのも立派な$y'=-{1\over x^2}$の不定積分になる(これは$x=0$でつながるべきではないからである。連続的な関数なら正の領域で決めた積分定数は、負の領域での積分定数も決めてしまう)。

微積分学の基本定理 受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

$\int$と$\sum$の意味が違うのはわかったんですが、ということは$\lim_{n\to\infty}{1\over n}\sum_{k=0}^\infty f(x)$とすれば単なる積分と同じ考えになりますか。
まだちょっと足りない。$f(x)$の$x$が$k$に応じて変わらなきゃいけないし、最初にある${1\over n}$はこのままだと長さになってないから$\mathrm dx$にならない。たとえば、$\lim_{n\to\infty}{\Delta x\over n}\sum_{k=0}^n f\left(x+k{\Delta x\over n}\right)$とかなら、$x$から$x+\Delta x$までの積分になる。

$x=0$で不連続なものでは場合分けが必要だと初めて知りました。今後注意していきたいと思います。
不連続点があると、そこで積分がある意味「リセット」されてしまいます。

不連続の場合わけを忘れないようにしたいです。
これに限らず、関数の不連続点には注意が必要です。

まちがって微分してしまいました。すみません。
いや謝ることではないので。

不連続関数の積分定数についてしらなかったので新鮮な驚きがあった。
不連続点を持つ関数には注意しましょう。

積分定数の意味がよくわかった。
今後重要です。

微分・積分は本当にまったく逆なので、すごくややこしい。本当にややこしい。
しかし一方しかなかったら困るので、逆も両方あって欲しい。

今日の授業ちゃんと分かったのでテストもできました! 場合分けには注意して微積をします。
はい、微積に限らず不連続点がある関数は要注意です。

最後の問題を間違えてしまい少し悔しかったがもう間違えなくなると思います。
次があったら気をつけましょう。

関数が不連続の時は積分定数を分けるということを学んだ。
不連続点には要注意。

積分について詳しく分かった。
それはよかった。

いい復習になりました。ヒントのおかげでちゃんと計算はできました。
じっくり復習していきましょう。

2階積分が楽しくなった。微分方程式が楽しみです。
微分方程式は最後の授業でやって、残りは後期のIIですね。

スピードが速かったのでしっかり復習していきたいです。指をお大事に。
はいどうも。復習よろしく。

sin,cosの積分を図から考える話が楽しかった。最近はラブライブに熱中してます。
じっくり図描いてみてください。

$y={1\over x}$の積分で積分定数の場合わけをした。$y={1\over x^2}$で積分の仕方を少し迷った。場合わけのタイミングを誤った。ややこしかった。
ややこしくても、必要なことなのだからやるしかないのです。

$\int\left[\int {1\over x^2}\mathrm dx\right]\mathrm dx$の問題で${1\over x^2}$の積分をする自転で場合分けをするのを忘れていた…。
不連続関数が出てきたときは気をつけましょう。

場合分けのタイミングを間違えたので、気をつけたい。
「なぜ場合分けが必要か?」を注意しましょう。

最後の問題を間違えてしまいました。場合分けを$\int{1\over x^2}\mathrm dx$の段階で忘れていたんどえ気をつけたいです。
どこで(どのような理由で)場合分けが必要になったのかを理解しておきましょう。

$\int{1\over x}\mathrm dx=\begin{cases}\log x +C_1&x\gt0\\log x+C_2&x\lt 0\end{cases}$場合分けが問題でできなかった。気をつけます。
不連続な関数が出た時は注意しましょう。

積分のテストで途中まで変な積分をしていたので自分がおそろしくなりました。これからはもっと集中して取り組みます。
積分や微分はすいすいとできるようになるまで、練習してください。

$x$が連続・不連続について考えたことがなかったので、これからは連続不連続に注意して積分しないといけないことがわかった。
不連続な場合は注意を。

普通にやっていた積分を忘れていた。
  • 不連続関数は積分定数を分ける。
  • 積分定数も積分すると$x$がつく。
ということを覚える。
「覚える」じゃなくて「なぜそうしないといけないかを理解する」ことが大事。人は覚えたことは忘れる。

積分定数は2回微分で2個出てくる。不連続では場合わけ。
「2回積分で」2個ね。

不定積分についてよくわかった。
それはよかった。

積分するとき、定積分と不定積分があって不定積分の積分定数の置き方が重要だとわかった。場合分けするのも大変だった。今回の内容はしっかり復習します。
正と負の二つしか分けてないんだから、そんなに「大変」じゃないはず。

積分を何回も行なうと、積分定数が増えてややこしい。問題が最後間違いに気づいたが、書き直す時間がなかった。
定数2個程度で「ややこしい」なんて言っててはダメです。

微分と積分の関係がよくわかりました! ちょっとわすれているところあったので思い出せてよかったです!
穴は埋めておきましょう。

私もよく積分定数を忘れてしまう人なので気をつけたいです。不連続のときに場合分けしないといけないのも気をつけます。
積分定数は大事なので、注意。

$x=0$で不連続な関数は場合わけをして積分定数を変える必要があることがわかった。また、$\log x$で$xが負のときに絶対値をつける理由が$\log(-1)$で$\mathrm i\pi$が出てくるのを避けるためだということがわかり、面白いと思った。
逆にいえば、iが出てきてもいいなら絶対値は不要です。

「不連続で積分定数を場合分け」これに注意する必要があります。
注意してください。

${1\over x}$の積分が高校の教科書で絶対値がついていた理由が$x=0$で不連続なのが関係していると分かって驚きました。
絶対値が必要なのは虚数を出したくないからで、そこを気にしなければ絶対値なしでも大丈夫。

場合分けは大切だなと思いました(しみじみ)。$x<0$のとき$\log x$に絶対値をつけなくていい理由は初めてわかりました。(突き指は大丈夫ですか、痛そうでした)。
虚数が怖くないなら、絶対は外しちゃってください。御陰様で指は無事です。

積分という計算の見落としやすい部分を再確認できた。不連続な場所での場合分けは重要ですね。
不連続点があるとそこを通る積分ができないのです。

積分で不定積分と定積分が$f(x)$に対して決まるものが違うって改めて理解できた。$\int {1\over x}\mathrm dx$の積分に場合分けが必要なのも注意する。
${1\over x}$以外でも、不連続関数では常に注意してください。

積分定数を分けるタイミングを間違えて理解していてミスをしてしまった。次はしないよう気をつけたい。
タイミングというか、「ここで場合分けが必要」という理屈を理解しておきましょう。

今回のテストは完璧に解けたので一安心できた。
それはよかった。

積分定数はズレみたいなもの? $\int_0^b f(x)\mathrm dx=F(b)$みたいな定積分は積分定数が不純物だとするとそれがなくなるから、微分したとき、傾きが凹凸のようなグラフの性格が分かる?
ズレとはちょっと違う。微分すると定数という情報が消えるから、その逆をすると「決まらないもの」が出てくるという必然的な量。だから不純物でもない。

積分定数の場合分けがわかった。
それはよかった。

問題の場合分けするタイミングが1段階遅く、積分定数を同じにしてしまったので、復習しておきます。積分と微分が逆な計算だということが頭の中でさらにイメージすることができました。テストに向けて総復習しておいて、テストでも良い点数がとれるようにがんばります。
しっかり復習しといてください。

不連続で積分定数が一致しなくてもよいのを忘れていたので、確認できてよかったです。
なぜ一致しないのか、理由も確認しておきましょう。

いろいろな関数の積分