自然科学のための数学2015年度第14講

部分積分

微分のライプニッツ則

\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}\left(f({x})g({x})\right) =\left({\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})+f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x}) \end{equation}

の逆を考えるのが部分積分である。公式を作ろう。まず上の式を不定積分し、少し項を入れ替える。

\begin{equation} \begin{array}{rll} \int {\mathrm d \over \mathrm dx}\left(f({x})g({x})\right)\mathrm dx =&\int \left({\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})\mathrm dx +\int f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})\mathrm dx\\ f({x})g({x}) =&{\underbrace{{\int \left({\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})\mathrm dx}}_{{←移項する}}} +{\int f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})\mathrm dx}\\ f({x})g({x})-\int\left( {\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})\mathrm dx =&\int f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})\mathrm dx \end{array} \end{equation}

ここで、左右を取り替えて、

部分積分の公式(不定積分)
\begin{equation} \int f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})\mathrm dx =- \int \left( {\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})\mathrm dx +f({x})g({x})\label{pidint} \end{equation}

という公式ができる。なお、この式は結局はライプニッツ則を書き直しただけであり、独立に新しいものが出てきたわけではない。ここで行っている計算はという操作だと考えてもよい。

特に、「${\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})$が積分しやすい($g({x})$を求めやすい)」かつ「$f({x})$が微分すると簡単になる」場合に部分積分という操作は有効である。

ところでなぜ「部分」積分なのかというと、$f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})$をいっきに積分することができないので、とりあえず${\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})$の方を積分しておいて、それ以外の部分は後から考える・・・というイメージである。

例として、$\int {x} \cos {x} \mathrm dx$をあげよう。この場合、${\mathrm d g\over \mathrm dx}({x})=\cos{x},f({x})={x}$という代入を行っていけば、

\begin{equation} \int \underbrace{{x}}_{f({x})}\underbrace{\cos {x}}_{g'({x})} \mathrm dx = - \int \underbrace{1}_{f'({x})}\underbrace{\sin {x}}_{g({x})} \mathrm dx +\underbrace{{x}}_{f({x})}\underbrace{\sin {x}}_{g({x})} =\underbrace{\cos {x}+C}_{\tiny -\int \sin {x}\mathrm dx} +{x}\sin {x} \end{equation}

のようにして積分ができる。この式の2行目でという操作を行っているわけである。

定積分の場合も同様に計算ができて、

部分積分の公式(定積分) \begin{equation} \int_a^b f({x}){\mathrm d\over \mathrm dx}g({x})\mathrm dx =- \int_a^b \left({\mathrm d\over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})\mathrm dx +\underbrace{\left[ f({x})g({x})\right]_a^b}_{表面項} \end{equation}

となる。最後の部分は$\left[f({x})g({x})\right]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$となって、積分の「表面」である${x}=a$と${x}=b$での値だけになるので、「表面項」と呼ばれる。

 積分のときの$\mathrm dx$は前に書いても後に書いてもいいんですか?
 いいです。$f(x)\mathrm dx$というのは前にも言ったように、横幅$\mathrm dx$、高さ$f(x)$の微小長方形の面積のようなものですから、先に書こうが後に書こうが構いません(掛算は順番どっちでもいいので)。
 ただ、$\int_a^b \mathrm dx$のように積分範囲を書くときは$\mathrm dx$は$\int$の近くにあった方がいいですね。特に積分が一回でなく多重積分というのをやるときには、$\int_a^b \mathrm dx\int_c^d\mathrm dy~f(x,y)$と書けば、$x$が$a$から$b$まで、$y$が$c$から$d$まで、とわかりやすいでしょう。まぁ$\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)~\mathrm dx\mathrm dy$のように書けばわかるといえばわかりますが。

置換積分

${x}$を独立変数としたある積分$\int f({x})\mathrm d x$という積分を考える。ここで、${x}=g({t})$という別の変数へと独立変数を変えた時に、積分という量がどう変わるかを考えてみる。まず、$f({x})$という関数は$f(g({t}))$という${t}$の関数へと変えなくてはいけない。と同時に、積分要素も変わることになるが、この時、$\mathrm d x={\mathrm d x\over\mathrm dt}\mathrm dt$という関係を使って変換する。具体的にはこうなる。

置換積分の公式

\begin{equation} \int f({x})\mathrm d x = \int f(x({t})){\mathrm d x\over \mathrm dt}\mathrm dt \end{equation}

この式は合成関数の微分則(chain rule)の逆をやっていると思えばよい。$f({x})$の原始関数を$F({x})$とする。ところでこの${x}$は${t}$の関数なので、$x({t})$と書くことにする($F(x({t}))$)。この式を$t$で微分すると、

\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm d t }\left(F(x({t}))\right) =\underbrace{\left( {\mathrm d \over \mathrm d x }F({x})\bigr|_{{x}=x({t})}\right)}_{f({x})}\left( {\mathrm d \over \mathrm d t}x({t}) \right) \end{equation}

であるが、これをもう一回${t}$で不定積分すれば、

\begin{equation} F(x({t})) =\int f({x}) \left( {\mathrm d \over \mathrm d t}x({t}) \right)\mathrm dt \end{equation}

となり、公式が出てくることになる。

FAQ$\mathrm d x={\mathrm d x\over \mathrm dt}\mathrm dt$なんてやっていいのか?

いい。$\mathrm d x$ や$\mathrm dt$がどのような意味を持つかを考えよう。${\mathrm d x \over \mathrm dt}$とは微小変化$\mathrm d x $と$\mathrm dt $の比と考えることができるのだから、まさにこの式が成り立つ(ただし、積分変数が変わったということは定積分の積分区間も一緒に変わることには注意)。積分の式$\int f({x})\mathrm d x$というのは単なる記号ではなく、$f({x})$に微小変化$\mathrm d x$ を掛けて``足し算''するという意味を持っている。置換積分はその足し算のやり方を変えている。次の節で詳しく説明しよう。

たとえば

\begin{equation} \int {x}\sin {x}^2\mathrm d x \end{equation}

において、${x}^2={t}$とおくと、$2{x}\mathrm d x =\mathrm dt$となるから、

\begin{equation} \int {x}\sin {x}^2\mathrm d x={1\over 2} \int \sin {t}\mathrm dt=-{1\over 2}\cos {t}+C=-{1\over 2}\cos {x}^2+C \end{equation}

と書きなおしてよい。

ここで、被積分関数の中に${x}$があったら計算できたが、もしなかったらどうなるだろう?---$\int \sin {x}^2 \mathrm d x$または$\int \cos {x}^2 \mathrm d x$は計算できるだろうか??---試してみるとよいが、置換積分や部分積分などのテクニックを駆使しても、この積分は遂行できない。

このような積分は「フレネル(Fresnel)積分」と呼ばれるのだが、知られている関数の形で積分結果を表現することはできない。まず$\sin{x}^2$または$\cos {x}^2$をテイラー展開して${x}^n$の形にしてから積分するという方法で解を求めるしかない。
たとえば、 $$ \sin x^2=x^2-{x^6\over 3!}+{x^{10}\over 5!}-{x^{14}\over 7!}+\cdots $$ と展開できるから、 $$ \int \mathrm dx\sin x^2={x^3\over 3}-{x^7\over 7\times3!}+{x^{11}\over 11\times5!}-{x^{15}\over 15\times7!}+\cdots $$ のように。

置換積分でやっていることの図解

 まず、置換積分を使うとできる積分の例として、$\int_0^1 \sqrt{1-{x}^2}\mathrm d x = {\pi\over 4}$という計算を取り上げる。

 この計算がどのような意味を持つかを上のグラフに示した。これは高さ${\sqrt{1-{x}^2}}$で横幅が\mathrm d x である微小な長方形を${x}=0$から${x}=1$まで変化させながら足していった結果である。グラフを見ればわかるように、それは4分の1円の面積である。そう考えれば答えが${\pi\over 4}$なのは当然と言える。ではこれをどうやって計算するかであるが、置換積分という計算テクニックとしては、以下のように行う。

まず、$x=\cos {\theta}$と置いてみる。このような「置き換え」の方法は多くの場合、試行錯誤「$\sqrt{1-x^2}$は0から1の範囲で変化する関数だから、$\cos$とかどうかな?」のようにいろいろやってみる。の末に得られる。しかし、ここで考えているように、グラフを描いて図形的に考えてみると、どういう変換を行っているのかが見えてきて、計算の見通しがよくなることもある。実際、${\theta}$には右に描いたような意味がちゃんとある。${x}=\cos{\theta}$なのだから、$\sqrt{1-{x}^2}=\sin{\theta}$である$\cos ^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$という式で考えると$\sqrt{1-{x}^2}=\pm\sin {\theta}$となるが、図でわかるように${\theta}$は0から$\pi$までだから、$\sin{\theta}$の前に符号は必要ない。が、それは図に示した長方形の高さである。

$x=\cos{\theta}$を微分して、$\mathrm d x = -\sin{\theta} \mathrm d\theta $である。すると、$\sqrt{1-{x}^2}\mathrm d x = -\sin^2{\theta} \mathrm d\theta $と置換される。積分範囲は$x=0$のとき${\theta}={\pi\over 2}$、$x=1$のとき${\theta}=0$としよう。つまり、積分変数を$x\to {\theta}$と変える時に$\int_0^1$は$\int_{\pi\over 2}^0=-\int_0^{\pi\over 2}$と置き換わる。計算すべきは$\int_0^{\pi\over 2}\sin^2{\theta} \mathrm d\theta $である。$\sin^2{\theta}={1-\cos 2{\theta}\over 2}$と置き換えると、

\begin{equation} \int_0^{\pi\over 2}{1-\cos 2{\theta}\over 2}\mathrm d\theta = \left[ {{\theta}-{1\over 2}\sin2{\theta}\over 2} \right]^{\pi\over 2}_0 ={{\pi\over 2}-{1\over 2}\sin \pi\over 2}-{0-{1\over 2}\sin 0\over 2} ={\pi\over 4} \end{equation}

と積分できる。

なお、この積分は上のように真面目に計算してもよいが、

のようにグラフを描いて考えると、被積分関数のうち${-\cos2\theta\over2}$の部分は「谷→山」へと振動する関数で、この部分は結果に寄与しないだろう(図で塗りつぶした部分がちょうど消える)、と考えることで「横幅${\pi\over 2}$で高さが${1\over 2}$の長方形の面積だと同じだと考えて、${\pi\over 4}$という答えを出してもよい。

さて、以上の手順を図解しておこう。

${\sqrt{1-{x}^2}}\mathrm d x$というのは、右の図の長方形の面積であり、積分とはこの長方形を足していくということである。${x}=\cos{\theta}$と置くということは、図のように角度${\theta}$を設定しているということであり、$\mathrm d\theta$という量は、図の弧の部分の長さでもある(単位円であることに注意)。

この部分の拡大図を見ると、(上では${x}=\cos{\theta}$を微分して出した)$\mathrm d x=-\sin{\theta} \mathrm d\theta $が図の関係として表現されていることがわかる。特に、$\mathrm d x $と$\mathrm d\theta$の符号が逆(${x}$が増えれば${\theta}$が減る)であることに注目しよう。

${\theta}$を変化させていった時のそれぞれの微小長方形を描いたのが右の図である。「高さ$\sin{\theta}$、幅$\mathrm d\theta \sin{\theta}$の長方形」を足していくという計算になっている(${x}$の積分の時は「高さ$\sqrt{1-{x}^2}$で幅$\mathrm d x$」だった)。これが$\sqrt{1-{x}^2}\mathrm d x=-\sin^2{\theta}\mathrm d\theta $という置き換えの意味なのである(マイナス符号の意味は先で説明した通り)。

置換積分を行う場合のすべてに、このような図形的対応があるわけではない。しかしこのような図形的解釈ができる積分は数多い。もちろんこういう図形的解釈ができなくても積分は手順どおりにやっていけばできる(それが数式というものの有り難さだとも言える)が、図形的解釈ができれば理解しやすくなる面はある。

次に、$\int_0^\infty{1\over 1+{x}^2}\mathrm d x$という積分を考えよう。この積分は、$x=\tan{\theta}$と置き換えることにより、

\begin{equation} \int_0^{\pi\over 2}{1\over 1+\tan^2{\theta}}\underbrace{{\mathrm d\theta \over \cos ^2{\theta}}}_{\mathrm d x} = \int_0^{\pi\over 2}\mathrm d\theta ={\pi\over 2} \end{equation}

のように計算できる($1+\tan \theta^2={1\over \cos^2\theta}$に注意)。積分区間は「${x}=0$から${x}=\infty$」が「${\theta}=0$から${\theta}={\pi\over 2}$」と変わる。

図を見て${x}$を0から$\infty$まで動かしたら${\theta}$がどう変化するかをみればよればこれがわかる。

ではどうして${1\over 1+{x}^2}\mathrm d x$という「微小部分」の和が角度積分になるのだろうか。

上の図に、底辺1、高さ${x}$の直角三角形の高さを$\mathrm d x$だけ大きくしたときの変化を示した。この時、図に示した角度${\theta}$の微小変化$\mathrm d\theta$を考えると、${1\over 1+{x}^2}\mathrm d x$になるのである。この角度を知るにはどうすればよいかというと、図に示したように扇型の弧の部分の長さ${\mathrm d x \over \sqrt{1+{x}^2}}$である」ことがわかる。「半径$\sqrt{1+{x}^2}$の円の一部である扇型の弧の長さが${\mathrm d x \over \sqrt{1+{x}^2}}$ということは、角度は${\mathrm d x \over \sqrt{1+{x}^2}}\div\sqrt{1+{x}^2}={\mathrm d x \over {1+{x}^2}}$である」と考えればこの置換が何をやっているのかがわかる。

上で$\mathrm d x={\mathrm d\theta \over \cos^2{\theta}}$と置き換える部分の説明は、図で描くよりも「微分」という計算をした方がわかりやすい人も多いだろう。そう思った人は式の計算で理解しておけばよい。どっちであろうと、自分にわかりやすい方で理解すればよいのはもちろんである。
問題により、そして(思考方法は人それぞれなので)個人により、「どう考えれば理解しやすいか」は違う。では「式で計算できればそれでよい」(または「図解できればそれでよい」)かというと、次に現れる問題があなたにとってどちらで理解しやすいかはわからないわけだから、いろんな方法で理解するということを(少なくとも``数学修行''をしている間は)心がけておいた方がいいだろう。立ち向かう相手(自然科学)は強大なのだから持っている武器は多い方がよい。
ときどき「たくさん教えられてもわかんなくなるから、教える方法は一つにしてください」という人がいるのだが、一つしか武器がない状態では太刀打ちできない強敵に出会う時のために、修行はしておこう。

 期末テストについて。
 期末テストは8月6日にあります。
 試験では、A4一枚の「自作カンニングペーパー」持込可です。自分が忘れそうな公式や問題の解き方などを書いてきてください。それ以外(教科書など)は持ち込み不可です。
 「自作」に限りますが、他の人と共同で制作するのは構いません。
受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

いままでただ公式を覚えていただけだった部分積分でしたが、今日ちゃんとやっと正しく理解できました。
う〜ん、「覚えただけ」のところはできる限り無くそう。

$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$が図を考えるとすごく単純に答えが出ることに驚きました。他の問題も図を考えることで解ける問題がたくさんありました。置換積分も、ライプニッツ則から以降するだけで使うことができるのでどんどん使っていきたいです。
ライプニッツ則とつながるのは部分積分ね。どっちにしろ、どんどん使いましょう

高校のときに習ったいろんな積分も図形を使って解けることがわかったが、自分で解ける気はしないなと思った。
いずれでは自分で解けるようになってください。

部分積分や置換積分は高校でも習ったが、微小変化やdxの位置、$\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=-\sin^2\theta \mathrm d\theta$の意味など、式で単純に表すだけでなくグラフに対して対応関係を見てみたり、数学が体で表現されていておもしろかったです。計算が単純になるようにする。
数式はいろいろなものを表現しています。そこを読み取っていくのも面白い。

積分がそれを解くために色々なテクニックを用いることがわかった。どうしても解けないものはテイラー展開に頼るしかないと知り、テイラー展開万能だなと思うと同時に、少し将来の計算がゆううつになった。
たとえゆううつでも、そうしないとできない計算ならやるしかないのです。

置換積分を使ったら、複雑な積分もある程度簡単に解くことができたことに気持ちよさを感じました。
うまく見つかると、気持ちよいですね。

なつかしかったです! 期末テスト頑張ります!
頑張ってください。

ちこくしました。すみません。来週あたりの講義にある「広義」ってどんな意味ですか?「狭義」もあるようだと「一般的」「特殊」と何が違うんですか?
来週、「広義積分」のところは飛ばしますので読んでおいてください。この場合の「広義」は「定義通りの手順では積分できないが、極限を使って定義すれば定義できる」という意味です。

複雑そうな積分も置換を使うことにより簡単に考えられることがわかって良かったです。
いろいろ試してみてください。

${1\over \cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$となることがわかった!
う〜ん、実はそれは第3講でやったことなんだけど…。

部分積分はできたのですが、詳しくは知らなかったので、ライプニッツの法則から導けると知って驚きました。積分を図で考えることも大事だと知ることができました。
計算は常にその「中身」も含めて理解しておきましょう。

$\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=-\sin^2\theta\mathrm d\theta$の意味を聞いて納得しました。積分面白いですね。
微小変化を考えて変換することができるのが面白いところです。

部分積分、置換積分という積分があることがわかった。
「あること」だけわかってもダメですが…、大丈夫???。

部分積分と積の微分、置換積分と合成関数の微分の関係を確認できた。
いろんな関係を理解していきましょう。

部分積分や置換積分というを微分の公式の逆から求める方法がわかった。
いろんな式、どこから出すかが大事です。

公式と公式がつながっておもしろかった。
いろんな公式、つなげて理解しましょう。

様々な積分のやり方を復習できたのでよかった。
理解して使いこなしましょう。

部分積分、置換積分について学んだ。
使いこなしましょう。

$\sin\theta,\tan\theta$の置き換えで図から考えるのは面白かった。
置換積分が何をしているのか、図で理解しておきましょう。

置換積分の$\sqrt{1-x^2}$を$\sin\theta$にかえて図で考えたときわかりやすかった。
置換積分のイメージをつかんでください。

$\int_a^b\mathrm dx\int_c^d\mathrm dy f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)~\mathrm dx\mathrm dy$と表せることを知った。$y'$より${\mathrm d\over\mathrm dy}$の形で表す方に慣れたい。
表し方は(誤解ないように伝わりさえすれば)どうでもよいです。

部分積分はすごい。また$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$は$y=\sqrt{1-x^2}$とおいて円としてとらえる方法を高校のころにやっていたのを思い出した。
そういう「何を計算(積分)しているか」という感覚は大事です。

今日の講義は、高校の内容をより深く学べました。特に図でも説明できることは高校であまりやらなかったので今日学べてよかったです。
深く深く、理解しておきましょう。

微分の公式の数と積分の公式の数にこれだけ差があるのは、それだけ積分の方が不自由だということだと思っていたが…。
公式の数ってそんなに差ありますか? まぁ積分は「できない」っていう場合もありますからね。

図形的に理解するのが面白い。
いろんな方向から理解していきましょう。

高校の時から積分はややこしいと思っていたが、やっぱりむずかしかった。
むずかしいです。ややこしいです。だからこそ勉強してできるようなる意味があるんです。

積分できないときに、テイラー展開することによりできることを初めて知った。部分積分や置換積分を復習したい。
級数で考えるのは、いよいよ最後の手段、って感じです。

$\int ○\mathrm dx$と$\int \mathrm dx○$は同じ意味だと初めて知った。
まぁ、掛算ですから。

図を使った積分が分かりやすかった。
理解しておいてください。

$$ \begin{array}{rl} {\mathrm d\over \mathrm dt}\left(F\left(g(t)\right)\right)=&{\mathrm dF\over \mathrm dx}\cdot{\mathrm dx\over \mathrm dt}\\ {\mathrm d}\left(F\left(g(t)\right)\right)=&{\mathrm dF\over \mathrm dx}\cdot{\mathrm dx\over \mathrm dt}\mathrm dt\\ \int {\mathrm d}\left(F\left(g(t)\right)\right)=&\int{\mathrm dF\over \mathrm dx}\cdot{\mathrm dx\over \mathrm dt}\mathrm dt\\ F\left(g(t)\right)=&\int f(x)\cdot{\mathrm dx\over \mathrm dt}\mathrm dt\\ \end{array} $$ $\int \mathrm d=1$ですか?
ん??最後から2行目の$\int\mathrm d\left(F\left(g(t)\right)\right)$は「$F\left(g(t)\right)$という変数の積分」で、つまり$\int \mathrm dy$の$y$にあたるものが$F\left(g(t)\right)$だという意味です。だから$\int \mathrm dy=y+C$と同じように積分します。

テイラー展開を使わないといけないものを見たくないなと思いました。
しかしま、実際に解こうとした問題にそれがでてきたら、やるしかないよねぇ。

テストまで2週間なので、気を引き締めたい。
引き締めて、頑張ってください。

高校時代に苦手だった部分積分がとても好きになった授業でした。この調子で苦手な積分をもってお好きになっていこうと思います。
どんどん好きになってあげてください。

高校の時は覚えていた部分積分を理解できてよかったです。
う〜ん、覚えていちゃ、ダメなんですよ。

改めて積分の技法を学んで、便利な技法だなと思いました。
使いこなしてください。

難しそうな積分でも図でイメージすることも大切だと感じました。
イメージは常に大事です。

試験に向けて少しずつでもいいからコツコツやってきていたいです。
がんばりましょう。

置換積分でやっていたことを図にしてみたらとても難しく感じた。
理解の道は人それぞれなので、式の方がわかりやすいならそっちで理解しておいてください。

置換積分の意味を頭に入れることができてよかったです。
しっかり頭に入れて、使いこなしていきましょう。

今回いろいろな積分の仕方について学んだので、しっかり使えるように、演習問題に取り組もうと思います。
いろいろやってみてください。

積分の技法