面積・体積と積分

円錐・角錐の体積

円錐や角錐の体積は底面積を$S$、高さを$h$とすると、${1\over 3}Sh$で書ける。これを定積分を使って出そう。

頂点を原点として、底面に垂直な方向の距離を考えて、その距離${x}$とする（面に垂直な下向きの方向に${x}$軸を取る）。

そして定積分の精神に従って、この${x}$を微小区間に切り刻み、その一つの微小区間の幅（この円錐や角錐をビルと考えた時の「一階の高さ」である）を$\mathrm dx$とする（座標${x}$から座標${x}+\mathrm dx$までを切り取って考える）。

この一階の体積は、この階の底面積$\times \mathrm dx$である。面積はスケールの自乗に比例するから、底面積は$S\times{{x}^2\over h^2}$である（右の図では円錐の場合を示したが、角錐であっても同様）から、

\begin{equation} \int_0^h {S{x}^2\over h^2}\mathrm dx =\left[{S{x}^3\over 3h^2}\right]_0^h={Sh\over 3} \end{equation}

となる。分母の3の出処は$\int_a^b{x}^2\mathrm dx=\left[{{x}^3\over 3}\right]_a^b$の3だったのである。

ここで体積を計算した方法からすると、円錐や角錐の頂点が（底面に平行な方向に）移動したとしても体積が変わらない（つまり体積は底面積と高さだけで決まり、傾きにはよらない）ことが納得できる。これは円柱などの場合でも同じである。

球の体積

球も同様に微小な高さ$\mathrm dx$に分けて考える。

今度は${x}=0$は球の中心におくと、図に描いたように、各階の床は半径$\sqrt{r^2-{x}^2}$の円で、底面積$\pi(r^2-{x}^2)$を持つ。これに高さ$\mathrm dx$を掛ければ一階分の体積が出るから、範囲$-r < x < r$でこれを積分して、

\begin{equation} \int_{-r}^r \pi(r^2-{x}^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2 {x}-{{x}^3\over 3}\right]_{-r}^r=\pi\left( r^3-{r^3\over 3}-\left(-r^3 + {r^3\over 3}\right)\right)={4\pi r^3\over 3} \end{equation}

となる。

　球の体積については、別の計算方法もある。球を面で切るのではなく、薄い球殻に分解する。つまり半径$r$の球の上に、厚さ$\mathrm dr$の薄い膜をくっつけたと考えると、そのことにより球の体積は（球の表面積$4\pi r^2$）に$\mathrm dr$を掛けた、$4\pi r^2\mathrm dr$だけ増える。これを積分して、 $$ \int_0^R 4\pi r^2\mathrm dr=\left[{4\pi\over 3}r^3\right]_0^R={4\pi\over 3}R^3 $$ とすることで球の体積が計算できる。逆に、${4\pi\over 3}R^3$を$R$で微分すれば表面積$4\pi R^2$が出る。