ここまででできるようになったこと

　ここまで学んだことで、たとえば、$A,B,C$を定数、$g(x)$が既知の関数として、 $$\left(A\left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2+B{\mathrm d\over\mathrm dx}+C\right)f(x)=g(x)$$ という微分方程式を解く方法には迷わなくなったはず（「あれ、どうするんだっけ？」と思った人は勉強が足りない）。

　というのは、このような線形非斉次微分方程式は、まず線形斉次にした、 $$\left(A\left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2+B{\mathrm d\over\mathrm dx}+C\right)f(x)=0$$ を解いて一般解を求めてから非斉次方程式の特解を足せばよい、ということを知っているし、また斉次化したこの方程式は$f(x)=\mathrm e^{\lambda x}$と置くことで、 $$A\lambda^2+B\lambda+C=0$$ という二次方程式を解く問題に変わることも知っている。

　というわけで今日はこういう問題を具体例で考えよう。

定数係数の二階線形方程式の例

空気抵抗を受ける質点

質量$m$の物体が$F$という力を受けるとき、物体の位置座標${x}$に関する微分方程式である運動方程式$m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= F$が成り立つことが力学で知られている。この$F$が$-K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x}$（$K$は比例定数）のように${x}$の時間微分に比例する場合実際、速度が遅い場合の空気抵抗はだいたいこの式であっている。、すなわち、 $$\begin{equation} m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x}\label{FKv} \end{equation}$$ という微分方程式が成り立つ場合を考えよう。

　この方程式に${x}=\mathrm e^{\lambda{t}}$を代入すると、

$$\begin{equation} m\lambda^2 \mathrm e^{\lambda{t}} = -K\lambda \mathrm e^{\lambda{t}} \end{equation}$$ となり、特性方程式は$m\lambda^2=-K\lambda$となる。この方程式の解は$\lambda=0,-{K\over m}$なので、 $$\begin{equation} {x}({t})= C_1 + C_2 \mathrm e^{-{K\over m}{t}} \end{equation}$$ が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、$C_1$が${t}\to\infty$での${x}$の値、$C_1+C_2$が${t}=0$での${x}$の値である。

この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時この状況であればボールは水平に動くので、重力は運動とは関係ない。にどのようにボールが運動するかを表している。

初速度=

再スタート

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初速度=

再スタート クリアして再スタート

　この微分方程式の解は $$\begin{equation} {\mathrm d\over\mathrm dt}{x}({t})= -{K\over m}C_2\mathrm e^{-{K\over m}{t}} \end{equation}$$ であるから、$C_1=v_0{m\over K},C_2=-v_0{m\over K}$のとき${x}(0)=0,{{\mathrm d\over\mathrm dt}}{x}(0)=v_0$になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる。「止まるまでの時間」は$\infty$である！とはいえ、速度は指数関数で急速に0に近づくので、見た目は止まったように見えるだろう。厳密に式の通りの運動が起こるのなら、「無限に遅い速度で永遠に動き続ける」ということになる。しかしここで扱っているのは理想化した状態で、実際には式に表した以外の力も働いている。。