自然科学のための数学2015年度第23講

一般的な一階線形s微分方程式の解き方

 先週やっていたのは、 \begin{equation} {{\mathrm d\over\mathrm dx}}f({x})+p({x})f({x})=q({x})\label{DEpq} \end{equation} という方程式であった。

 これを解く方法として、 \begin{equation} \left( {\mathrm d\over\mathrm dx} +p({x})\right)\left(\mathrm e^{-P({x})}F({x})\right) =\mathrm e^{-P({x})}{\mathrm d\over\mathrm dx} F({x}) \end{equation} を使って$f(x)$の項を消去するという方法がある。

 ここで$\int \mathrm dx p({x})=P({x})+C$すなわち$P({x})$が$p({x})$の原始関数の一つであるとすれば、微分${\mathrm d\over\mathrm dx}$の結果が${\mathrm d\over\mathrm dx}\mathrm e^{-P({x})}=-p({x})\mathrm e^{-P({x})}$となって、ちょうど$p({x})$の項を打ち消す項が出てきて \begin{equation} \begin{array}{rl} \overbrace{-p({x})\mathrm e^{-P({x})}F({x})}^{\tiny\left({\mathrm d\over\mathrm dx}\mathrm e^{-P({x})}\right)F({x})} + \mathrm e^{-P({x})} {\mathrm d\over\mathrm dx} F({x}) +p({x})\mathrm e^{-P({x})}F({x}) =&q({x}) \\[3mm] \mathrm e^{-P({x})}{\mathrm d\over\mathrm dx} F({x})=&q({x}) \end{array}\label{ddxkoukan} \end{equation} が解くべき方程式となる。


 ここで「積分定数はいらないのか?」という疑問が湧くかもしれない。

 しかし、まだ$F({x})$は決まってない量だから、$\mathrm e^{-C}$も含めて$F({x})$に入れてあると思えばよい。${\mathrm d\over\mathrm dx} P({x})=p({x})$になる関数を(いわば代表として)一つ見つければ十分である。

こうして、$p({x})$の原始関数$P({x})$を使うことで \begin{equation}\left( {\mathrm d\over\mathrm dx} +p({x})\right)f({x})=q({x})~~~\to~~~ {\mathrm d\over\mathrm dx} F({x})=q({x})\mathrm e^{P({x})} \end{equation} と式を書き直せたので、後はこれを解く。右辺を${x}$で積分することができれば \begin{equation} F({x})= \int \mathrm dx \left(q({x})\mathrm e^{P({x})}\right) \end{equation} となり、 \begin{equation} f({x})=\mathrm e^{-P({x})}\int \mathrm dx \left(q({x})\mathrm e^{P({x})}\right) \end{equation} が一般解である。この不定積分$\int \mathrm dx \left(q({x})\mathrm e^{P({x})}\right)$の結果を$G({x})+C$($C$は積分定数)とすれば、 \begin{equation} f({x})=\underbrace{ \mathrm e^{-P({x})}G({x})}_{ f'({x})+p({x})f({x})=q({x})\atop の特解} + \underbrace{C \mathrm e^{-P({x})}}_{ f'({x})+p({x})f({x})=0\atop の一般解 } \end{equation} となる。第2項が斉次方程式の一般解になっていることに注意しよう。

この式は$P(x)\to P(x)+C$と置き換えても変わらない式になっていることに注意。

 では、練習問題として、 \begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dx}+ 2{x}{y}= {x}\label{gaussx} \end{equation} を解いてみる。$p({x})=2{x}$だから、$P({x})={x}^2$とすればよい。$f({x})=\mathrm e^{-{x}^2}F({x})$と置くことで、 \begin{equation} \begin{array}{rl} \left({\mathrm d\over\mathrm dx}+2{x}\right)\mathrm e^{-{x}^2}F({x}) &={x} \\ \mathrm e^{-{x}^2}{\mathrm d\over\mathrm dx} F({x}) &={x} \end{array} \end{equation} となるが、この式を$ {\mathrm d\over\mathrm dx} F({x})={x}\mathrm e^{{x}^2}$としてから積分すれば $F({x})= {1\over 2}\mathrm e^{{x}^2}+C$ となり、 \begin{equation} f({x})={1\over 2} + C\mathrm e^{-{x}^2} \end{equation} が一般解である。結果を見ると、${1\over 2}$の部分は非斉次方程式${\mathrm d\over\mathrm dx} f({x})+ 2{x}f({x})= {x}$の特解であり(代入してみよう)、$C\mathrm e^{-{x}^2}$の部分は斉次方程式${\mathrm d\over\mathrm dx} f({x})+ 2{x}f({x})= 0$の一般解である(これも実際に解いてみればわかる)。つまりこの場合は「斉次方程式の一般解と非斉次方程式の特解を足す」という解き方でも解ける。

定数変化法

 ここで、前節での微分方程式の解き方を見直してみる。解を$y({x})= \left( G({x})+C \right) \mathrm e^{-P({x})}$と同類項でくくって考えてみると、${\mathrm dy\over \mathrm dx}+p({x}){y}=0$の一般解である$y({x})=C \mathrm e^{-P({x})}$のパラメータである定数$C$が、$C\to G({x})+C$のように置き換えられた形になっている。従ってこの方程式は、以下の手順で解くこともできる。


 まず${\mathrm dy\over \mathrm dx}+p({x}){y}=q({x})$の右辺を0に置き換えた $ {\mathrm dy\over \mathrm dx}+p({x}){y}=0 $を解いて${y}=C \mathrm e^{-P({x})}$という解をみつけたのち、定数$C$を$C({x})$のように変数に換えると、 \begin{equation} \begin{array}{rl} \left( {{\mathrm d\over\mathrm dx}}+p({x}) \right)\left( C({x})\mathrm e^{-P({x})} \right) =q({x}) \\ \mathrm e^{-P({x})}{\mathrm d\over\mathrm dx} C({x})= &q({x}) \\ \end{array} \end{equation} という式が出るから、後はこれを解いて$C({x})$を求める。


 定数なのに変化させるとはおかしな名前であるが、ここで説明した計算法は、

  1. 非斉次方程式→斉次方程式と方程式を置き換えて解いて定数$C$を含む解を求める。
  2. 逆に斉次方程式→非斉次方程式と置き換え戻す。
  3. それに応じて答えも定数$C$→変化する数$C({x})$と置き換える。
というものだった。方程式が置き換えられたのだから定数が変数に置き換えられても不思議ではない。

今日の小テスト

以下の微分方程式を解け。解き方は

  • 非斉次の特解と斉次の一般解を求めて足す。
  • 今日やった、$\mathrm e^{-P(x)}$の$P(x)$を求める方法。
  • 同じく今日やった、定数変化法

のどれでも構わない(もちろんこれ以外でもいいが)。

  1. ${\mathrm dy\over \mathrm dx}-y=1$
  2. ${\mathrm dy\over \mathrm dx}+y=\mathrm e^{-x}$

 解答の前に「どのやり方で解いた?」と聞いてみた。1.については「非斉次の特解:$P(x)$:定数変化」が1:1:3ぐらい。2.については0:1:3ぐらい、と定数変化法で解いていたのが多かった。

答は以下の通り。


 ${\mathrm dy\over \mathrm dx}-y=1$は、特解を求めるのが楽であろう。というのは、$y=-1$という定数が解になるからである。斉次にした方程式${\mathrm dy\over \mathrm dx}-y=0$も、これまでも解いてきた式だから$y=C\mathrm e^x$とすぐにわかる。よって解は、 $$ y=C\mathrm e^x-1 $$ である。

 定数変化法で解くと、$y=C\mathrm e^x$と解いた後に定数$C$を置き換えて$y=C(x)\mathrm e^x$として、 $$ \begin{array}{rl} {\mathrm d\over \mathrm dx}\left(C(x)\mathrm e^x\right)-C(x)\mathrm e^x=&1\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}\mathrm e^x+C(x)\mathrm e^x-C(x)\mathrm e^x=&1\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}\mathrm e^x=&1\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}=&\mathrm e^{-x}\\ C(x)=&-\mathrm e^{-x}+D\\ \end{array} $$ となるので、答は$y=-1+D\mathrm e^x$。

 $p(x)=-1$と考えれば$P(x)=-x$であるから、解は$y=\mathrm e^{-x}F(x)$となる。これを代入して計算する(この後の計算方法は定数変化法と同じ)。


 ${\mathrm dy\over \mathrm dx}+y=\mathrm e^{-x}$は、まず斉次化すると、${\mathrm dy\over \mathrm dx}+y=0$となって、解は$y=C\mathrm e^{-x}$となる。定数を変数に置き換えて、 $$ \begin{array}{rl} {\mathrm d\over \mathrm dx}\left(C(x)\mathrm e^{-x}\right)+C(x)\mathrm e^{-x}=&\mathrm e^{-x}\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}\mathrm e^{-x}-C(x)\mathrm e^{-x}+C(x)\mathrm e^{-x}=&\mathrm e^{-x}\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}\mathrm e^{-x}=&\mathrm e^{-x}\\ {\mathrm dC(x)\over \mathrm dx}=&1\\ C(x)&=x+D \end{array} $$ となるので、答は$y=(x+D)\mathrm e^{-x}$。

 半分ぐらいの人はスイスイと解けていたが、手が止まってしまっている人もいた。このあたりは基本中の基本なので、手が動かない人は訓練不足である。

 こういうのは経験値の差というか「慣れ」です。ある程度訓練すると、手も動くようになるし、自動的に解けていくようになります(まるで「紙と鉛筆が考えてくれる」ように)。練習しましょう。

微分方程式の線形化

線形でない微分方程式を線形微分方程式に直す方法について紹介する。

ベルヌーイ型微分方程式

\begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dx}+p({x}){y}=q({x}){y}^n\label{BDE} \end{equation} という一階微分方程式は、${y}^n$を含むから非線形であるが、変数を変えることで線形な方程式に直すことができる。まず両辺を${y}^n$で割ると、 \begin{equation} {y}^{-n} {{\mathrm dy\over \mathrm dx}}+p({x}){y}^{1-n}=q({x}) \end{equation} となる。これを見て、${z}={y}^{1-n}$を新しい変数にすればいい のでは、と気づく。というのは、${z}$を${x}$で微分してみると、 \begin{equation} {\mathrm dz\over \mathrm dx}= {\mathrm d\over\mathrm dx} {y}^{1-n}=(1-n){y}^{-n}{\mathrm dy\over \mathrm dx} \end{equation} となることから\式{BDE}の第1項は${\mathrm dz\over \mathrm dx}$に比例している。こうして\式{BDE}を \begin{equation} {1\over 1-n} {\mathrm dz\over \mathrm dx} +p({x}){z}=q({x}) \end{equation} と書き換えることができてこの計算は$n=1$ではできないが、その場合は線形微分方程式なのだからこんなことをしなくてもよい。、${z}$を従属変数として解けばよい。

 前に考えた流行の方程式 \begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dt}=k{y}(1-{y}) \end{equation} は$p({x})=-k,q({x})=-k$で$n=2$の場合のベルヌーイ型微分方程式なので、${z}={1\over {y}}$とすることで、 \begin{equation} -{\mathrm dz\over \mathrm dt}-k{z}=-k \end{equation} という式に直すことができる(逆にこの式に${z}={1\over {y}}$を代入すれば元に戻る)。

 もちろんこの方法は\式{BDE}という特定の形の微分方程式(あるいは整理してこの形に直せる式)の時にだけしか使えない。

線形近似による方法

 どうしても線形に直すことができないような微分方程式は、近似を使って解く場合もある。

 一般的に、 \begin{equation} \left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 x(t)=F({x}) \end{equation} のような式で、$F({x})$がある点$x_0$で0を取っているとすると、$F({x})$を \begin{equation} \underbrace{F(x_0)}_{0}+F'(x_0)(x-x_0)+\underbrace{{1\over 2}F''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots}_{無視する部分} \end{equation} のようにテイラー展開を使って線形な式に直してしまうことができる(もちろん、$F''(x_0)$以降の項が無視できるほど小さいかどうかは吟味する必要がある)。

 例として、振り子の運動方程式は \begin{equation} mL\left({{\mathrm d\over\mathrm dt}}\right)^2 {\theta}= mg \sin{\theta} \end{equation} である。右辺の$\sin{\theta}$はもちろん非線形であり、このまま解くのはたいへん難しい。そこで、${\theta}-{{\theta}^3\over3!}+\cdots$のようにテイラー展開して考えて1次の項のみを取る。 \begin{equation} mL\left({{\mathrm d\over\mathrm dt}}\right)^2 {\theta}= mg {\theta} \end{equation} として解けば、後は${\theta}$に関する線形微分方程式である。もちろん、振幅が大きい場合にはこの近似は使えない。

受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

あんなに気持ちが悪い式がきれいに解けるのはすごいと思った。
気持ち悪いかな(^_^;)。

個人的には定数変化法が分かりやすかったです。小テストは検算したら答がずれたので焦りましたが合ってたのでよかったです。
定数変化法は慣れてくると手順が単純でいいかもしれません。

今日は$\mathrm e^○$の○がえっちゃ小さい文字になるのは、符号が入れ替わるのがすごいうっとおしい。
まぁうっとしくてもしょうがないからなぁ。大きな字で書くか、exp(x)のように書くようにするかで対応してください。

テストでどの方法で解くか悩んでいたら手が動かなかったので、今までに解いた問題を復習して、少しでも手が動かせるように問題を解きたい。
「どの方法で解くか」なんて考えるからいかんのです。思いついたやつからどんどん手を動かす。それでダメだったら次の方法を耐えmす。それでいいんです。

今日の小テスト、yを求めるのを忘れてました。Q1は$\mathrm e^x$の存在を忘れて間違ってしまいました。もっと多くの問題を解いて積分に慣れていきたいです。
たくさん解くのは大事です。経験が物を言う。

全然解けない…悔しい…。わからないというより、問題にあった解き方から理解できてない。努力あるのみ。頑張ります。
「問題にあった解き方」なんて考えなくていいです。まずは思いついた方法からやってみること。たくさんやれば「これ使えばいい」というのは自動的にわかるようになります。

特解と$\mathrm e^{-P(x)}$と定数での3通りの解き方をやったが、定数でやるのが一番簡単に感じた。他のやり方も慣れるようにしていきたい。
いろいろやってみましょう。

$\left({\mathrm d\over \mathrm dx}+p(x)\right)f(x)=q(x)$の解き方を覚えることができた。ただ、$\left({\mathrm d\over dx}+2x\right)y=x^2$というように$q(x)$の次数が変わるだけで$C(x)=x^2\mathrm e^{x^2}$の積分ができずに解けなくなったので、もう少し勉強が必要。
ああそりゃ無理です。$x^2\mathrm e^{x^2}$の原始関数は初等関数では書けません。世の中積分できない関数もあるのです。

どちらの方法でやった方が簡単かすぐ分かるようにしたい。
それには、たくさんたくさんたくさん問題を解いてください。

問題が解けたことが単純にうれしかった。しかし、一般解+特解を使う方法と、$\mathrm e^{-P(x)}$を使う方法を忘れていたので復習しようと思った。
いろんな方法を身につけてください。

テストは一つしか解く時間がなかったが解説を聞いて理解できた。
問題演習してみましょう。

テストできなかった…。
次はがんばろう。

一般的な一階線形微分方程式になったとたん、いろんな解き方が出てきて面白い。
いろいろ問題を解いてみてください。

一階線形微分方程式を解く方法として定数変化法を学んだ。楽だと感じた。
やり方を理解したうえで、どんどん使ってください。

定数変化法の解き方が面白かった。積分は慣れらしいので素直に演習を行って、手が考えてくれる境地にまで行きたい。
どんどん問題解いて、訓練しましょう。

訓練をしたい。
しましょう!

最近「スター・ウォーズ」を観始めました。土日中に「スターウォーズV」を観ます。
新しい映画もあるようですね。

今日の練習問題は解けたのでよかったです。式を見てどの方法が一番やりやすいかをみきわめられるようになりたいです。
やりやすい方法でもなんでも解けたらOKです。

今日の問題は3分で解けるようになりたい。
ちょっと練習すれば、なれます。

いずれの方法も道具として使えるように練習を重ねます。それにしても、うまいことできていますね。
このあたりは、昔の人が色々考えてくれたおかげで、解き方ができあがってます。

定数変化が確実でざっくりしててわかりやすかった。$\mathrm e^{-P(x)}$は分かりづらかった。
「確実」というけど、これでは解けない場合もあるからねぇ。

三つのパターンで解けるように家で復習したい。
どんどん練習しましょう。

特解で解く求め方と、定数変化法で解く求め方は難しかった。板書の時に理解したつもりだったけど、実際に問題を解くと全く解けなかった…。
日々の練習が大事なんですよ。

小テストの問題を線形結合や代入のやり方で解くのがおもしろかった。ベルヌーイ型方程式の$y^{1-n}=z$とおいて、${1\over 1-n}{\mathrm dz\over \mathrm dx}+p(x)z=q(x)$になるのがわかった。
いろんなやり方で解き比べてみてください。

定数変化法での解き方がまだ少し難しいです。練習問題を解いて慣れてみます。
ちょっと頑張って解けば、慣れてくるはず。

今日は小学生に負けた気分になった。
がんばれ大学生。

小テストは迷いなく解けた気がします。ただいま、理解しやすい頭になっているような感じがするので今のうちに理解を深めたい。
じゃ、ここでがんばろう。

線形な微分、ちょっとだけ解けた。
ちょっとだけなどと言わずバンバン解いてください。

白紙の問題解けませんでした。自分の力を痛感しました。
気がついたときに、練習して力をつけましょう。

小テストで最初いきづまってしまって、とてもあせりました。でも斉次の一般解+特解という方法はわかっているのでそれで解くとうまくできたのでよかったです。
他の方法でもチャレンジしてみてください。

線形微分方程式の様々な解き方を理解できた。
身につけましょう。

めっちゃおもしろかったです! 3種類の解き方でも解けるように手を動かしたいと思います^_^
おもしろいと感じるというのはよいことです。どんどん、手を動かしてください。

今日のテストの問題は計算ミスをしそうなので気をつけるようにする。あと、解く方法が三つあるので三つの方法で解けるようにする。
それぞれの解き方をじっくりとやってみてください。

線形でないものを線形に変換することができることもあるのは驚きました。
ああいうこともできるのです。

定数変化法を習得しました。もっと例題解きたい。
教科書にはまだ問題があるし、やっておいてください(授業で全部はできないので)。

自分でやってみるとやっぱりわかりやすい。
勉強は自分で手を動かすのが一番です。

テストができなかったのでやばいし、慣れが大切と先生がおっしゃっていたので解きまくって慣れます。
解きまくってください。最初の授業でも言いましたが、友人と勉強会でもして教え合うのが効率のいい勉強です。

定数変化法などの方法で一般的な一階線形微分方程式を解けることがわかった。
いろんなやり方を身につけましょう。

線形非斉次の式を斉次と非斉次の部分に分けて解けるようになった。
いろんなのを解いてみてください。なかなか大変だったり、解けない式もあります。

Q1、Q2、二つとも解答できず。自習するしかない、とのこと、やるべぇ〜〜。空威張りですみません。ベルヌーイの式のこと、数学者が一生かけての発見を小生達は100minで理解しようとしている(できるかな)
数学もスポーツなどと同じく「訓練してなんぼ」の部分はあるので、頑張ってください。あと、数学はできた後、教育の技術の方も発展して理解しやすくなっているので、大丈夫です。

第23講内容