多変数関数

多変数関数と自由度

　「1変数の関数」とは、「独立変数と呼ばれるある量Aを決めると、従属変数と呼ばれる、それとは別のある量Bが決まる」という対応関係であった。

　独立変数が一つの量ではなくなり、「独立変数ある一組の量$A_1,A_2,\cdots$を決めると、従属変数ある量Bが決まる」という対応関係となったものを「多変数関数」と呼ぶ。

　${x},{y}$を決めると${z}$が決まる、という対応関係（この場合は「2変数関数」である）なら、${z}=f({x},{y})$のように書く。

　たとえば長方形の面積$S=xy$は$x,y$を両方決めると一つ決まる。${x}$-${y}$平面上で原点と$({x},{y})$の間の距離は$f({x},{y})=\sqrt{{x}^2+{y}^2}$という式で表される。こう考えると1変数の関数の方がむしろ珍しい（簡単な）例だったのである。

　1変数の関数は、独立変数と従属変数という二つの変数を持っているが、独立変数一つを決めれば従属変数も決まったから「自由に動かせる数」は一つであった。

　この「自由に動かせる数が一つ」ということを自由度(degree of freedom)が1だと表現する。2変数の関数の場合、二つの独立変数を決めると従属変数が決まるから、自由度は2である（3変数、4変数と増えていっても同じである）。

　たとえば3次元にある質点は（$x,y,z$なり$r,\theta,\phi$なりの）3つの変数で位置が表現できるから自由度3である。

　一方3次元にある大きさのある物体は、位置の3つの他に回転の3つ（空間的な回転の方向は三方向ある）を足して、自由度6である。

　1変数の関数は${x}$-${y}$という平面の上に描かれた「線（一般には曲線）」で表現された。線は「自由度1」あるいは「1次元」の存在である（つまり、線の上の点は1方向にのみ動ける）。同様に2変数の関数は「面（一般には曲面）」で表現される。

　今日はまず、下の図（実際に授業で使ったのはandroidアプリのバージョン）で2変数関数のイメージを持ってもらった。

　1変数関数では、

$$f(x)=c_0+ c_1x +c_2x^2+\cdots$$

のように展開できる関数のとき、$c_1$が一階微分（すなわち「傾き」）を表す項、$c_2$が二階微分（すなわち「曲がり具合」）を表す項であった。

　2変数関数では、

$$f(x,y)=c_0 + c_{x1}x+c_{y1}y+c_{x2}x^2+c_{y2}y^2+c_{xy}xy+\cdots$$

のように展開できて、$c_{x1}$と$c_{x2}$が一階微分（すなわち傾き）を表す項である。

　「傾き〜微分〜1次の項の係数」というつながりを確認し実感するために、上の図のスライダを動かして、$c_{x1}x+c_{y1}y$のような1次の項のみがある状態にして、傾きの変化がどのように「形」を変えるかを見よう。

↑はxの係数を変化させたところ。

　この「面を傾ける方向」が独立に二つあるのが、偏微分が二つあることに対応している。

　次に二階微分は「曲がり具合」である。x²の係数だけを変えたときの図が、↓である。

　x²の係数とy²の係数の正負により、↓のような様々な状態が起こりえる。

　以上のように、一階微分と二階微分の値によりいろいろな状況が有り得る。1変数の場合に比べ、「傾き」や「曲がり具合」に複数のパターンがあることが大事である。