常微分と偏微分の違い（復習）
「関数f(x)の微小変化」を表す量は、以下の式のように書ける。 f(x+\mathrm dx)=f(x)+{\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx あるいはこの逆にあたる演算が f(x_1)=f(x_0)+\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx である。積分しているのは下の赤矢印の部分。
これはf(x_0)を「元の値」、\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dxを「変化量」と見れば、f(x_1)が「変化後の値」となる、という式であり、関数の変化の様子を微分と積分で表現していることになる。
常微分（1変数）では変化はxが増えるか減るか、本質的には一つの方向しかない。
「関数f(x,y)の微小変化」を表す量は、以下の式のように書ける。 f(x+\mathrm dx,y+\mathrm dy)=f(x,y)+{\partial f(x,y)\over\partial x}\mathrm dx+{\partial f(x,y)\over\partial y}\mathrm dy この{\partial f(x,y)\over\partial x}\mathrm dx+{\partial f(x,y)\over\partial y}\mathrm dyの部分を「全微分」と呼ぶわけである。
大事なことは偏微分には方向がある。ということである。
さて、常微分における「微分の逆」の演算 f(x_1)=f(x_0)+\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx の偏微分バージョン（2変数バージョン）を考えてみよう。単純に、 U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_0)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分１}+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_0,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分２} と考えるのは正しいだろうか。これはどのような「積分」を行っていることになるか、図を描いて考えてみよう。
ここではしばらく図を描いて自由に討論しつつ考えてもらった。
というような図を描いてみると「この積分は場所(x_1,y_1)に届いてない！」ことがわかる（だからこの計算でU(x_1,y_1)になるはずがない）。
(x_0,y_0)から出発してちゃんと(x_1,y_1)に届く積分としては、式で書けば U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_0)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分１}+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_1,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分３} 図で書けば、
または、式で書けば、 U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_0,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分２}+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_1)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分４} 図で書けば、
がある。
つまりは、北東に進むために「まず東、次に北」と進んでもよいし、「まず北、次に東」と進んでもよい、ということ。実は斜めに進む方法（そういう積分のやりかた）もちゃんとある。
このような積分は「線積分」と呼ばれる。
この二つの積分が一致するのか？というのが気になるところである。それはつまり、
積分１＋積分３ は 積分２＋積分４ と一致するか？
という問題だが、これを少し変えると、
積分３ー積分２ は 積分４ー積分１ と一致するか？
という問題になる。そして、積分３ー積分２というのは、いわば積分３（y微分）のx微分である。同様に積分４ー積分１は積分４（x微分）のy微分であり、積分可能条件（あるいは、偏微分の交換）によればこの二つは等しい。
なお、これをさらに
積分１＋積分３ー積分４ー積分２ は0か？？
と読み替えると、これは「一周積分は0か？」を意味する。U(x,y)という関数が存在すれば、一周戻ってくればU(x,y)も元の値に戻っている、ということを意味している。
これはベクトル解析で言う「rot」である。
これは位置エネルギーなどの「保存力の場」が満たすべき条件になっている
