常微分と偏微分の違い（復習）

　「関数$f(x)$の微小変化」を表す量は、以下の式のように書ける。 $$f(x+\mathrm dx)=f(x)+{\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx$$ あるいはこの逆にあたる演算が $$f(x_1)=f(x_0)+\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx$$ である。積分しているのは下の赤矢印の部分。

　これは$f(x_0)$を「元の値」、$\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx$を「変化量」と見れば、$f(x_1)$が「変化後の値」となる、という式であり、関数の変化の様子を微分と積分で表現していることになる。

　常微分（1変数）では変化は$x$が増えるか減るか、本質的には一つの方向しかない。

　「関数$f(x,y)$の微小変化」を表す量は、以下の式のように書ける。 $$f(x+\mathrm dx,y+\mathrm dy)=f(x,y)+{\partial f(x,y)\over\partial x}\mathrm dx+{\partial f(x,y)\over\partial y}\mathrm dy$$ この${\partial f(x,y)\over\partial x}\mathrm dx+{\partial f(x,y)\over\partial y}\mathrm dy$の部分を「全微分」と呼ぶわけである。

　大事なことは偏微分には方向がある。ということである。

　さて、常微分における「微分の逆」の演算 $$f(x_1)=f(x_0)+\int_{x_0}^{x_1} {\mathrm df\over\mathrm dx}(x)\mathrm dx$$ の偏微分バージョン（2変数バージョン）を考えてみよう。単純に、 $$U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_0)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分１}+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_0,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分２}$$ と考えるのは正しいだろうか。これはどのような「積分」を行っていることになるか、図を描いて考えてみよう。

　ここではしばらく図を描いて自由に討論しつつ考えてもらった。

というような図を描いてみると「この積分は場所$(x_1,y_1)$に届いてない！」ことがわかる（だからこの計算で$U(x_1,y_1)$になるはずがない）。

$(x_0,y_0)$から出発してちゃんと$(x_1,y_1)$に届く積分としては、式で書けば $$U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_0)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分１}+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_1,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分３}$$ 図で書けば、

　または、式で書けば、 $$U(x_1,y_1)=U(x_0,y_0)+\underbrace{\int_{y_0}^{y_1} {\partial U(x_0,y)\over\partial y}\mathrm dy}_{積分２}+\underbrace{\int_{x_0}^{x_1} {\partial U(x,y_1)\over\partial x}\mathrm dx}_{積分４}$$ 図で書けば、

がある。

　つまりは、北東に進むために「まず東、次に北」と進んでもよいし、「まず北、次に東」と進んでもよい、ということ。実は斜めに進む方法（そういう積分のやりかた）もちゃんとある。

　このような積分は「線積分」と呼ばれる。

　この二つの積分が一致するのか？というのが気になるところである。それはつまり、

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積分１＋積分３　　　は　　　積分２＋積分４　　　と一致するか？

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という問題だが、これを少し変えると、

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積分３ー積分２　　　は　　積分４ー積分１　　　　と一致するか？

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という問題になる。そして、積分３ー積分２というのは、いわば積分３（$y$微分）の$x$微分である。同様に積分４ー積分１は積分４（$x$微分）の$y$微分であり、積分可能条件（あるいは、偏微分の交換）によればこの二つは等しい。

なお、これをさらに

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積分１＋積分３ー積分４ー積分２　　　は0か？？

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と読み替えると、これは「一周積分は0か？」を意味する。$U(x,y)$という関数が存在すれば、一周戻ってくれば$U(x,y)$も元の値に戻っている、ということを意味している。

　これはベクトル解析で言う「rot」である。

　これは位置エネルギーなどの「保存力の場」が満たすべき条件になっている