偏微分の注意その2


よくある誤り

 常微分の時にdzdydydx=dzdxができたのだから偏微分でもzyyx=zxだろう。


 省略記法で書いているせいで「これでいい」と勘違いしてしまうことがある。誤解がないよう省略なしで書けば、常微分のdzdydydx=dzdxdz(y)dydy(x)dx=dz(y(x))dxである一方、偏微分のzyyxzx(等式ではないことに注意)(z(x,y)y)x(y(z,x)x)z(z(x,y)x)z であり、本質的に違う計算である。常微分の方では三つの変数は「xが決まるとyが決まり、次にzが決まる」という関係であり、自由度は1しかない。つまり3変数の3次元空間の中である1次元的広がり(曲線)の上でしか運動できない。一方偏微分の方は「xyが決まるとzが決まる(あるいはこの立場入れ替え)」という関係だから自由度2で、2次元的広がり(曲面)の上を動ける(だから偏微分は方向の指定が必要になるわけだ)。


 例として、x2+y2+z2=R2が成り立つ、すなわち3次元の中の球面(2次元的広がり)の上に(x,y,z)がある)場合を考えよう。この場合z=±R2x2y2とかy=±R2x2z2のような関係式がある。複号があると考えるのが面倒なので、考える範囲をx,y,zが全て正である領域に限ろう(複号は全て正をとる)。微分を実行すると、 (z(x,y)y)x=yR2x2y2,    (y(x,z)x)z=xR2x2z2 である。この二つの掛算をし、R2x2z2=yであることを使うと、 (z(x,y)y)x(y(x,z)x)z=yR2x2y2×xR2x2z2=xR2x2y2 となる。一方、 (z(x,y)x)y=xR2x2y2 だから、この二つの式から (z(x,y)y)x(y(x,z)x)z=(z(x,y)x)y という関係になっている(右辺のマイナス符号に注意!)。

 x,y,zの間に適当な関係式(なんでもよい)を作り、その場合の(z(x,y)y)x(y(x,z)x)z=(z(x,y)x)yの両辺を別個に計算し、成立することを確認してみよう。

 この式はz(x,y)などが微分可能である限り正しいことを以下で、二通りの方法で示そう。

 x,y,zという3次元の空間を考えて、ある関係式(上の例ではx2+y2+z2=R2であった)があることによりこのうち二つが独立であったとする。関係があるのだから、三つの変数のうち一つを他の二つで表すことができる。そこで x=X(y,z), y=Y(x,z), z=Z(x,y) という三つの式を作ることができたものとしよう。第3の式に第2の式を代入すると、 z=Z(x,Y(x,z)) という式ができる。計算の結果、この式はz=zという当たり前の式に戻る筈である。


 上の例のz=±R2x2y2y=±R2x2z2を代入してみると、 z=±R2x2(R2x2z2)=±z2 となって、z=zになる(もともと複号はzが正なら+、負ならだったから、右辺はzにしてよい)。


 つまり、この式の右辺はxを含んでいるように見えるが、実は含んでいない(計算をすれば消えてしまう)。ここで、両辺を「zを一定としてxで微分」する。計算するまでもなく(zを一定としているのだから)左辺の微分は0である。一方右辺はxが2箇所にあることから微分の結果は二つの式の和となり、結果が0となる(二つの項が打ち消す)。すなわち、

0=x(Z(x,Y)x)Y+x(Z(x,Y)Y)x(Y(x,z)x)z が導かれる。

 どんなものでもよいのでx,y,zの関係式z=Z(x,y)を作って、これからy=Y(x,z)を求めたうえで、上のZ(x,Y(x,z))にあたる式をつくり、その式を(簡略化せずにそのまま)zで微分すれば1となり、xで微分すれば0となることを確認せよ。

 以上は計算による導出だが、次に図解を試みよう。変数の間の関係式を成立させつつ、

  1. xを一定としてyを変化(連動してzも変化)。
  2. yを一定としてzを変化(連動してxも変化)。
  3. zを一定としてxを変化(連動してyも変化)。

という三つの変化を起こして元の場所に戻ってくる経路を考える。

 それぞれの過程において図に描き込んだような分数を計算し、その掛算を行うと、 ΔyΔz×ΔzΔx×ΔxΔy=1 となる(分母分子に同じものが2回ずつ現れ、分母にマイナスが3回現れる)。極限を取ればこれは (y(x,z)x)z×(z(x,y)y)x×(x(y,z)z)y=1 になる。(x(y,z)z)y=1(z(x,y)x)yであるこの場合は、同じ変数yを固定しての微分だから、逆数になってよい。