自然法則を数学を使って表現しその関係を探るというのが本講義の目的であるが、この章では（今後何度となくお世話になる）「関数」の例を示し、次の章で微分を、さらにその先で積分を考えるための準備をしよう。
自然科学を探求していくとき、
を調べていかなくてはいけないことがよくある。この「AからBへの関係」（A→B）のことを「関数(function)」英語のfunctionは「機能」とか「作用」のような意味を持っている。と呼ぶ。「数」に限らず「何かを入力（インプット）したら何かが出力（アウトプット）される」働きを持っていればそれは「function（関数）」と呼んでも良いコンピュータ言語においても「関数(function)」という言葉があるが、コンピュータ言語における関数には「出力（アウトプット）がない関数（void関数）」もある。。数学的な意味で「関数」と言う時は数（もしくは数で表現できる量）を相手にしていることが多いが、数学だからと言って「数」を扱っているとは限らない。
この変化させる数を「変数(variable)variableという言葉は「変化させることができるもの」という意味になる。」と呼ぼう。まず最初に変化させるある量Aは「独立変数(independent variable)」、それに応じて変化するある量Bは「従属変数(dependent variable)」と呼ぶ英語の「depend」は「依存する」だから、「従属変数(dependent variable)は何かに依存して変化する量、という意味を持つ。independentはその反対。。独立変数は文字通り独立に、好きに選ぶことができて、それに応じて従属変数の値が決まる、という意味を持たせたネーミングである実はある量が独立変数なのか従属変数なのかは、状況によって違う。たとえば実験する時には、１つの量を変化させつつもう１つの量を測る、ということを行うが、どの量を変化させるかは実験の状況に応じて変わる（変えることができる）。。
互いに関係のある量を計測する実験を何度も行うことによってし、それぞれの間にどのような法則があるかを求めていこうとすること、それが自然科学の始まりである。自然科学で計測するものは数であることが多いので、「ある数→また別のある数」という対応関係（「関数」）を調べていくことが多くなるのは必然的である。
高校までの数学では独立変数にx、従属変数にyを使うことが多いが、これは別にそうでなくてはいけないというものではない。文字に何を使うかというのは全く本質ではない。
xとyに「xを１つ決めればyが１つ決まる」という関係があるとき、「yはxの関数だ」と言う。下のプログラムでその実例を見よう。
例を述べよう。
２番めの圧力と体積の例などは、圧力（独立変数）→体積（従属変数）と考える場合も、体積（独立変数）→圧力（従属変数）と考える場合もある（どちらを“独立に”コントロールできるかは気体の置かれた状況によるだろう）。
互いに関係のある量を計測する実験を何度も行うことによってそれぞれの間にどのような法則があるかを求めていこうとすること、それが自然科学の始まりだ。自然科学で計測するものは数であることが多いので、ある数→また別のある数という対応関係（「関数」）を調べていくことが多くなるのは必然的である。
高校までの数学では独立変数に${x}$、従属変数に${y}$を使うことが多いが、これは別にそうでなくてはいけないというものではない。文字に何を使うかというのは全く本質ではない。
では、以下のページでアニメーションを使って「関数」を勉強していこう。
を動かしてxを変化させると、それに応じて
つまりyが動く。yの方は動かせません。「従属」変数ですから。ここで、いろんな関数の場合で「$x$を変えると$y$がどう変わるか」ということと、「パラメータaを変化させると関数がどう変わるか」を実感してもらった。
たとえば、y=axでaを変えると傾きが変わる。y=ax2でaを変えると曲がり具合が変わる。このようなパラメータと「線の形」の関係は、この後でも重要。
それぞれの関数の雰囲気を見ておこう。
このページでは、$y=x^n$の形（冪乗）の関数のグラフを見よう。
になったり、こう
なったしてます。このことから、変数$x$が1より小さい範囲では、$n$が大きい項は重要度が低い（計算に大きく寄与しない可能性が高い）ということになる。これは自然科学でいろんな量を考える時、とても大事。
もちろん、逆に変数$x$が1より大きい範囲では、$n$が大きい項の方が重要になる。
$x^n$の形の関数について、大事なところを確認しておくと、
| ←次数低い 次数高い→ | |
| $\cdots,{1\over x^3},{1\over x^2},{1\over x},1,x,x^2,x^3,\cdots$ | |
| $x\ll 1$の時 | ←次数低いほど大事 |
| $x\gg 1$の時 | 次数高いほど大事→ |
ということである。数学としても大事だが、「自然科学で測定量などを調べて考える」ときもこの「どの項が大事か」という感覚は必要である。
前節まで、n次式で表された関数を考えてきたが、さらにいろんな冪の関数を足したものを考えていくことにしよう。$5,8x,4x^3y^2,\cdots$などのように、定数と変数のn乗（ここでのnは0以上の整数）になる式を「単項式(monominal)」と呼び、単項式を足して（あるいは引いて）できた式を「多項式(polynomial)」と呼ぶ。変数（文字）を含まない項は「定数項」と呼ぶ。xnが掛算されている項は「n次の項」と呼ばれる（$n=0$の場合が「定数項」である）。最大の次数の項がn次の単項式である多項式は「n次の多項式」と言う。$x^4-3x^2+5$は「$x$に関して4次の多項式」である（「n次の多項式」は「nより小さい次数の単項式」を含んでよい）。
y=ax+b（a,bは定数）の形、すなわち1次の多項式の形の関数を「1次関数」と呼ぶ。ここで、bは0でも構わないが、a≠0である（でないと、1次式でなくなってしまう）。aを「傾き」、bを「切片（またはy切片）」と呼ぶ。1次関数のグラフは正比例同様「直線」となる。
bの意味がx=0のときのyであることは式を見てもわかる。一方aは増加率すなわち~xが1増えたとき、yがどれだけ増えるかという意味を持つ。この「1次の項の係数が増加率を表す」という点は後々重要になるだろう。
図では、aはまさに「線の傾き」を表現している。
y=ax2+bx+cの形、すなわち2次の多項式の形の関数を「2次関数」と呼ぶ。そのグラフは「放物線(parabola)」と呼ばれるこの線は物体を放り投げた時の軌跡なので「放物」と名付けられている。。このページでは、y=ax2+bx+cの形の関数（２次関数）のグラフを見よう。
これでわかるように$b,c$は放物線の位置を決めるパラメータ関数の独立変数とは別の「変化できる量」をパラメータ（媒介変数）と呼ぶ。であり、$b,c$を変えても形は変わらず、平行移動するだけである。一方、$a$が変化すると放物線の形が変わる。
青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。
主なもの、代表的なもののみについて記し、回答しています。
になりそう。