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解答

1. $p=-{\partial F\over \partial V}$をちゃんと計算して、$p=\alpha RT\mathrm e^{-\alpha {V\over N}}$。
2. $G=F+pV$を計算するのだが、ここで大事なのは『ルジャンドル変換する』ということは変数を$V\to p$と変えるということなので、$V$を使わずに$p$で表さないと（つまり、$G[T,p;N]$の形にしないと）いけない。そのため、$p=\alpha RT\mathrm e^{-\alpha {V\over N}}$から$V=-{N\over\alpha}\log{p\over \alpha RT}$と計算しておく。 $$G=\overbrace{NRT\mathrm e^{-\alpha {V\over N}}}^F+p\overbrace{\left(-{N\over\alpha}\log{p\over \alpha RT}\right)}^V ={N\over \alpha}p-{pN\over\alpha}\log{p\over \alpha RT}$$
3. $${\partial G\over \partial p}={N\over \alpha}-{N\over\alpha}\log{p\over \alpha RT}-{Np\over\alpha}{1\over p}=-{N\over\alpha}\log{p\over \alpha RT}=V$$ となって、結果は$V$になる（ルジャンドル変換の性質からして当然である）。
4. 　実際やってみると、$S=-{\partial F\over \partial T}=-NR\mathrm e^{-\alpha{V\over N}}$となるが、これだと$U=F+TS$が0になってしまう。
   こうなった理由は単純で、$F$は$T$に関して凸関数になってない（線型である！）。だからルジャンドル変換はできなくて当然（ルジャンドル変換が接線の切片を表すことを考えると、常に一定値になってしまうのも納得である）。

　あまりにこの点がわかってない人が多かったので途中でヒントとして「ルジャンドル変換したからには$G$は$T,p,N$で表さなくちゃダメだぞ〜〜」と言った。そもそもルジャンドル変換という計算が何をするものなのかがわかっていれば、$V$が残った形ではルジャンドル変換したことにならないのがわかるはずである（それがわからなかった、という人はもう一度勉強やり直し！）。

　$G$を$T,p,N$の関数として書くことがちゃんとできてないと、最後の${\partial G\over \partial p}$を計算しても$V$に戻ってこないはずである。