ここまでの復習

 ここまでの流れをまとめておこう。

 第1講で、「熱」とは何か?という問いから始めた。ここまで話が進んだので、「熱」とは何かも語れるようになった。

改めて聞きましょう。「熱」って何?
エネルギーの移動形態です。
エネルギーの移動形態にもいろいろあるけど、他には??
音とか光とか。
なんかわざわざ難しい方に行っているな。一番最初に出てくるべきエネルギーの移動形態といえば?---普通、エネルギーはまず力学で定義するよね。その時にエネルギーの移動形態としてまず出てきたのは?
お仕事です。
「お」はいらんな。

 もともと、力学ではまず「仕事」を定義し、その仕事の分だけ増減する量としてエネルギーを定義する。だからエネルギーの移動形態は、まず(定義により)仕事。

 エネルギーの移動形態には、「仕事」という目に見える形のもの(←こちらに音や光は入れてもいいだろう)と、目に見えない形のものがあり、ある状態のエネルギーをU(T;X)と書いたとき、

U(T;X)U(T;X)=W(T;XT;X)Q(T;XT;Q)

のように、エネルギーの変化(上の式の左辺)のうち、仕事(W)という目に見える移動の他に行われているエネルギーの移動を熱(Q)と呼ぶわけである。

では、内部エネルギーU(T;X)はどう定義されている??
周りの影響を遮断しておいてした仕事で定義します。
その通り。いわゆる「断熱操作」をした時の仕事量で、
U(T;X)U(T;X)=W(T;XT;X)
が成り立つように、たとえばU=0になる基準点を1つ決めて、その基準点からUを求めたい状態に変化させるときに系(気体など)がする仕事で定義する。
 教科書の要請4.1で「T>Tを満たす任意の温度Tについて、示量変数の組を変えない断熱操作(T;X)a(T;X)が存在する」とありますが、これがTTでないのはなぜですか?
 (X=XでしかもT=Tだと何も変わってじゃん、ってこともあるけど)ここで主張したいのは、「温度を上げる断熱操作が存在する」ということで、実はそれ以外については何も言ってない。存在してないといけない理由は、これがないと上で述べたような「基準点からUを求めたい状態に変化させる」という操作が可能じゃない可能性があるから(この要請があるおかげで、この操作か、あるいはこの逆操作が存在することになる)。要は必要な部分についてだけ述べている文章だということです。
 なお、どういう操作が可能かという話は、次辺りもう少し詳しくやろう。

 断熱操作で行う仕事は内部エネルギーUを定義するのに使われるが、一方等温操作で行う「最大仕事」はヘルムホルツの自由エネルギーで定義される。

F(T;X)F(T;X)=Wmax(T;XT;X)

 さて、ここまで等温操作と断熱操作を使っていろんな過程を見てきたので、これを組み合わせた過程を考えたい。そのためにまず、しばらく話を理想気体の場合に限りつつ、等温操作と断熱操作の性質を見よう。

等温操作と断熱操作

 熱力学ではよく体積Vを横軸、圧力Pを縦軸にしたグラフ(V-Pグラフ)を描く。理想気体では状態方程式PV=NRTが成立するから、ではV-Pグラフ上ではPV=一定のグラフ(反比例のグラフ)になる。

 一方断熱操作ではPVγ=一定という少し違ったグラフになる(↑を参照)。

断熱操作では、膨張する場合は等温操作より温度が下がり、収縮する場合は等温操作より温度が上がる。これを考えるだけである程度どんな曲線になるかはわかる。

PVγ=一定となるのは、理想気体では内部エネルギーがU=NCVTと表せることから、

NCVdT=PdV

という微分方程式が成立する、ということからわかる。前にも同様の計算をやったのだが一応やっておくと、T=PVNRTだから、dT=dPV+PdVNRとして整理(←このあたりの偏微分を使う計算がピンと来ない人がいくらかいたが、こういう計算には慣れよう!)することで、

CVR(dPV+PdV)=PdV

となり、変数分離すると

CVRdPP=(1+CVR)dVV

となり、積分は

logP=CV+RCVlogV+積分定数

となって、γ=CV+RCVとすれば、PVγ=一定がわかる。

カルノーサイクル

 等温操作と断熱操作を組み合わせて以下のような運動をさせる(アニメーションが次のページにある)。

 これは何をやりたいかというと、一周して元の状態に戻す間にこの気体に仕事をさせたい。図のように動くと、膨張しているときは収縮しているときに比べて圧力が高いから、全体としてプラスの仕事をしていることになる。エネルギー収支の式ΔU=QWを考えると、一周回って元に戻るからΔU=0となり、このときQ=Wである。

 断熱操作では熱の出入りがない。図で温度Tの等温操作(A→B)で入ってくる熱をQin、温度Tの等温操作(C→D)で出ていく熱をQoutとすると、全体で熱はQinQout入ってきたことになり、これが仕事になるから、QinQout=Wである。ガソリンで動く車のエンジンであれば、Qinはガソリンによって生まれる熱量であり、それを(車のラジエータなど)で冷やす過程がC→Dである。

ではまず、次のページでカルノーサイクルの動きを見よう。