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#mathjax(); いずれこっちに引っ越す予定ですが、それまでは [[こちら>http://irobutsu.a.la9.jp/PhysTips/Lap.html]] を見てください。 &color(Red){↓はまだ書きかけです。見ないでください。見るな。}; #contents #hr *極座標のラプラシアンの出し方いろいろ [#d7d60b65] - 「３次元の極座標のラプラシアンを計算せよ」 と言われると、経験のある人の多くが CENTER:&color(Red){&size(35){「二度とヤダ」};}; と反応するようだ。私も何度かやったことあるが、まじめに計算しようとすると確かにめんどくさい。 **ラプラシアンとは？？ [#ae7277b1] ラプラシアンというのは、３次元直交座標系であれば、 $\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}$ である。単純に言えば「３方向の２階微分を足したもの」ということになる。 あるいは、ナブラと呼ばれるベクトルを $\vec\nabla=\vec e_x{\partial\over\partial x}+\vec e_y{\partial\over\partial y}+\vec e_z{\partial\over\partial z}$ と定義して（&math(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z);はそれぞれx,y,z方向の単位ベクトル）、&math(\vec\nabla\cdot\vec\nabla);のように自乗（スカラー積）と定義しても良い。 極座標でのナブラは、 &math(\vec\nabla=\vec e_r{\partial\over\partial r}+\vec e_\theta\textcolor{red}{{1\over r}}{\partial\over\partial\theta});&math(+\vec e_\phi\textcolor{red}{{1\over r\sin\theta}}{\partial \over \partial \phi}); と書かれている(&color(Red){赤字};に注目せよ)。 &math(\vec\nabla=\vec e_r{\partial\over\partial r}+\vec e_\theta{\partial\over\partial\theta});&math(+\vec e_\phi{\partial \over \partial \phi}); ではない。なぜなら、ナブラにおける微分は任意のベクトルを&math(\vec a);として、 #math(\vec a\cdot\vec\nabla f(\vec x)=\lim_{h\to0}{f(\vec x+h\vec a)-f(\vec x)\over h}) と定義されているからである。&math(\vec a);として単位ベクトルを取るとすると、この式の右辺は&math(\vec a);方向にhだけ離れた２点での差を取るという計算である。一方、θ方向にh進むためには、θを&math(h\over r);だけ変化させなくてはいけない。φ方向ならば、φを&math(h\over r\sin\theta);変化させなくてはいけないのである。よって、単なる&math({\partial\over\partial\theta});ではだめで、 #mimetex(\vec e_\theta\cdot\vec\nabla f(\vec x)={1\over r}{\partial\over\partial \theta}f(\vec x)) #mimetex(\vec e_\phi\cdot\vec\nabla f(\vec x)={1\over r\sin\theta}{\partial\over\partial \phi}f(\vec x) ) であるべきなのである。&math(r\Delta\theta,r\sin\theta \Delta\phi);が「距離」という意味合いを持っていることを考えば、こうなることは納得できる。 これを自乗すると、ベクトルの内積を取って、 #mimetex(\vec\nabla\cdot\vec\nabla={\partial^2\over\partial r^2}+{1\over r^2}{\partial^2\over\partial \theta^2}+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial \phi^2}); となると思いたいところだが、そうならない。実際には、 #mimetex(\vec\nabla\cdot\vec\nabla={{1\over r^2}}{\partial\over\partial r}\left({r^2}{\partial\over\partial r}\right)+{1\over r^2\sin\theta}{\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial \theta}\right)+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial \phi^2}) または、 #mimetex(\vec\nabla\cdot\vec\nabla={\partial^2\over\partial r^2}+{2\over r}{\partial\over\partial r}+{1\over r^2}{\partial^2\over\partial \theta^2}+{1\over r^2}\cot\theta{\partial\over\partial\theta}+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2\over\partial \phi^2}) となるのである。 いったい、この余計な部分はどこから出てくるのだろう。学生の頃から不思議でしょうがなかった。 そこでこの項目では、ラプラシアンの計算法の少し楽な方法を示すと同時に、「余計な部分はどこから来たのか？」を考えることにしよう。 ほんとは「こうやれば簡単に出る！」という方法を伝授したいところなのであるが、「簡単」と言いきれるほどには簡単に出ない。しかし、少なくと も、「なぜ単純に自乗してはいかんのか」ということを実感することはできる。 **第1の方法：変分法を使え。 [#r582d1f9] 一つの考え方として、「物理で使う計算方法で座標変換に強いものといえば？」と考えてみよう。答は「変分法」である。そこで、変分法を使って、ポアッソン方程式 #mimetex(\triangle f=\rho) RIGHT:(ポアッソン方程式)&aname(Poisson); が出るような「作用」を考えてみる。直交座標ならこれは簡単に作れて、 #mimetex(\int dx dy dz \left({1\over2}\left({\partial f\over \partial x}\right)^2+{1\over2}\left({\partial f\over \partial y}\right)^2+{1\over2}\left({\partial f\over \partial z}\right)^2+\rho f\right)) または、 #mimetex(\int dx dy dz \left({1\over2}\sum_i\left({\partial f\over \partial x_i}\right)^2+\rho f\right)) と書いてもいいだろう。ここで、&mimetex(\partial_1={\partial\over\partial x});,&mimetex(\partial_2={\partial\over\partial_y});,&mimetex(\partial_3={\partial\over\partial z);である。&mimetex(\sum_i);はもちろん、i=1,2,3の和を取る。 この作用からオイラー・ラグランジュ方程式をつくると([[ポアッソン方程式>#Poisson]])になる。この計算を少しまじめに書いておく。オイラーラグランジュ方程式を作るには、作用のφにφ+δφを代入したものを作り、それから元の作用を引く。そうしておいて出た答えのδfの一次までを取り、それが0になると置く。これを実行すると、 #mimetex(\begin{array}{rl}&\int dx dy dz \left({1\over2}\sum_i \partial_i(f+\delta f)\partial_i(f+\delta f)+\rho (f+\delta f) \right) - \int dx dy dz \left({1\over2}\sum_i \partial_i f\partial_i f+\rho f\right) \\ =&\int dx dy dz\left( \sum_i \partial_i f \partial i \delta f + \rho \delta f\right)\\ =&\int dx dy dz \left( -\delta f \sum_i \partial_i \partial_i f + \delta f \rho\right)\end{array}) となる。最後の行では部分積分を使った。これが任意のδfに対して０となるためには、&mimetex(\sum_i \partial_i \partial_i f-\rho=0);でなくてはならない。 では、この計算を極座標でやるとどうなるだろうか？？ 記号&mimetex(\partial_i);を、&mimetex(\partial_1={\partial\over\partial_r});,&mimetex(\partial_2={1\over r}{\partial\over \partial \theta});,&mimetex(\partial_3={1\over r\sin\theta}{\partial\over\partial\phi});とおくことにする（この記号は一般的に使われているものではないので注意。この項目の説明に関してはこういう記号を使った方が楽なのである）。すると、作用を直交座標の場合と同じように #mimetex(\int dr d\theta d\phi r^2 \sin\theta \left({1\over2}\sum_i(\partial_i f)^2 + \rho f\right)) と書くことができる。 この式からオイラー・ラグランジュ方程式をつくると、直交座標と同様の計算になるように思うかもしれない。しかし、最後の部分積分で直交座標と極座標の差が出るのである。なぜなら、極座標の場合、積分要素はdxdydzではなく、&mimetex(dr d\theta d\phi r^2\sin\theta);である。ゆえに、作用の変分は
