![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
#hr CENTER:←[[第５回>相対論2007年度第５回]] [[目次に戻る>相対論2007年度]] #hr #contents #br &color(Red){今日は図形的理解を優先したので、実はテキストの中身をきっちり追いかけてはいません。だいたいこんな話をした、という程度です。むしろずっとアプレットのアニメーション見てました。}; *第４章 光速度不変から導かれること---図形的理解 [#d3bd39e5] この章では、実験からわかった「光速度は誰から見ても同じである」という事実をどのように解釈しなくてはいけないかを図で示す。数式を使った理解は次の章に回す。 ここまでで、マックスウェル方程式がガリレイ変換で不変でないということを述べた。この解釈として、マックスウェル方程式は特定の座標系でしか成立しない方程式であると考えることもできるし、ガリレイ変換が正しくないと考えることもできる。しかし前者は実験により否定されてしまったので、後者を考える必要がある。マイケルソン・モーレーおよびそのほかの実験の結果として「光速はどのように動きながら測ってもcである」という事実がある。つまり、マックスウェル方程式は全ての慣性系で成立していると考えるべきなのである。だから、それにあうように理論を作らなくてはいけない。よってガリレイ変換の方を修正する必要が出てくるのである。 アインシュタインは「物理法則は全ての慣性系で同じである」という要請を''特殊相対性原理''と呼んだ。この物理法則の中にマックスウェル方程式も入っているとすれば、これは光速度不変の原理を含んだ原理である。そしてこの原理が成立するためには、ガリレイ変換ではない座標変換を作らなくてはいけない。まず図的表現（グラフ）から「光速度不変から何が導かれるか」を示そう。 **4.1 同時の相対性 [#r70611bc] &color(Red){ここで、以下の説明をアニメで見せる[[アプレット>http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/%7Emaeno/rel2006/densha.html]]を見せた。説明文は去年のままで手抜きです、ごめんなさい。}; #ref(densha1.png,,75%) 長さ2Lの電車を考える。ただし、今はこの電車は動いていない。中央に人間が立っている。前方の端（人間からの距離L）と後方の端（人間からの距離はL で同じ）に電光掲示板式の時計があるとする。今、ある時刻（図では０時０分０秒とした）を示す時計の光は、時間&mimetex({L\over c});後（図では1秒後として書いた）に中央の人間に到達する。つまりこの瞬間（図では０時０分１秒である）、中央の人はどっちの時計を見ても０時０分０秒という目盛を読めることになる。 #ref(densha2.png,,75%) 電車の前方から後方へ向かう方向へと移動している観測者がこの現象を観測したとする。この観測者から見ると、電車は前方に向けて運動しているように見える。 ガリレイ変換的な考え方（つまりは我々の直観に訴える考え方）からすると、前方から出た光は、観測者の運動と同方向に伝播することになるので、観測者の速度の分遅くなる。同様に後方から出た光は観測者の速度の分速くなる。一方、光が到達するまでの間に電車の中央は前方に移動する。それゆえ、結局は同時刻に出た光が同時刻に中央に到達する、ということになる。この二つの図は、どちらも同じ現象を表しているのである。上の図は止まっている電車を見ている図で、下の図は止まっている電車をわざわざ走りながら見ている図である。 #ref(densha3.png,,75%) しかし、実験事実はこのような（直観的に正しく思える）考え方を支持しない。実験によれば光速度は一定であるから、「後方から出た光は観測者の速度の分速くなる」などという現象は起きない。では、左図のようになるのだろうか。だが、これもおかしい。なぜなら、この図では光が中央に到着するのは同時ではない。同じ現象を見方（観測者の立場）を変えて見ているだけであるということに注意して欲しい。中央の人は「自分には同時に光が到着した」と思うはずだ。そして、その現象は電車の中の人が見ようが外の人が見ようが変り得ない。 #ref(densha4.png,,75%) 満足のいく解釈は、前方と後方で時間がずれていると考える他はない。つまり、「同時刻」という概念は観測者に依存するのである。したがって、動いている人にとっての時刻t'が一定になる線（1+1次元で考えているので線だが、3+1で考えていれば３次元超平面）は、時刻tが一定の線に対して「傾く」ということになる。 ガリレイ変換の時は、t軸（x=一定の線）とt'軸（x'=一定の線）は傾いたが、x軸とx'軸は同じ方向を向いていた。しかし、相対論的な座標変換においては、t軸もx軸も、両方が傾かなくてはいけない。そうでないと、光速度一定を満たすことができない。式で考えると、これはt'の式の中にx,tの両方が入ってくることを意味する。 #ref(douji1.png) ここでグラフを描きながら、t軸とx軸が傾くことを確認しよう。作図を楽にするために、縦軸はt,t'ではなく、これに光速度cをかけたct,ct'とする。こうすると、縦軸と横軸は同じ次元になると同時に、光の進む線がグラフの上ではぴったり45度の線になる（光は単位時間にc進むから）。以後、縦軸はct軸またはct'軸である。 まず、電車が静止している座標系での、電車の先端、中間にいる人間、後端のそれぞれの軌跡を図に書くと、左のようになる。縦の３本の線は左から、電車の後端、人間、先端の軌跡であり、斜めに走る線は光の軌跡である。A点で電車の後端から出た光と、B点で電車の先端から出た光が、M点で人間の目の前ですれ違い、C点とD点に至る様子を表している。 次に、同じ現象を左向きに速さvで走りながら（つまり速度-vで走りながら見る）。電車の先端、真ん中の人間、後端は下左の図のような動きをする。 CENTER: #ref(douji2.png) #ref(douji3.png) さて、この図の中にABCDMの各点を書き込んでいこう。まず両方の座標系の原点をAとすることにして、A を書く（どこかに座標系を固定しなくてはいけないのだから当然だ）。次にA点から光を出す。光はこの座標系では常に45度の方向に進む。そしてそれが人間の軌跡と交わるのがM点。そこを通り抜けて電車の先端の軌跡に達する場所がD点である（上右図参照）。 #ref(douji4.png) では次に、先端から出た光の軌跡を書いてみよう。ここで大事なのは、この光はM点を通過しなくてはいけないことである。なぜなら、この光が0時0分0秒の時計の文字盤からの光だとするならば、この人はこの（M点で表される）瞬間、前を向いても後ろを向いても、ちょうど時計が0時0分0秒を示さなくてはいけない。つまり「0時0分0秒という文字盤の光」が同時にこの人を通過しなくてはいけないのである。今考えている座標変換というのは、見る人の立場によって物理現象がどう変わってみるかを式で表すものである。「この人がどっちを向いても0：0：0が見える」という事実はどちらの座標系で考えても成立しなくては行けない、物理的事実である。よって、M点から右下と左上に45度の傾きの線を伸ばしていく。結果が次の図である。 これから、x'-ct'座標系（電車が静止している座標系）において「同時」であるA点とB点は、x-t座標系（電車が運動している座標系）においては同時でない。 &color(Green){外から見るとAの方が先でBが後ということになるんですか？}; &color(Red){そうです。不思議ですがそうなります。}; &color(Green){それを示す実験もあるんですか？}; &color(Red){直接にこれを示す実験と言われるとすぐに思いつかないけど、このローレンツ変換というものを使って作った相対論的力学というのが実験にぴったりあった結果を出すので、これも正しいと考えられますね。}; &color(Green){時間軸と空間軸の傾きは何か関係があるのですか？}; &color(Red){もちろん。図を見るとMを通る光線は両方45度の傾きになるので、この図のABDCは菱形です。というわけで、図の上で時間軸の傾きと空間軸の傾きは同じです（菱形の場合、角度は等しいので）。}; なお、同時の相対性にずいぶんこだわっていろいろ図を書いて説明しているが、それはこの同時の相対性こそが相対論を理解するのにもっとも重要な（そして、それゆえにとっつきにくい）概念だからである。この説明で「わかった」と思えた人は、相対論理解という山の七合目までは来ている。 **4.2 光速度不変から導かれること---ウラシマ効果 [#lfaf8301] &color(Red){ウラシマ効果の説明[[アプレット>http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/rel2006/rockets.html]]を見せました。これも説明去年のまま。手抜きでごめん。以下の具体的計算については今回はあまり触れてません。来週ちゃんとやります。}; CENTER: #ref(okure.png,,60%) マイケルソンとモーレーの実験における、南北方向の光について思い出す。実験装置が動いていないという立場（地上にいる人の立場）で観測すると、距離2L を光が進むので、往復に&mimetex({2L\over c});かかる。一方同じ現象を、装置が速さv で東に動いているという立場（地球外の人の立場）で観測する。この人にとっては光は南北方向にではなく、少し斜めに（光の速度ベクトルcと地球の速度ベクトルvが図に書いたような関係になるように）進んでいる。この人にとっての光の速度の南北方向成分は&mimetex(\sqrt{c^2-v^2});になる（当然cより遅い）。 ゆえにこの時に光が発射されてから到着するまでの時間は&mimetex({2L\over \sqrt{c^2-{v^2}}});となる(Lは南北方向の距離であることに注意せよ)。つまり、地球外の人の方が同じ現象にかかった時間を&mimetex({1\over\sqrt{1-{v^2\over c^2}}});倍だけ、長く感じることになる。 このように、動いている人（この場合は地球上にいる人）の時間は止まっている人（この場合は宇宙から観測する人）の時間より遅くなることになる。これを浦島太郎の昔話になぞらえて、ウラシマ効果と呼ぶ。 ここで、地上でも宇宙でも相手の方が時間が遅いと感じるなんておかしい、と思うかもしれないが、次のように考えるとおかしなところは何もない。 CENTER: #ref(otagai.png,,75%) 地上で実験する場合、光の発射と到着は図Aに矢印で「発射」と「到着」と示した２つの時空点である。この場合、x'座標系で見て同じ場所に光が戻っている。x座標系でみれば、同じ場所に光は戻っていないことになる。一方、宇宙で実験する場合（図B）の「発射」と「到着」は、x座標系で見て同じ場所に光が戻る(x'座標系では同じ場所に戻らない)。 どちらで実験する場合も、実験装置と共に動いている方は、&mimetex({2L\over c});という時間を観測する（これは相対性原理からして当然）。もう一方は、その時間を、「自分の時間」を使って測定するのだが、互いの同時刻面は相手に対して傾いている。その傾きがゆえに、双方が「おまえの時間の方が遅い」と判断することになるのである。 図B'は、図Bを、x'-t'座標系が垂直になるように書き直したものである。ct 軸に関しては図Bを左右逆転したような図になっている（速度逆向きの座標変換だから）。 CENTER: #ref(otagai2.png) また、図C中の点線は原点からいろんな速度で出発した人の時計が同じ時刻を刻む時空点を線でつないだものである。速く動く人ほど持っている時計は遅く進むので、垂直に対して傾いた軌道をとっている人ほど、止まっている人との時間差が大きくなる。 結局、x'-t'系での同時がx-t座標系から見ると傾いていてx-t座標系での同時と同じではないため、このように「互いに相手の時間を短く感じる」という一見矛盾した結果が出る。 以上、この章では、「光速度が誰から見ても（どんな慣性系から測定しても）同じである」という事実から + 物体の長さは見る立場によって違って見える（長さのスケールは絶対ではない）((これは前章の最後で、「ローレンツ短縮」として紹介した。))。 + 見る立場によって二つの事象が同時かどうかは変わってくる（同時性も絶対ではない）。 + 経過する時間は見る立場によって違って見える（時間のスケールも絶対ではない）。 ということが帰結されることを説明した。 これは日常的な感覚からすると非常識に聞こえる。しかし、我々の「日常的な感覚」は、飛行機に乗ったとしてもせいぜい&mimetex(3\times 10^2);m/sつまり光速度の100万分の１の速度でしか運動しない生活で培われたものであることを忘れてはいけない。 たとえばウラシマ効果の係数&mimetex({\sqrt{1-{v^2\over c^2}}});は光速度の100万分の１(&mimetex(10^{-6});)の場合、 #mimetex(\sqrt{1-\left(10^{-6}\right)^2}=0.99999999999949999999999987499999999993749999999995\cdots ) であって、１よりも&mimetex(0.5\times10^{-12});程度小さいだけである。この程度の時間差は日常では関知できないから、そんな差が生まれているとはとても思えない。しかし、精密に測定すればもちろん実験で確認できるのである。 このような話を「そんな常識はずれな！」「感覚に合わない。なんかおかしい」と批判し受け入れない人は多い。しかし、だが、我々の``常識''は、光速よりも遙かに遅い運動でしか運動しない生活の中で作られたものだということを忘れてはいけない。現実の世界は、そういう狭い経験しか持っていない人間の常識から来る感覚とはずれたところにある((同様に「常識外れだが、それでも真実」なものには量子力学がある。我々はふだん量子力学が重要になるスケールより遙かに大きいサイズの物体ばかり相手にしているので、量子力学が変ちくりんに見え、古典力学の方が真実っぽく見えてしまう。そういう意味では、我々は量子力学を実感するには大きすぎ、相対論を実感するには小さすぎる。))。実験技術の進歩と物理学そのものの発展が、我々の日常の生活では実感できないような現象を理解するためには、「新しい常識」を作っていかなくてはいけないことを教えてくれた。今や相対論や量子論の助けなしには様々な機械がちゃんと動かない世界に我々は生きている。「相対論って感覚に合わないから間違っているのでは？」「量子論って常識はずれだからどこかに嘘があるのでは？」と考えるのは、「地球が丸いなんて信じられない、平らなはずだ」と言っていた昔の人と同様に、今となっては愚かなことである。 常識が役に立たない物理現象を相手にする時、我々の思考の助けになってくれるのが数式である。次の章では、以上の結果を数式でまとめて、もう一度考察していこう。 なお、ここまでy,z座標については何も考えなかったが、y,zおよびy',z'の原点が一致しているとすれば、 y'=y, z'=z が成立する。y=0とy'=0は一致しなくてはいけないので、この形になる。&mimetex(y'=\alpha y);のように伸縮しても良さそうに思えるかもしれないが、もし&mimetex(y'=\alpha y);だったとすると、その逆変換は&mimetex(y={1\over \alpha}y');となる。もし&mimetex(\alpha\neq1);であると、y座標に関して「x方向に動くと伸びるが、-x方向に動くと縮む」というおかしなことが起こってしまう。xのどちらが正方向なのかは人間の勝手で決めるものであるから、そんなものに物理現象が左右されるのはおかしい。 この変換を最初に導いたのはアインシュタインではなくローレンツなので、これを「ローレンツ変換」と呼ぶ。しかし、ローレンツはローレンツ変換における新しい座標での時間t'を「局所時」と呼んで、本当の意味の時間ではないと考えていたらしいし、ローレンツ短縮は物理的収縮だと考えていた。数式としては正しいものを出していたが解釈を誤っていたわけである。なお、この時期にはポアンカレもローレンツ変換を導き、相対論とほぼ同等な理論を作っている((この点に関してはローレンツ本人は後に、「局所時は本当の時間ではないという考えから抜け出せなかったのは失敗だった」という意味のことを述べている。ポアンカレの方はアインシュタインの相対論を無視したまま亡くなった。))。前にも述べたが、「天才一人が現れてそれまでの物理ががらっと変わる」などということは実際には起きない。相対論も、アインシュタイン一人が作ったものではない。 *学生の感想・コメントから [#pf7842c5] &color(Green){ついていけなくなりそうです。（多数）}; &color(Red){今日がたぶん、一番たいへんなところです。この「誰から見ても光速が等しくなるように物理現象はできている」ということを納得して、「だとすると何が起こるのか？」をちゃんと考察できれば、相対論というものの意味はわかってきます。}; &color(Green){ローレンツ短縮ってのはほんとに縮むんですか？（複数）}; &color(Red){その質問に答えるには、まず「ほんとに縮む」という言葉の意味をはっきりさせないと。物体の長さが短く観測されると言う意味では、ほんとに縮みます。しかし、縮んでいると思われる物体にとっては（つまりその物体が静止する座標にのって考えると）全く縮んでいません。全ては相対的ということです。}; &color(Green){原子時計って何ですか？}; &color(Red){原子の固有振動を使った時計です。振り子の代わりに原子の振動を使う。非常に精密に時間を測定できます。}; &color(Green){マイケルソン・モーリーの実験を宇宙でやったらどうなりますか？}; &color(Red){同じ結果になるでしょう。宇宙で光速度を測定する実験は行われていますが、やはり常に不変でcです。}; &color(Green){もし光速に近づけば未来に行けるんですか？}; &color(Red){光速を越えれば行けます。その話は今日できませんでしたね。}; &color(Green){時間軸がずれるという話があったが、今までは距離が変化する話が多かったので、おかしな感じがした。}; &color(Red){時間と距離と全部が変換されるのがローレンツ変換です。}; &color(Green){地球とロケットのアニメで、上下する光の速さが違ったのはなぜですか？}; &color(Red){違っているように見えましたか？だとしたら錯覚です。同じ速さです。}; &color(Green){ウラシマ効果は存在しないんだと勝手に思ってました。ほんとにあるんですね。}; &color(Red){ありますよ。授業中も言いましたが、実験事実です。}; &color(Green){（１）ローレンツ短縮（２）同時の相対性（３）ウラシマ効果とありましたが、（２）から（３）が導けたりはしないんですか？}; &color(Red){むしろ、（１）（２）（３）まとめていっきに導けるというのが普通の考え方ですね。}; &color(Green){光より速い運動はないのですか？}; &color(Red){今のところ見つかってませんね。}; &color(Green){物体を光速まで加速するには莫大なエネルギーがいるそうですが、光はどうやって光速を得るんですか？}; &color(Red){光は生まれた時から光速なのです。}; &color(Green){電車が移動しながら光を出した時、慣性は起こらないのですか？}; &color(Red){光を出した反動で電車が加速したり減速したりしないのですか、という意味ですか？だったらもちろん、加減速しますが、非常に微小です。それとも、移動しながら光を出せば速くなるんですか、という意味ですか？それならなりません。これは音でも地震波でも、波はみんなそうです。波の速度は波源の速度に影響されません。}; &color(Green){菱形になっていく変換は、思考実験でしか説明できないのですか？}; &color(Red){授業中も言いましたが、直接実験ではありませんが、間接的に実験は行われています（相対論的な現象において、相対論的力学が正しい結果を出すということは、ローレンツ変換が正しいということです）。}; &color(Green){地球の質量ぐらいのエネルギーで人間一人を加速すれば光速ぐらいは出るような気がします。}; &color(Red){光速にきわめて近いが、光速以下しか出ません。}; &color(Green){課題は出たのですか？}; &color(Red){まだ出してません。}; &color(Green){ウラシマ効果はタイムマシンの原理ですか？}; &color(Red){ウラシマ効果だけだと、時間を遅らせるだけで過去に戻ったりできないので、タイムマシンとは言えません。}; &color(Green){光速という実現できないものを取り扱って、その性質を調べることの本当の意味は何ですか？}; &color(Red){人間を光速に近い速度で動かすことはできませんが、電子や陽子のような粒子を光速に近い速度で動かすことはできるので、「実現できない」わけではありません（人間を光速に近い速度で動かすことも、いつかできるかもしれませんしね）。科学というのはいろんな可能性を探るものです。電子を光速に近く加速する技術からは、いろんな応用が生まれてますよ。}; &color(Green){ローレンツ短縮で空間軸の目盛りがずれるなら、ウラシマ効果はローレンツ短縮によって起こる現象なんですか？}; &color(Red){いえ、どっちがどっちを導くというわけではなく、両方が同時に起こる現象です。}; &color(Green){電車がスタートすると同時に光を出すとしたら、電車の後が先に動いて、前が後から動くのですか？}; &color(Red){その通りです。そういう同時性も、見る立場が変われば変わります。}; &color(Green){光じゃなく、ボールなどを投げる話でも、同時性はずれますか？}; &color(Red){ずれます。同時刻の相対性は、ローレンツ変換の性質なので、動く座標系にローレンツ変換すれば、必然的に同時が同時でなくなります。}; &color(Green){ロケットから見ても地球から見ても互いが遅れて見えるのなら、地球で10年の間にロケットで6年立つということはあり得ないのでは？}; &color(Red){ロケットの方は等速直線運動していないので、加速している時に帳尻が合うのです。この話はまたいずれ。};
