#hr
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#hr


#contents

&color(Red){以下の部分を話している途中に「いかに行列が計算を楽にしてくれるか」という話をした。というのは先週の感想の中で「行列嫌い」とか「行列が出てくるとわからない」というのがちらほら見られたから。たとえば先週、};

#mimetex(\left(\begin{array}{c}A'_x\\A'_y\\A'_z\end{array}\right)= {\bf M}\left(\begin{array}{c}A_x\\A_y\\A_z\end{array}\right))

&color(Red){（&mimetex({\bf M});は行列）と、};

#mimetex(\left(\begin{array}{c}B'_x\\B'_y\\B'_z\end{array}\right)= {\bf M}\left(\begin{array}{c}B_x\\B_y\\B_z\end{array}\right))

&color(Red){という変換が内積&mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z);を不変に保つ、ということから、&mimetex({\bf M}^t {\bf M}={\bf I});を導いたわけだが、これを行列を使わずにやれ、と言われたら、};

#mimetex(A'_x = M_{xx}A_x+M_{xy}A_y+M_{xz}A_z)
#mimetex(A'_y = M_{yx}A_x+M_{yy}A_y+M_{yz}A_z)
#mimetex(A'_z = M_{zx}A_x+M_{zy}A_y+M_{zz}A_z)

&color(Red){と、};

#mimetex(B'_x = M_{xx}B_x+M_{xy}B_y+M_{xz}B_z)
#mimetex(B'_y = M_{yx}B_x+M_{yy}B_y+M_{yz}B_z)
#mimetex(B'_z = M_{zx}B_x+M_{zy}B_y+M_{zz}B_z)

&color(Red){と、};

#mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=A'_xB'_x+A'_yB'_y+A'_zB'_z)

&color(Red){から、};

#mimetex(M_{xx}M_{xx}+M_{xy}M_{yx}+M_{xz}M_{zx}=1)
#mimetex(M_{yx}M_{xx}+M_{yy}M_{yx}+M_{yz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{zx}M_{xx}+M_{zy}M_{yx}+M_{zz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{xy}M_{xy}+M_{xy}M_{yy}+M_{xz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{yy}M_{xy}+M_{yy}M_{yy}+M_{yz}M_{zy}=1)
#mimetex(M_{zy}M_{xy}+M_{zy}M_{yy}+M_{zz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{xz}M_{xz}+M_{xy}M_{yz}+M_{xz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{yz}M_{xz}+M_{yy}M_{yz}+M_{yz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{zz}M_{xz}+M_{zy}M_{yz}+M_{zz}M_{zz}=1)

&color(Red){を導け、ということになる。もちろん、やればできるのだが、行列で求めるのに比べ、ややこしいうえに見通しもはなはだ悪い。};


**6.4 ４元ベクトル [#mc3f00c4]

３次元のベクトル&mimetex(\vec V=(V_x,V_y,V_z));は座標変換の時に、座標&mimetex(\vec x=(x,y,z));と同じ行列で変換される。その時二つのベクトルの内積が不変量であった（内積のもともとの定義は二つのベクトルの長さと、その間の角のcosの積である。回転によって長さと角度は不変）。

同様に、４成分のベクトル&mimetex(V^\mu(\mu=0,1,2,3));を考える((少し前から使っているが、&mimetex(i,j,k,\cdots);などのアルファベットは1,2,3（３次元空間）の添字として、&mimetex(\mu,\nu,\rho,\cdots);などのギリシャ文字は0,1,2,3(４次元時空)の添字として使う、というのが相対論の本でよく使われる約束である。))。

座標がローレンツ変換(&mimetex(x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_{~\nu}x^\nu);)された時、このベクトルは&mimetex(V^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_{~\nu}V^\nu);と同様のローレンツ変換を受けるとしよう。一例をあげると、

&mimetex( \begin{array}{rlcrl}  ct'=&\gamma(ct-\beta x) & &V^{\prime0}= &\gamma(V^0-\beta V^1) \\  x'=&\gamma(x-\beta ct) & &V^{\prime1}= &\gamma(V^1-\beta V^0) \\  y'=&y & &V^{\prime2}= &V^2 \\  z'=&z & &V^{\prime3}= &V^3 \\ \end{array});　この時、 &mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc}	     \gamma&-\beta\gamma &0 &0 \\		   -\beta\gamma&\gamma &0 &0 \\		   0&0 &1 &0 \\		   0&0 &0 &1 \\		  \end{array}\right));

このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後で出てくる４元速度、４元加速度、４元力などは全て４元ベクトルである。二つの４元ベクトル&mimetex(V^\mu,W^\mu);を考える。では、このようなベクトルによって作られる、座標変換（この場合ローレンツ変換）の不変量はどのようなものだろう。

この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように&mimetex(V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3);と定義したとすると、これはローレンツ変換で保存しない。保存するのは、
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^2+V^3W^3)
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がローレンツ変換で保存することは、
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}V^{\rho} \alpha^\nu_{~\lambda}W^{\lambda}=\underbrace{ \eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lambda}}_{=\eta_{\rho\lambda}}V^{\rho} W^{\lambda}=\eta_{\rho\lambda}V^\rho W^\lambda)
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた&mimetex(\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu);が不変量であったことからもわかる。

このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時には&mimetex(\eta_{\mu\nu}W^\nu);という組み合わせがよく出てくるので、
#mimetex( W_\mu = \eta_{\mu\nu}W^\nu)
という量を定義する（ここから、上付きの添字を持つベクトル&mimetex(V^\mu);と下付きの添字を持つベクトル&mimetex(V_\mu);を区別するので注意！）。上付きの添字を持つベクトルを「反変ベクトル」、下付きの添字を持つベクトルを「共変ベクトル」という。&mimetex(\eta_{\mu\nu});の内容を考えれば、&mimetex(W_0=-W^0, W_1 = W^1, W_2=W^2,W_3=W^3);ということである。つまり、&mimetex(W^\mu);と&mimetex(W_\mu);の違いは第０成分（時間成分）の符号だけである。このようにミンコフスキー空間の直線座標系では反変ベクトルと共変ベクトルの差は時間成分の符号だけで、大きな差はないが、曲線座標系などではそうではなくなるし、特に一般相対論では大きな差になる。この講義ではそこには触れない。

&mimetex(\eta_{\mu\nu});の逆行列を&mimetex(\eta^{\mu\nu});と書くことにする。つまり、

&mimetex( \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^{\nu});　　　　(&mimetex(\delta_\mu^\nu); はμ=νの時1でそれ以外0という記号)

ということである（注：&mimetex(\eta_{\mu\nu});と&mimetex(\eta^{\mu\nu});の中身は同じ）。この時、
#mimetex( W^\mu = \eta^{\mu\nu}W_\nu)
も成立する。つまり添字はηを使って上げたり下げたりできる。そういう意味でも、共変ベクトルと反変ベクトルは中身は同じであって、表現が違うだけである。

共変ベクトルのローレンツ変換は、
#mimetex( W'_\mu = \eta_{\mu\nu} W^{\prime \nu} = \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}W^\rho = \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\lambda} W_\lambda)
となるので、その変換行列は&mimetex(\eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\lambda});である。よくみるとこれは&mimetex(\alpha^\nu_{~\rho});の添字をηを使って上げたりさげたりしていることになるので、
#mimetex( \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\lambda} = \alpha_\mu^{~\lambda})
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換は&mimetex(B'_\mu = \alpha_\mu^{~\nu}B_\nu); となる。

共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの添字をそろえて和を取る。この添字は一方が上付きならもう一方は下付きである」と考えれば変換ルールを覚えやすい。

また、
&mimetex(\eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lambda}=\eta_{\rho\lambda});から、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta_\rho^\lambda)
RIGHT:(ααδの式)&aname(alphaalphadelta);

ということもわかる。これは、行列&mimetex(\alpha^\mu_{~\rho});の転置と行列&mimetex(\alpha_\mu^{~\lambda});が互いの逆行列であることを意味する。

座標と同じ変換をする方が''「反」''変で、少し違う変換をする方が''「共」''変なのは気持が悪いが、数学では微分演算子の方が基本的な量なので、こういう命名になっている。つまり微分演算子&mimetex({\partial \over \partial x^\mu});は共変ベクトルなのである。以下でそれを示そう。

まず、微分のchain ruleを使って計算すると、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}={\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}}{\partial\over \partial x^\nu})
のように微分演算子が変換することがわかる。一方、ここで現れた&mimetex({\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}});という行列は、
#mimetex( {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\nu}= {\partial \left(\alpha^\mu_{~\rho}x^\rho\right)\over \partial x^\nu}=\alpha^\mu_{~\nu})
という行列の逆行列である。つまり、

&mimetex( {\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}} {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\rho}=\delta^\nu_{~\rho});　あるいは　&mimetex({\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}}\alpha^\mu_{~\rho}=\delta^\nu_{~\rho});

である。これと([[ααδの式>#alphaalphadelta]])を見比べると、&mimetex({\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\mu^{~\nu});ということであるから、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\mu^{~\nu}{\partial\over \partial x^\nu})
が成立するのである。これは微分演算子が共変ベクトルであるということを示している。

反変ベクトル&mimetex(A^\mu);と共変ベクトル&mimetex(B_\mu);の内積のローレンツ変換は
#mimetex( (A')^\mu(B')_\mu = A^\nu \underbrace{\alpha^\mu_{~\nu} \alpha_\mu^{~\rho}}_{=\delta_{\nu}^\rho}B_\rho =A^\mu B_\mu)
である。つまり、反変（上付き）添字と共変（下付き）添字が足し上げられていると、ローレンツ変換した結果、それぞれのローレンツ変換が消し合って、まるで最初から添字がついていないかのごとく変換を受けない。つまり添字の意味がなくなっている。それゆえこのように添字が足し合わされている状況を「つぶれている」と称するのである。

なお、&mimetex(C_{\mu\nu},A^{\rho\lambda\tau},D^\tau_{~\sigma\mu\nu});のように添字を複数個もち、上付き（反変）添字が&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu});で、下付き添字が&mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});で変換されるような量を「テンソル」と言う((「この量はテンソルである」という時、その添字がちゃんとローレンツ変換によって変換されるということが重要である。))。反変ベクトルは上付き添字が一つのテンソル、共変ベクトルは下付き添字が一つのテンソルである（スカラーは添字のないテンソル）。

複数個の添字のあるテンソルは、その添字の一個一個にαがかかっていくように変換される。
例えば
#mimetex( (D')^{\tau}_{\sigma\mu\nu}= \alpha^\tau_{~\tau'}\alpha_\sigma^{~\sigma'}\alpha_\mu^{~\mu'}\alpha_\nu^{~\nu'}D^{\tau'}_{\sigma'\mu'\nu'})
のように変換される。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu});あるいは&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});は添字が二つあるテンソルの例でもある。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu},\delta^\mu_{~\nu});は座標変換で変化しないので、不変テンソルと呼ぶ((この他に不変テンソルとしては、完全反対称テンソル&mimetex(\epsilon^{\mu\nu\rho\lambda});がある。))。


&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});がローレンツ変換で不変であることを証明しよう。&mimetex(x^\mu\to \alpha^\mu_{~\nu}x^\nu);と座標変換された時、&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});は
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\rho_{~\lambda}= \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\rho})
&aname(deltaalphaalpha);
RIGHT:(δααの式)

と座標変換される。この式を([[ααδの式>#alphaalphadelta]])の左辺と見比べるとよく似ている。違いは([[ααδの式>#alphaalphadelta]])では前の添字がダミーになっていて、([[δααの式>#deltaalphaalpha]])では後ろの添字がダミーになっていることである。ここで、行列&mimetex({\bf A });（その成分は&mimetex(A_\rho^{~\mu}=\alpha^\mu_{~\rho});）と行列&mimetex({\bf B });（その成分は&mimetex(B_\mu^{~\lambda}=\alpha_{\mu}^{~\lambda});）を考えると、([[ααδの式>#alphaalphadelta]])の左辺すなわち&mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda});は行列の積&mimetex({\bf AB });の&mimetex((\rho,\lambda));成分と見ることができる。一方、([[δααの式>#deltaalphaalpha]])すなわち&mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\rho});は行列&mimetex({\bf BA });の&mimetex((\mu,\nu));成分とみることができる。&mimetex({\bf AB }=I);(単位行列)であるから、&mimetex({\bf BA }=I);となり、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\rho_{~\lambda}=\delta^\mu_{~\nu})
が証明される。


なお、このことからも、&mimetex({\partial\over \partial x^\mu});は共変ベクトルでなくてはならないことがわかる。なぜなら、
&mimetex({\partial \over \partial x^\mu} x^\nu=\delta_\mu^\nu);という式が成立している。
&mimetex(x^\nu);が反変ベクトルなのだから、それとかけて&mimetex(\delta_\mu^{~\nu});というテンソルになる&mimetex({\partial\over \partial x^\mu});は共変ベクトルである。


**6.5 章末演習問題 [#i5660b29]

''[演習問題6-1]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma&-\beta\gamma &0 &0 \\ -\beta\gamma&\gamma &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \\  \end{array}\right));の時、

+ &mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});を求めよ。
+ &mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta_\rho^\lambda);を確認せよ。
+ これによって微分演算子&mimetex(\partial_\mu=\left({\partial \over \partial (ct)},{\partial\over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right));はどのように変換されるか。
+ 変換の後も&mimetex({\partial_\mu}x^\nu=\delta^\nu_{~\mu});が成立していることを確認せよ。


''[演習問題6-2]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1&0 &0 &0 \\ 0&\cos\theta &\sin\theta &0 \\ 0&-\sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0&0 &0 &1 \\  \end{array}\right));の時、前問同様の計算を行え。


*第７章　相対論的力学 [#wc3c1e5c]

**7.1 不変性と共変性 [#v605ec9a]

すでに述べたように、物理においては「座標系によらない量」がたいへん大事である。また、「座標系によらず成立する式」も同様に大事である。逆に言えば「特定の座標系でしか計算できない量」や「特定の座標系でしか成立しない式」には意味がない。

ある物理量が「ローレンツ変換に対して不変である」ということは、ある座標系での量&mimetex(\phi(x));が、別の座標系での同じ地点での量&mimetex(\phi(x'));と
----
CENTER:スカラーの変換性
#mimetex( \phi(x)=\phi(x'))
----


という関係を持つ、つまり座標系を変えても同じ値であることを言う。このような性質を持つ量をスカラーあるいは「ローレンツ・スカラー」と呼ぶ\footnote {これまでは「スカラー」と言えば単に「１成分の量」という意味合いで使っていた人も多いかもしれない。相対論におけるスカラーの定義は「座標を変えても変化しない量」ということである。}。

不変性と同時に重要な概念が「共変性」である。ある方程式が共変であるとは、たとえば&mimetex(A^\mu=B^\mu);、あるいは&mimetex(C_{\mu\nu}=D_{\mu\nu});のように、方程式の両辺がローレンツ変換に対して同じ変換をすることを言う。たとえば&mimetex(A^\mu=B^\mu);をローレンツ変換すると、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}A^\nu= \alpha^\mu_{~\nu}B^\nu)
のように、左辺と右辺が同じ変換をして、結局は&mimetex((A')^\mu=(B')^\nu);という、同じ形の式になる。この場合「この方程式は共変である」と言う。

たとえば、&mimetex(E^\mu=F^{\mu\nu}G_\nu);という形の方程式は共変である。座標変換すると、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lambda}F^{\rho\lambda}\alpha_{\nu}^{~\sigma}G_\sigma)
となるが、すでに述べたように、
&mimetex(\alpha^\nu_{~\lambda}\alpha_{\nu}^{~\sigma}=\delta_\lambda^{~\sigma});と
いう関係があるので、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}F^{\rho\lambda}G_\lambda)
となる（「つぶれている」添字であるμに関しては変換を受けない、と考えても良い）。

結局、左辺と右辺で共変ベクトル（下付き）や反変ベクトル（上付き）の添字が同じ形になっていれば、両辺が同じ変換をするので方程式は共変となる。

たとえば
#mimetex( A_\mu=B^\mu)
のような式には共変性がない。たまたまある座標系で成立していたとしても、ローレンツ変換したら成立しなくなってしまう。

物理法則は座標系によらず成立すべきであるから、当然ながらその物理法則は共変な式で書かれていなくてはならない。物理法則をテンソルで書く利点は、この共変性が明白になるということである。テンソルで共変に書かれた方程式（つまり左辺と右辺で添字の形があっている方程式）は、ある座標系で成立するならば別の座標系でも成立する。これが、相対論的に考える時にテンソルを使う大きな利点である。


実はニュートンの運動方程式&mimetex(\vec F=m{d^2 \vec x\over dt^2});はその意味では物理法則失格である。この方程式は３次元ベクトルで書かれており、４次元的な意味ではまったく共変ではない。

以下で、ニュートン力学をローレンツ変換にたいして共変になるように書き直す。これによって、力学はまったく新しいものに生まれ変わることになる。


**7.2 ニュートン力学を相対論的に再構成する [#zcdc40a0]

ここまでの流れを整理しよう。

|    |ガリレイ変換 |ローレンツ変換 |実験的検証|
|ニュートン力学(非相対論的) | ○|× | 19世紀まで○ |
|ヘルツの方程式(非相対論的)|○|× | ×|
|マックスウェル方程式(相対論的)| ×|○ | ○|
|相対論的力学？|× |○ |○ |


相対性原理（絶対空間は存在しないということ）を一つの原理として考えてきた。そして、電磁気の基本法則であるマックスウェル方程式が相対性原理を満たしていないように見える（ガリレイ変換で不変でない）ことから、マックスウェル方程式を破棄するか、ガリレイ変換を破棄するかの二者択一を迫られることになった。マイケルソン・モーレーをはじめとする実験事実から、破棄されるべきなのはガリレイ変換であり、ローレンツ変換へと修正すべきであることがわかった。また、時間と空間を別物と考えるのではなく、合わせて４次元の時空を考えて、その４次元を混ぜ合わせるような変換としてローレンツ変換を捉えればよいことがわかった。

そこでもう一度元にもどって考えると、そもそも相対性原理が考えられたのは、ニュートン力学はガリレイ変換で不変であったからである。しかし電磁気に対する考察からガリレイ変換はローレンツ変換へと修正されたのだから、今度はニュートン力学をローレンツ変換で不変になるように作り直さなくてはいけない。この章で考えるのはローレンツ変換で不変になるように作り直された新しい力学、すなわち相対論的力学である。

そこで、どのようにして相対論的力学を作るか、その概要を述べる。ニュートン力学の基本である運動方程式は
#mimetex( {dp^i\over dt}=f^i)
という形をしている。&mimetex(p^i);は運動量で、具体的には&mimetex(p^i=m{dx^i\over dt});である。ニュートン力学では、ある時刻tにおいて、物体の位置&mimetex(x^i(t));を時間の関数として与え、時間がたつにつれてこれらがどのように変化していくかを運動方程式を使って追い掛ける。ニュートン力学では時間というものが特別なパラメータとなっている。しかし、時間というものを特別視していては、相対論的に不変な方程式にはならない。運動のパラメータとしては座標時間tを使うのではなく、固有時τを使うべきである。τは「その物体が静止している座標系で測った時間」という定義になっているので、物体を決めれば一意的に決まり、ローレンツ変換しても変わらない。以下で、
----
CENTER:''相対論的力学を作る方針''

+ 座標時間による微分&mimetex({d\over dt});は全て固有時微分&mimetex({d\over d\tau});に置き換える。
+ ３次元ベクトル&mimetex(x^i=(x(t),y(t),z(t)));で表されている量は４元ベクトル&mimetex(x^\mu=(ct(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau)));に拡張する。
+ 方程式の両辺はローレンツ変換した時に同じように変換される(''共変性'')ように作る。

----

という方針で相対論的力学を作っていこう。

固有時τと座標時tの微分は物体が静止している時には等しい(&mimetex(d\tau=dt);)ので、このようにして作られた相対論的力学は、物体が静止している状況ではニュートン力学と同じ答を出す。あるいは、「物体の速度が光速cに比べ十分小さい状況ではニュートン力学に近似できる」と言ってもよい。それゆえ、ニュートン力学は破棄されるわけではなく、相対論的力学の近似として生き残る((というより、相対論的力学は近似としてニュートン力学を含まねばならない。新しい理論は、古い理論が説明していた物理現象も説明できるものでなくては意味がないからである。))。

**7.3 ４元速度 [#sef1b69a]


まず、ニュートン力学における３次元速度&mimetex({dx^i\over dt});を&mimetex(V^\mu=\left(c{dt\over d\tau},{dx\over d\tau},{dy\over d\tau},{dz\over d\tau}\right));に置き換える。固有時τはローレンツ変換で変化しないため、&mimetex(x^\mu);が&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}x^\nu);とローレンツ変換される時、&mimetex(V^\mu \to \alpha^\mu_{~\nu}V^\nu);とローレンツ変換される。すなわち&mimetex(V^\mu);は４元ベクトルであり、「４元速度」と呼ばれる。
物体の４元速度の自乗を計算すると、
#mimetex(\left(-c^2\left({dt\over d\tau}\right)^2+\left({dx\over d\tau}\right)^2+\left({dy\over d\tau}\right)^2+\left({dz\over d\tau}\right)^2\right)= -c^2)
&aname(fournorm);
となる。つまり、４元速度は常に時間的（自乗がマイナスになるベクトル）であって、４元速度の自乗は一定値なのである。３次元的に見ると物体はそれぞれ固有の速さを持って運動しているように見えるが、４次元的に見れば全て同じ速さで運動している、と考えることもできる。ただし、

(４元速度の自乗)=（空間的速度の自乗）-（時間的速度の自乗）

という形になっているので、空間的方向の速度が速くなると時間的方向の速度も速くならなくてはいけない。

「時間方向の速度」というのは変な表現だが、今考えている「速度」というのは「単位固有時あたりの変化」という意味であるから、「τ(固有時) が1変化する間にt(座標時)はどれだけ変化するか」ということである。動いているとこれが速くなる。というのはどういうことかというと、「小さいτの変化に対し、tが大きく変化する」逆に言えば「tが大きく変化しているのにτがあまり変化しない」ということである。つまり、「時間方向の速度が速くなる」というのは、「運動物体の時間は遅れる」ということの別の表現だということになる。

*学生の感想・コメントから [#hc88f07e]

&color(Green){行列の重要性がよくわかりました(複数)。};

&color(Red){使いはじめは面倒に思えても、慣れるとそれなしでは計算ができなくなるようなものがけっこうあります。行列も慣れると手離せなくなります。};

&color(Green){一般相対論の集中の方でもちょうど反変ベクトルと共変ベクトルが出てくるところをやっていたけど、あまり深く説明しなかったので、今日の内容はわかりやすかった。};

&color(Red){一般相対論での反変ベクトルと共変ベクトルの区別は、今日やった話よりもずっとずっと重要です（今日の話は一般相対論で必要な話のうち、ほんの一部しかやってない）。};

&color(Green){私の時計は４秒ごとに動きます。相対論関係ないけど変な気分になりました。};

&color(Red){変な時計だなぁ。あなたの固有時だけ４秒刻みですか。};

&color(Green){「スカラーは不変量である」というスカラーの新しい見方があることに驚きました。};

&color(Red){分野や使いどころが違うと、言葉の意味もいろいろです。もともと、大きさという意味のスカラーは回転しても変わらない量なので、全然別の意味で使っているわけではありません。};

&color(Green){これから力学がどのように変わっていくのか楽しみです。};

&color(Red){来週をお楽しみに。};

&color(Green){運動方程式がガリレイ変換で共変というのは具体的にはどういうことですか？};

&color(Red){&mimetex(\vec F=m{d^2\vec x\over dt^2});で、xを&mimetex(x'=x-vt);と置き換えても、右辺の加速度は変化しません。この場合は共変というより不変に近いですね。};
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