電磁気学2007年度第13回 の変更点

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#hr

#contents

&color(Red){前回は一様に帯電した球の作る電位を先に求めてあった電場から計算した。今日はまずその復習をしてから、それ以外の方法について話した。};


''微小部分の作る電位を考えてそれを積分する''

&color(Red){ここの節については簡単な説明で済ませた。};


#ref(taidenkyu.png)
電場の時にも使った、「まず細かく分けて考える」という手法である。電場の計算同様、まず微小部分（体積は$(r')^2 \sin\theta dr' d\theta d\phi$）のつくる電位を考えると、
$$ dV = {\rho (r')^2 \sin\theta dr' d\theta d\phi\over 4\pi \varepsilon_0 \sqrt{r^2 +(r')^2-2rr'\cos\theta}}$$
であるから、これを積分する。φ積分はすぐに終わって2πを出す。θ積分をするためにまた$\int_0^\pi \sin\theta d\theta\to \int_{-1}^1 dt$の置き換えをして、
$$\begin{array}{rl}  V =&{\rho\over 2\varepsilon_0}\int_0^R dr' \int_{-1}^1 {(r')^2 dr' dt \over \sqrt{r^2 +(r')^2-2rr't}}\\ =&{\rho\over 2\varepsilon_0}\int_0^R dr' (r')^2 dr'  \left[-{1\over rr'}\sqrt{r^2 +(r')^2-2rr't}\right]_{-1}^1\end{array}$$
とする。$\left[-{1\over rr'}\sqrt{r^2 +(r')^2-2rr't}\right]_{-1}^1$は$-{1\over rr'}\left(|r-r'|-|r+r'|\right)$となるから、$r>r'$ならば$-{1\over rr'}\times (-2r')$、r<r'ならば$-{1\over rr'}\times (-2r)$である。r'は0からRまで積分するので、R<rならば常に$r>r'$である。その場合、
$$ V  ={\rho\over \varepsilon_0}\int_0^R dr' (r')^2 dr' {1\over r}= {\rho R^3 \over 3\varepsilon_0 r}$$
である。

r<Rの時は積分域をわけて、
$$\begin{array}{rl}  V  =&{\rho\over \varepsilon_0} \left( \int_0^r dr' (r')^2 dr' {1\over r} +\int_r^R dr' (r')^2 dr' {1\over r'} \right)\\=&{\rho\over \varepsilon_0} \left(\left[{(r')^3\over 3r}\right]^r_0 +\left[{(r')^2\over 2}\right]^R_r \right)\\=&{\rho\over \varepsilon_0} \left({r^2\over 3} +{R^2\over 2}-{r^2\over 2} \right)={\rho\over 2\varepsilon_0}R^2 -{\rho\over 6\varepsilon_0}r^2\end{array}$$
この結果は当然、電場から求めたものと等しい。


''ポアッソン方程式を解く''

問題が球対称なので、電位も球対称になると仮定する。ポアッソン方程式は
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = -{\rho\over \varepsilon_0}$$
となる。ただし、$r>R$ではラプラス方程式
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = 0$$
が成り立つ。こちらから解こう。

${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = 0$ 

RIGHT:↓両辺を積分

$r^2 {d\over dr}V(r)= C_1$

RIGHT:↓$r^2$で割り、

${d\over dr}V(r)= {C_1\over r^2}$

RIGHT:↓再び両辺を積分

$V(r)= -{C_1\over r}+ C_2$

$r=\infty$でV=0という境界条件を採用することにすれば、$C_2=0$である。次に内部での方程式を解くと、上と全く同じ手順を踏んで、
$${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = -{\rho\over \varepsilon_0}r^2$$
$$r^2 {d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r^3+C_3$$
$${d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r+{C_3\over r^2}$$
$$V(r)= -{\rho\over 6\varepsilon_0}r^2-{C_3\over r}+C_4 $$
となる。原点でVが発散しないという条件から、$C_3=0$である。

後は$C_1,C_4$を求めればいいが、そのためには今もとめた二つのVと、その微分${dV\over dr}$が、r=Rで等しいという条件を置く。電位の微分が電場であるから、その電位がジャンプするような関数であってはならない（微分ができないから）し、微分がジャンプしてはならない（一カ所に二つの電場があることになってしまう）。その条件は

V(r)の接続条件：$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4=-{C_1\over R}$

と、
${dV\over dr}(r) $の接続条件：$-{\rho\over 3\varepsilon_0}R={C_1\over R^2}$

である。下の式から$C_1=-{\rho\over 3\varepsilon_0}R^3$となり、これを上の式に代入すれば、
$$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4={\rho\over 3\varepsilon_0}R^2$$
となるから、$C_4={\rho\over 2\varepsilon_0}R^2$と求められる。

こうして得た最終結果も、もちろん他の手段で得たものに等しい。

以上、３つの方法で一様な帯電球のまわりの電位を求めた。どの方法がいいかは時と場合によるので「これを使え」という万能の処方箋はない。

この結果において注目すべきことが一つある。それは、$r>R$を考えているかぎり、結果は点電荷Qが原点にある場合の電位${Q\over 4\pi\varepsilon_0 r}$と区別がつかないということである。箱の中に球対称な電荷が入っていて、我々が箱の外でだけ電場や電位が測定できるとすると、その箱の中の電荷が一点に集中しているのか、それとも球状に広がっているのか、我々には判定できない。

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&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。};~

この節で考えた一様な帯電球は、いったん球の外部に出てしまえば電位が距離と総電荷のみで決まり、その総電荷がどの範囲に存在しているかは関係なかった（もちろん、球対称に分布するという条件を満たしている場合のことである）。

#ref(kyutaishodenka.png,,75%)

#ref(deltaF.png)

点電荷とは、この球の半径が0になった極限であると考えられるので、点電荷の作る電位は、$V={Q\over 4\pi\varepsilon_0 r}$である。ただし、$Q={4\pi \over 3}R^3 \rho$は全電気量。これを一定にしつつ$R\to0$の極限を取ることになる（つまり、ρは${3\rho\over 4\pi R^3}$であり、$R\to0$で発散する）　。よって、
#math( -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\right)=\cases{\infty&r=0\cr0&それ以外})
ということになる。右辺は$r\neq0$であって、r=0では発散する。そして、積分すると（もともと電荷密度÷$\varepsilon_0$であって、全電荷はQなので）${Q\over \varepsilon_0}$になる。

物理では「ほとんどの場所では0であるが、原点でのみ0でなく、しかも積分すると1になる関数」を「Diracのδ関数」と呼び、$\delta(\vec x)$と書く。今の場合は積分すると${Q\over\varepsilon_0}$なので、
$$ -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\right)={Q\over \varepsilon_0}\delta(\vec x)$$
と書いてもよい((これから公式$\triangle\left({1\over 4\pi r}\right)= -\delta(\vec x)$が示せたことになる。))。δ関数は電磁気のみならず、量子力学など物理のいろんなところでよく使う関数((なお、正確に言うとδ関数は「関数」ではなく「超関数」と呼ばれるものの仲間である。))なので、今覚えておいて損はない。


***3.5.3 無限に広い板 [#x1ae0a05]

#ref(mugennita.png)
z=-dで表現される面とz=dで表現される面を表面として持つ厚さ2dの板内部に一様に電荷密度$\rho_0$で電荷が分布しているとしよう。この電荷は$x=-\infty$から$x=\infty$まで（yに関しても同様）、つまり宇宙の端から端までずっと同じように分布しているとしよう。

この場合、x,yに依存しない形のポテンシャルになることが対称性からわかる。「対称性からわかる」という言葉の意味は以下の通りである。

いまある場所のポテンシャルがxもしくはyに依存していたとしよう。そうだとすると、その方向には電場があることになる。しかし、今考えている状況は宇宙の端から端まで、均等に電荷が分布しているのだから、どんな方向の電場があったとしてもおかしい。


そこで方程式は、
$$ {d^2\over dz^2}\phi(z)=-{1\over \varepsilon_0}\rho(z)$$
という常微分方程式の形になる。電荷分布を
#math( \rho(z)=\cases{\rho_0 & $-d < z <d$\cr0&それ以外})
とすると、領域-d<z<dでこの方程式の解は
$$\begin{array}{rl}  {d\phi(z)\over dz}&= -{\rho_0\over2\varepsilon_0}z + C_1\\  \phi(z)&= -{\rho_0\over 2\varepsilon_0}z^2 +C_1 z + C_2\end{array}$$

#ref(itapot.png,,50%)

となる($C_1,C_2$は積分定数)。z=0の場所には（これまた対称性から）電場はないと考えられるので、${d\phi(0)\over dz}=0$から$C_1$は0である。電位の基準はどこに選んでもよいのだから、z=0を基準にすることにすれば、$C_2=0$となる。

最終的な電位のグラフは左の図の通りである。イメージとしてはここでも、電荷があるところでは、電位が上に引っ張られると考えるとよい。板の部分を出ると電荷がなくなり（電位に対する引っ張りがなくなり）、電位の二階微分が0になるので、電位を表すグラフは直線となる。今は１次元的な問題を考えているので、ある方向で二階微分が正、　別の方向では負という形でラプラス方程式を満たすことはできない。

電場はこのグラフの傾き×(-1)であるから、中央で0、$z>0$では正方向、z<0では負方向を向く。


***3.5.4 電気双極子 [#ca840300]

#ref(soukyoku.png)
実際の物質においては、正電荷、負電荷が単独で存在していることはあまりなく、原子核（＋）に電子（−）がついているように、あるいはNa${}^+$イオンにCl${}^-$イオンがついているように、トータルで電荷0になるような組み合わせになって物質を作っていることが多い。たとえば水分子は酸素原子の部分はマイナス電荷を持ち、水素原子の部分はプラス電荷を持つ((もともと中性だった酸素原子と水素原子が結合すると、電子が酸素側に偏る。原子核が電子を引きつける力の違いによりこういう事が起こる。))。このように非常に小さい一個の粒子にプラス電荷とマイナス電荷が含まれてその位置が一方向偏っているような状態を「電気双極子」と呼ぶ。もっとも単純な電気双極子としては、プラス電荷とマイナス電荷を一個ずつ貼り付けたようなものを思い浮かべるとよい。

&color(Red){余談だが、電子レンジを使って水気を含んだ物を加熱できるのは、水分子が双極子になっていて、電子レンジの電磁波によって分子が動かされるからである。なお「電子レンジ」という名前に惑わされて「電子を飛ばして加熱している」と思っている人がいるが、それは正しくない。「電波レンジ」と命名すべきだったのかも（ちなみに英語ではmicrowave oven）。};

電気双極子がどのような電場を作るかを考えるには、まず電気双極子のつくる電位を考えて、その微分を考えるのがよい。直交座標で考えて、(0,0,d)に+qの電荷が、(0,0,-d)に-qの電荷が存在しているとしよう。この時、この二つの作る電位はそれぞれによる電位の和で計算できるので、
$$V(x,y,z)={q\over4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2} }-{q\over4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2} }$$
である。

ここでは原子のような小さな物の話をしているので、以下で$d\to0$の極限で考えることにする。そのために、2qd、すなわち（電荷の大きさ）×（電荷間の距離）をpと書く((分子が電気双極子になっている場合、電気双極子モーメントはだいたい、1C×$10^{-10)$m(原子サイズ)ぐらいになる。))、これを一定値として、$d\to0$の極限を取る。pは「電気双極子モーメント」と呼ばれる量である。pを使って上の式を書き直すと、
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times {1\over 2d}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2} }-{1\over \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2} }\right)$$
となる。ここで$d\to0$の極限を取ると、
$$\lim_{d\to0} {1\over 2d}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2} }-{1\over \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2} }\right)=-{d\over dz}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+z^2} }\right)={z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}$$
のように微分を使って表現できる。真ん中でマイナス符号がついているのは、ここでの引き算がz-dでの値からz+dでの値を引くという、普通の微分の場合の「$x+\Delta x$での値からxでの値を引く」という状況とは逆の引き算になっているからである。$\Delta x$に対応するのが-2dなのだと考えればよい。

以上から電気双極子による電位は、
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times{z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}={p\cos\theta\over4\pi\varepsilon_0r^2}$$
となる。最後の表現では、$x^2+y^2+z^2=r^2,z=r\cos\theta$として極座標に直した。

双極子による電場は、これに$-\vec\nabla$をかけて、
$$\begin{array}{rl}  \vec E=& -\vec \nabla\left( {p\over4\pi\varepsilon_0}\times{z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}} \right)\\=& {p\over4\pi\varepsilon_0}\left(3\vec e_x {xz\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}+3\vec e_y {yz\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}+3\vec e_z {z^2\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}-\vec e_z {1\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right)\\=& {p\over4\pi\varepsilon_0}\left(3(x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z) {z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}-\vec e_z {1\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right)\end{arry}$$
$$\begin{array}{rl}  \vec E=& -\vec \nabla\left( {p\over4\pi\varepsilon_0}\times{z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}} \right)\\=& {p\over4\pi\varepsilon_0}\left(3\vec e_x {xz\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}+3\vec e_y {yz\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}+3\vec e_z {z^2\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}-\vec e_z {1\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right)\\=& {p\over4\pi\varepsilon_0}\left(3(x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z) {z\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}-\vec e_z {1\over \left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\right)\end{array}$$

RIGHT:(双極子による場直交座標)&aname(soukyokudenbaxyz);

#ref(vez.png)

となる。極座標で表すならば、$\vec\nabla=\vec e_r{\partial \over \partial r}+\vec e_\theta {1\over r}{\partial \over \partial\theta}+\vec e_\phi{1\over r\sin\theta}{\partial \over \partial \phi}$を使って、

$$\begin{array}{rl} \vec E=&{p\over4\pi\varepsilon_0}\left(\vec e_r {2\cos\theta\over r^3}+\vec e_\theta {\sin\theta\over r^3}\right) \\\end{array}$$
RIGHT:(双極子による場極座標)&aname(soukyokudenbakyoku);

となる(言うまでもないが計算自体は極座標の方が簡単に終わる)。

この二つの式([[双極子による場直交座標>#soukyokudenbaxyz]])と([[双極子による場極座標>#soukyokudenbakyoku]])は違うように見えるかもしれないが、$r\vec e_r=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$と、$\vec e_z=\cos\theta\vec e_r-\sin\theta\vec e_\theta$を使って書き直すと同じになる。


ここまでは、電気双極子の電荷の配置をz軸に沿って、＋電荷が+z側に移動し、−電荷が-z側に移動していると考えたが、一般的な配置としては電気双極子モーメントはベクトル$\vec p$であると考え、その向きは−電荷から＋電荷に向かう向きである。この場合、
$$ V={\vec p\cdot\vec x\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x|^3},~~\vec E= 3{\vec p\cdot\vec x\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x|^4}\vec x-{1\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x|^3}\vec p$$
である。ここで微分は$\vec\nabla(\vec p\cdot\vec x)=\vec p, \vec\nabla\left({1\over|\vec x|^3}\right)=-3{\vec x\over |\vec x|^4}$のように行った。


**3.5 静電場の保つエネルギー [#e0ecbb33]

***3.5.1 位置エネルギーは誰のもの？ [#ob60d5ee]

さて、[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]で計算した２個の電荷の場合、$U={Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$であったから、この式を「電荷Qが位置エネルギー${Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$を持つ」と解釈すれば、「電荷Qがある場所の電位は${q\over 4\pi \varepsilon_0 r}$」ということになる。しかしこの式を、「電荷qが位置エネルギー${Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$を持つ」と解釈すれば、「電荷qがある場所の電位は${Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}$」ということになる。これは考え方（立場）の違いであって、どちらも正しい((「電荷Qも電荷qも$U={Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$を持つので、全エネルギーはこの２倍」と考えるのは正しくない。これでは同じエネルギーを２回数えている(double-counting)ことになる。どちらかの立場を選ばねばならない。))。さらに言えば、「電荷Qは${1\over2}\times{Qq\over 4\pi\varepsilon_0 r}$のエネルギーを、電荷qも${1\over2}\times{Qq\over 4\pi\varepsilon_0 r}$のエネルギーを持ち、トータルでエネルギー${Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$を持つ」という考え方も、間違いではない（後でこの立場を出発点にする）。

&color(Red){この段階で「じゃあエネルギーを持っているのは誰だと思う？」と聞いてみたら、一発で正解「電場」が出てきてしまった。うちの学生さんもなかなかあなどれない。};

この３つの立場のいずれも正しいとはいえ、「では、エネルギーを持っているのはいったい誰なのか？」という疑問が湧くのは当然であろう。たとえば２個の物体がひっぱりあっている例として、バネにつながれた物体を考える。このバネが伸びているならばこの２物体は引き合う力を感じる。その力で仕事をすることができる。そのエネルギーは、バネの伸びがx、バネ定数がkであれば${1\over2}kx^2$であるが、このエネルギーは誰が持っているかといえば、もちろんバネである。

電荷二つの場合、異符号でひきあっている場合にせよ、同符号で反発している場合にせよ、そこにバネのようなものはないように思える。しかし、やはりそこにあるものがエネルギーを蓄えていると考えなくてはいけないのである。そこにあるものとはもちろん「電場」である。ばね定数kのばねがxのびている時に（その時の状況に応じて）${1\over2}kx^2$のエネルギーを持つように、電場がある時にはその場所、その時の状況に応じてエネルギーを持っていることになる((と、エネルギーを持っているのは電場である、ということを述べたが、これは上に書いた電荷がエネルギーを持っているという考えが間違いだと言っているのではない。電荷と電場というのは本来切り離せないものなのだから、エネルギーをどちらの所属とするかは、自由である。しかし、電場にしょいこませた方がいろんな点で都合がよいし、近接作用の考え方にのっとっている。))。先に答えを書いておくと、そのエネルギーの単位体積あたりの値は、ばねのエネルギーによく似た式${1\over2}\varepsilon_0 |\vec E|^2$となる。

この式を導出する前に、電場の持つエネルギー（静電エネルギーと呼ばれる）がどのようなエネルギーなのか、イメージをつかんでおこう。

#ref(himo.png,,75%)

上に書いたバネの場合と同様、異符号でひっぱり合う時、その二つの電荷の間に何か「二つの電荷が近づくことでエネルギーが下がるもの」がなくてはいけない。そのバネに対応するものとして、電気力線を考えよう。電気力線が伸ばされたゴムひものように、短くなろうとする性質（張力）を持っていたと考えると、右の図のように「プラス電荷とマイナス電荷を引き離す」という操作は、「電気力線という仮想ゴムひもを引き延ばす」という操作なのだと考えることができる。つまり、このエネルギーを持っているのは「仮想ゴムひも」であるところの電気力線、または電場である。

プラス電荷どうし、マイナス電荷どうしの反発力はどのように説明できるだろうか。これは「平行する電気力線には反発力が働く」と考えると理解できる。このように反発力が働くということは、電気力線の密度が高くなると、電場の蓄えるエネルギーも大きくなる、ということである。

***3.5.2 電場のエネルギー---電荷と電位による表現 [#uade06f5]

[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]節で２個の電荷(電気量q,Q)が距離rだけ離れている時、この二つの電荷は${Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$というエネルギーを持つということがわかったわけであるが、となると次に考えるべきは３つ、もしくはそれ以上の電荷があった時はどうなるかである。ここでも、重ね合わせの原理が計算を簡単にしてくれる。

今第３の電荷q'を無限遠からゆっくりと近づけて、Qからの距離が$r_1$、qからの距離が$r_2$であるような場所まで持ってくるとする。この時、その「持ってくる」という動作をした人はどれだけ仕事をしなくてはいけないかを考えると、その仕事は「電荷Qだけがあった場合にするべき仕事」と「電荷qだけがあった場合にするべき仕事」の和である。

#ref(V1V2.png)
結果は
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_2}$$
となる。これに最初からあったエネルギーである${q_1q_2\over4\pi\varepsilon_0 r}$を加えて、
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_2}+ {q_1q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r}$$
が、この３つの電荷の系の持つエネルギーである。

#ref(Vij.png)

数をどんどん増やしていこう。それぞれ$q_1,q_2,\cdots,q_N$の電気量を持つN個の電荷があり、$q_i$の電気量を持つ電荷と$q_j$の電気量を持つ電荷が$r_{ij}$だけ離れていたとするならば、結局このN個の電荷の集合体の持つ位置エネルギーは
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{ij}}$$
ということになる。ここで、和記号からi=jが除かれていることに注意しよう。元々この位置エネルギーは電荷と電荷の相互関係で生まれているのだから、自分自身との間には位置エネルギーが発生するはずはない。だいたい、i=jにすれば$r_{ii}=0$なので、分母が発散してしまう。${1\over2}$がついているのは、この和をどんどんやっていくと、同じ式が２回現れるからである。たとえばN=3なら、
$${1\over2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1\atop j\ne i}^3 {q_i q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{ij}} = {1\over2} \left(\sum_{j=1\atop j\ne 1}^3 {q_1 q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{1j}}+\sum_{j=1\atop j\ne 2}^3 {q_2 q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{2j}}+\sum_{j=1\atop j\ne 3}^3 {q_3 q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{3j}}\right)$$
$$={1\over2} \left({q_1 q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r_{12}}+{q_1 q_3\over 4\pi \varepsilon_0 r_{13}}+{q_2 q_1\over 4\pi \varepsilon_0 r_{21}}+{q_2 q_3\over 4\pi \varepsilon_0 r_{23}}+{q_3 q_1\over 4\pi \varepsilon_0 r_{31}}+{q_3 q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r_{32}}\right)= {q_1 q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r_{12}}+{q_1 q_3\over 4\pi \varepsilon_0 r_{13}}+{q_2 q_3\over 4\pi \varepsilon_0 r_{23}}$$
となる。${1\over2}$がついていて、ちょうど正しい答えとなる。

&color(Red){高校の頃からおなじみのコンデンサのエネルギー${1\over2}QV$もこの式から出てくる。};

この式を、少し違う表現で書いてみよう。
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{ij}} = {1\over2} \sum_{i=1}^N q_i \underbrace{\sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_j\over 4\pi \varepsilon_0 r_{ij}}}_{=V_{\bar{i}}(\vec x_i)}={1\over2}\sum_{i=1}^N q_i V_{\bar{i}}(\vec x_i)$$
と書くことができる。$V_{\bar{i}}(\vec x_i)$は、場所$\vec x_i$における電位であるが、ただし、$q_i$が作る電位は省いている。そのことを示すために$\bar{i}$という下付き添字をつけたわけである。もし$q_i$による電位を入れてしまったら、例によって$\infty$となる。


**今後の予定 [#ibc70d9e]

&color(Red){以下の日程で補講を行います。};

-８月２日（木）２限
-８月３日（金）３限

&color(Red){試験は};

-８月１０日（金）３限

&color(Red){です。};

&color(Red){&size(26){課題};:試験の前日までに、第３章の章末問題から１問の解答を前野の部屋で黒板を使って説明すること。};


**学生の感想・コメントから [#d6bfe398]

&color(Green){ごめんなさい。（これしか書いてなかった）};

&color(Red){え、何が？？};

&color(Green){最初の計算で、球対称なのでθ,φを無視できるというのはなぜでしょう？};

&color(Red){球対称ということは、回しても（つまりθやφを変化させても）物理的状況が変わらないということです。だから、そういう電荷のつくる電位もθやφが変化しても変わらない姿をしているはず、ということでθやφは関係ないということになります。};

&color(Green){ポアッソン方程式使うと電場を求めるのって楽なんですね（多数）};

&color(Red){そうなんです。そういう意味ではもっと速く教えた方がよかったかな。};

&color(Green){θ微分やφ微分を考えなくてはいけない場合もあるんですか？};

&color(Red){もちろん状況によっては。};

&color(Green){「超関数」って何ですか。};

&color(Red){関数のようなものだけど、普通の関数が満たすべき性質を満たしてないものです。};

&color(Green){電子レンジに人が入ったらどうなりますか。};

&color(Red){死にます。なぜかというと電子レンジというのは電磁波で加熱します。電場は身体の中まで通るので、身体の表面だけではなく、内部も熱くなります。つまり血液を直接沸騰させてしまいます。};

&color(Green){電気双極子ってどういう場合に使うんですか？};

&color(Red){原子・分子などの作る電場を考える時なんかもでてきますよ。};

&color(Green){二つの電荷Q,qがあって電位V,vを作っている時に、静電エネルギーがqV/2+Qv/2になるのは、電荷が等しい時だけですか？};

&color(Red){いいえ。いつでもOKですよ。};

&color(Green){双極子モーメントで、p=2qdを一定にしてdを0にするということは、qが無限大になりませんか？};

&color(Red){なります。なっていいのです、そういう定義なので。なお、現実に存在する双極子モーメントでは、dも0じゃないしqも無限大じゃありません。d→0の極限を取るのはあくまで式を簡単にしたいから、というだけです。};

&color(Green){双極子モーメントって結局何なんですか？};

&color(Red){定義は述べた通りです。これは、電場をあっちこっちからかけた時に粒子がどのくらい電場に回転させられるかを表すパラメータです。};

&color(Green){２個の電荷の時に両方でエネルギーを持っているからと2で割るのなら、N個あるとNで割らなくてはいけないような。};

&color(Red){いえいえ。N個のうちの2個を選ぶと、その２個があわせて${Qq\over 4\pi\varepsilon r}$のエネルギーを持っています。 };

&color(Green){力学のポテンシャルエネルギーのmghも、重力線とかがあってそれがエネルギーを持っているんでしょうか？};

&color(Red){重力の場合、空間のゆがみがその正体なので、「空間が持っている」と考えてもいいでしょう。};

&color(Green){${1\over2}mv^2,{1\over2}kx^2,{1\over2}\varepsilon_0 E^2$と同じようなのが出てくるのは偶然ですか？};

&color(Red){うーん、エネルギーなので微分すると力になるんですが、力が今考えている量の一次式になっていることが多いので、エネルギーは２次式になる形が多いのです。};

&color(Green){マンガで「エナジー」という言葉が出てくるんですが、エネルギーとの関係は？};

&color(Red){エネルギー（energy）の英語での読み方が「エナジー」なんですよ。};

&color(Green){電場がエネルギーをたくわえるなら、$E=mc^2$の式から、電場が質量を持つことが考えられますがどうなのでしょう？};

&color(Red){たいへんすばらしい質問です。実は持ちます。電荷を持った物体は周りに電場を作っています。物体を動かすと電場も一緒に動くので、あなたの言う「電場の質量」は「電場を作っている電荷を持った物体の質量」の中に入っています。つまり、荷電した物体はそうでない物体より、重くなるのです。};

&color(Green){qV/2+Qv/2で1/2をつけるのは、普通に計算したらつくんですよね？};

&color(Red){そうです。普通に計算すると、qVまたはQvになりますが、どっちでも良いので足して２で割っておいたのがqV/2+Qv/2です。};

&color(Green){授業の最後に出た$V_{\bar i}$はどういう意味ですか。};

&color(Red){あれは「i番目の電荷の作る電位を除いて計算する」という意味です。除かないと発散が出てしまうので。};

&color(Green){静電エネルギーがバネのエネルギーと同じような形に書けるのには驚いた。自然の摂理に感動した。};

&color(Red){力学や電磁気というのは、実にうまくできていて、素晴らしく見事に自然を記述してくれてます。面白いですね。};

&color(Green){（エネルギーの式について）当たり前かもしれないけど、物理現象ってつながりがあるんだなと思いました。};

&color(Red){ええそうなんです。当たり前なんだけどすごいことです。};

&color(Green){期末テストは章末演習問題のような問題が出ますか？};

&color(Red){章末演習問題は時間をかけてじっくり解いてもらう問題のつもりで作っているので、試験問題はあれよりは楽になると思います。少し安心してください。};

&color(Green){問題の数はどれくらい出ますか？};

&color(Red){実は電磁気の試験は今年始めて作るので、作ってみないとわかりません。};