最小作用の原理はどこからくるか？
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#mathjax()
*最小作用の原理はどこからくるか？ [#de165461]
&color(Red){ この項は解析力学をよくわかっている人にとっ...
解析力学には『最小作用の原理』というものがある。
作用（ラグランジアンの時間積分）が最小になるような運動が...
と表現される原理で、ラグランジアンはたいていの場合、
(運動エネルギー) - (位置エネルギー)
と表される。実際は最小とは限らない（状況によっては最大値...
まぁそれはさておき。大学２年生あたり相手に解析力学の授...
&size(17){「どうしてこれが最小になるんですか」};
&size(18){「なんで位置エネルギーを足さずに引くんですか」};
&size(19){「こんなことを考えなくてはいけない理由はなんで...
&size(20){「で結局のところ、作用っていったいなんなんです...
などなどである。
まず「どうしてこれが最小になるんですか」という問いに対...
&size(22){&color(Red){「逆だっ。最小になるようなもんを探...
びっくりしましたか？
では、「最小になるようなもんを探したらこれになる」とい...
**まず静力学から考えよう [#a01dc257]
運動している物体を考える前に、物体が止まっていて、つり...
$$F_x=0, F_y=0, F_z=0 $$
なのだが、別のところで書いた仮想仕事の原理から、ある方向...
$$ F_x \delta x+F_y\delta y+F_z \delta z=0$$
である、と言うこともできる。ここでもし力が適当な位置エネ...
$$ F_x= -{\partial U\over\partial x}, F_y= -{\partial ...
で表されるような力（保存力）であったならば、この式は結局...
**エネルギーの極大極小 [#h3abafa1]
&ref(Umin.png);
つまり「Ｕが極大か極小になっている場所がつりあいの位置...
表現の仕方はどうあれ、大事なことは「Ｕの微分＝０」が条...
思いっきりぶっちゃけた話をしてしまえば、静力学の場合の...
以上で静力学の場合のポテンシャルというもののありがたさ...
**「経路」を動かす [#j0b2df50]
#ref(keiro.png);
静力学では「仮想的に物体の位置を動かして・・・」と考え...
経路を捻じ曲げるには、xという「一つの数」を変化させるの...
静力学の場合のUはｘの関数でよかった。動力学の場合のUに...
$$I=\int L(x(t),({dx\over dt})(t), t)dt$$
のようにL（ラグランジアン）の積分でなくてはならない。その...
どうやってこの形を導出するのか、というのはどんな解析力...
$$ m{d^2x\over dt^2}= -{\partial U\over\partial x}$$
と書く。力をUの微分の形で表している。 これを
$$ -m{d^2x\over dt^2} -{\partial U\over\partial x}=0$$
の形に直す。こうやって（質量）×（加速度）の項を力と同じ扱...
$$\left(-m{d^2x\over dt^2}-{\partial U\over\partial x}\ri...
だが、これはいろんな時刻ｔにおける式である。その「いろん...
$F_x=0,F_y=0,F_z=0$から$F_x \delta x+F_y \delta y+F_z \de...
のように「各成分が０」の式にそれぞれの成分に対するδをかけ...
部分積分を１回すると、
$$\int \left(m{dx\over dt}{d\delta x\over dt}-{\partial U...
となる。これは
$$\int\left({1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2-U(x)\ri...
と、この式の中の経路x(t)をx(t)+δx(t)に置き換えたもの
$$\int\left({1\over2}m\left({d(x+\delta x)\over dt}\right...
との変化量（δxの１次まで）である。この式を良く見ると、運...
(運動エネルギー) - (位置エネルギー)の変化量が０になりな...
という式が運動方程式と等価である。
変化量が０だからと言って最小とは限らない（この逆はＯＫ...
**作用の変分の雰囲気をつかむために [#e50081e2]
このあたりの感覚をつかむためのモデルを考えよう。図のよ...
#ref(dango.png);
串と球の間にまさつはなく、自由に上下に動けるとする。球...
ばねのエネルギーは自然長からの伸び縮みの自乗に比例する...
$$（ばねの長さ)^2＝（となりの球との高さの差）^2+L^2$$
となる。L2に対応する部分はどうせ定数だからと捨ててしまう...
$$-mgy_1 - mgy_2 -mgy_3 - \cdots -mgy_N+{1\over2}k(y_2-...
となる。このエネルギーが最小値になるのがつりあいの状態で...
#ref(dango2.png);
この串にささった球を仮想変位させてみよう。全体を下げる...
どこかで、この増減がつりあって、ちょうどエネルギーが極...
つりあいの方程式を作るためには、このエネルギーの式を$y_...
$$-mg + k(y_3-y_2) - k(y_4-y_3)=0$$
すなわち、
$$k[(y_4-y_3) - (y_3-y_2)] = -mg$$
という式が出る。この式に出てくる$y_2-y_3$というのは「とな...
$$m{d^2y\over dx^2}=-mg$$
といういことになって、落体の運動方程式
$$m{d^2x\over dt^2}=-mg$$
によく似た方程式が出てくる。違いは、
-図の横方向はｘであって、時間ｔじゃない。
-重力の方向が逆
ということである。ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに...
落体の運動の経路を変化させた時の様子を、この串に刺した...
#ref(keirohen.png,,75%);
のような図で描ける。図がひっくり返ってはいるが、だいたい...
**なぜ位置エネルギーを引くのか？ [#yf8b1fc2]
次に「どうして位置エネルギーを足さずに引くんですか？」...
しかし、どうせなら図なりなんなり、目に見える形で納得し...
上の串にさした球の話で、上下ひっくり返すことで落体の運...
下向きの力によって、経路は上向きに引っ張られる
のである。
重力は上向きに作用する？？ そんなばかなと思うかもしれ...
重力などの外力がなければ、出発点と到着点を固定したら、...
「いったん上に登って、また落ちてくる」という経路が実現...
#ref(gravity.png);y
静力学の問題である串にさした球に働く重力は球を下にひっ...
「力」によって起こる“変形”は、静力学と動力学では逆なのだ。
別の言い方をすると、
「力」によって起こる“変形”は、物体の位置の話をしている場...
物体の経路の話をしている場合では逆なのだ。
だから、この二つの問題では位置エネルギーの役割も逆にな...
以上から、作用というものを少しでもイメージしたかったら...
まず上のようなx-tグラフに書かれた経路をゴムひものような...
「経路をゴムひもと考えた時の弾性エネルギー」と「通常と...
**なぜこんなものが必要なのか？ [#g2ec1fc3]
さて、この最小作用の原理、これまた多い疑問が「なぜこん...
まず、最初から運動方程式を出す、というのがそんなに簡単...
もう一つは、（静力学のポテンシャルと同じだが）座標変換...
そしてもう一つは、作用の形からいろんなことがわかったり...
何にせよ、簡単な問題を考えている限りは、最小作用の原理...
最後に「で、結局のところ、作用って何なんですか？」とい...
**量子力学との関連 [#ldababc2]
話を量子力学にもっていくと、作用というのはちょうど量子...
終了行:
#mathjax()
*最小作用の原理はどこからくるか？ [#de165461]
&color(Red){ この項は解析力学をよくわかっている人にとっ...
解析力学には『最小作用の原理』というものがある。
作用（ラグランジアンの時間積分）が最小になるような運動が...
と表現される原理で、ラグランジアンはたいていの場合、
(運動エネルギー) - (位置エネルギー)
と表される。実際は最小とは限らない（状況によっては最大値...
まぁそれはさておき。大学２年生あたり相手に解析力学の授...
&size(17){「どうしてこれが最小になるんですか」};
&size(18){「なんで位置エネルギーを足さずに引くんですか」};
&size(19){「こんなことを考えなくてはいけない理由はなんで...
&size(20){「で結局のところ、作用っていったいなんなんです...
などなどである。
まず「どうしてこれが最小になるんですか」という問いに対...
&size(22){&color(Red){「逆だっ。最小になるようなもんを探...
びっくりしましたか？
では、「最小になるようなもんを探したらこれになる」とい...
**まず静力学から考えよう [#a01dc257]
運動している物体を考える前に、物体が止まっていて、つり...
$$F_x=0, F_y=0, F_z=0 $$
なのだが、別のところで書いた仮想仕事の原理から、ある方向...
$$ F_x \delta x+F_y\delta y+F_z \delta z=0$$
である、と言うこともできる。ここでもし力が適当な位置エネ...
$$ F_x= -{\partial U\over\partial x}, F_y= -{\partial ...
で表されるような力（保存力）であったならば、この式は結局...
**エネルギーの極大極小 [#h3abafa1]
&ref(Umin.png);
つまり「Ｕが極大か極小になっている場所がつりあいの位置...
表現の仕方はどうあれ、大事なことは「Ｕの微分＝０」が条...
思いっきりぶっちゃけた話をしてしまえば、静力学の場合の...
以上で静力学の場合のポテンシャルというもののありがたさ...
**「経路」を動かす [#j0b2df50]
#ref(keiro.png);
静力学では「仮想的に物体の位置を動かして・・・」と考え...
経路を捻じ曲げるには、xという「一つの数」を変化させるの...
静力学の場合のUはｘの関数でよかった。動力学の場合のUに...
$$I=\int L(x(t),({dx\over dt})(t), t)dt$$
のようにL（ラグランジアン）の積分でなくてはならない。その...
どうやってこの形を導出するのか、というのはどんな解析力...
$$ m{d^2x\over dt^2}= -{\partial U\over\partial x}$$
と書く。力をUの微分の形で表している。 これを
$$ -m{d^2x\over dt^2} -{\partial U\over\partial x}=0$$
の形に直す。こうやって（質量）×（加速度）の項を力と同じ扱...
$$\left(-m{d^2x\over dt^2}-{\partial U\over\partial x}\ri...
だが、これはいろんな時刻ｔにおける式である。その「いろん...
$F_x=0,F_y=0,F_z=0$から$F_x \delta x+F_y \delta y+F_z \de...
のように「各成分が０」の式にそれぞれの成分に対するδをかけ...
部分積分を１回すると、
$$\int \left(m{dx\over dt}{d\delta x\over dt}-{\partial U...
となる。これは
$$\int\left({1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2-U(x)\ri...
と、この式の中の経路x(t)をx(t)+δx(t)に置き換えたもの
$$\int\left({1\over2}m\left({d(x+\delta x)\over dt}\right...
との変化量（δxの１次まで）である。この式を良く見ると、運...
(運動エネルギー) - (位置エネルギー)の変化量が０になりな...
という式が運動方程式と等価である。
変化量が０だからと言って最小とは限らない（この逆はＯＫ...
**作用の変分の雰囲気をつかむために [#e50081e2]
このあたりの感覚をつかむためのモデルを考えよう。図のよ...
#ref(dango.png);
串と球の間にまさつはなく、自由に上下に動けるとする。球...
ばねのエネルギーは自然長からの伸び縮みの自乗に比例する...
$$（ばねの長さ)^2＝（となりの球との高さの差）^2+L^2$$
となる。L2に対応する部分はどうせ定数だからと捨ててしまう...
$$-mgy_1 - mgy_2 -mgy_3 - \cdots -mgy_N+{1\over2}k(y_2-...
となる。このエネルギーが最小値になるのがつりあいの状態で...
#ref(dango2.png);
この串にささった球を仮想変位させてみよう。全体を下げる...
どこかで、この増減がつりあって、ちょうどエネルギーが極...
つりあいの方程式を作るためには、このエネルギーの式を$y_...
$$-mg + k(y_3-y_2) - k(y_4-y_3)=0$$
すなわち、
$$k[(y_4-y_3) - (y_3-y_2)] = -mg$$
という式が出る。この式に出てくる$y_2-y_3$というのは「とな...
$$m{d^2y\over dx^2}=-mg$$
といういことになって、落体の運動方程式
$$m{d^2x\over dt^2}=-mg$$
によく似た方程式が出てくる。違いは、
-図の横方向はｘであって、時間ｔじゃない。
-重力の方向が逆
ということである。ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに...
落体の運動の経路を変化させた時の様子を、この串に刺した...
#ref(keirohen.png,,75%);
のような図で描ける。図がひっくり返ってはいるが、だいたい...
**なぜ位置エネルギーを引くのか？ [#yf8b1fc2]
次に「どうして位置エネルギーを足さずに引くんですか？」...
しかし、どうせなら図なりなんなり、目に見える形で納得し...
上の串にさした球の話で、上下ひっくり返すことで落体の運...
下向きの力によって、経路は上向きに引っ張られる
のである。
重力は上向きに作用する？？ そんなばかなと思うかもしれ...
重力などの外力がなければ、出発点と到着点を固定したら、...
「いったん上に登って、また落ちてくる」という経路が実現...
#ref(gravity.png);y
静力学の問題である串にさした球に働く重力は球を下にひっ...
「力」によって起こる“変形”は、静力学と動力学では逆なのだ。
別の言い方をすると、
「力」によって起こる“変形”は、物体の位置の話をしている場...
物体の経路の話をしている場合では逆なのだ。
だから、この二つの問題では位置エネルギーの役割も逆にな...
以上から、作用というものを少しでもイメージしたかったら...
まず上のようなx-tグラフに書かれた経路をゴムひものような...
「経路をゴムひもと考えた時の弾性エネルギー」と「通常と...
**なぜこんなものが必要なのか？ [#g2ec1fc3]
さて、この最小作用の原理、これまた多い疑問が「なぜこん...
まず、最初から運動方程式を出す、というのがそんなに簡単...
もう一つは、（静力学のポテンシャルと同じだが）座標変換...
そしてもう一つは、作用の形からいろんなことがわかったり...
何にせよ、簡単な問題を考えている限りは、最小作用の原理...
最後に「で、結局のところ、作用って何なんですか？」とい...
**量子力学との関連 [#ldababc2]
話を量子力学にもっていくと、作用というのはちょうど量子...
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