最小作用の原理は本当に『最小』か？
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#mathjax()
*最小作用の原理は本当に『最小』か？ [#id5ff76b]
解析力学には『最小作用の原理』というものがある。
作用（ラグランジアンの時間積分で現される量）が最小になる...
と表現される原理で、ラグランジアンはたいていの場合、
(運動エネルギー)-(位置エネルギー)
と表される。
この原理を「最小作用の原理」とよく言う。「&color(#ff000...
$$I=\int({1\over2} v^2 -{1\over2}x^2 )dt$$
である（簡単のため質量もばね定数も1として考える）。最初（...
$$x(t)=\cos(t)$$
ということになる。これをちょっと変形させた運動だが、x(0)=...
$$x(t)= a\cos(t)+(1-a)\cos^2(t)$$
を考える。a=1が実際に実現される運動である。
&ref(action1.png);
具体的にグラフを書いてやると上の図のような感じである。a...
この場合のIを計算すると、
$${\pi\over8}\times(a-1)^2$$
となる。これはa=1に最小値を持つ関数になっている。なるほど...
もっと簡単な例として
$$x(t)=a\cos(t)+ 1-a$$
を取ってみる。グラフにすると
&ref(action2.png);
これもa=1では実際に実現される運動になる。しかしこの場合...
もちろん考えられる経路はこれだけではない。経路の変形の...
つまり、最小作用の原理と言うものの、実は「極大／極小作...
もともと最小作用の原理が導出された時を思い出そう。作用...
というわけで最小作用の原理は実は最小ではないが、だから...
終了行:
#mathjax()
*最小作用の原理は本当に『最小』か？ [#id5ff76b]
解析力学には『最小作用の原理』というものがある。
作用（ラグランジアンの時間積分で現される量）が最小になる...
と表現される原理で、ラグランジアンはたいていの場合、
(運動エネルギー)-(位置エネルギー)
と表される。
この原理を「最小作用の原理」とよく言う。「&color(#ff000...
$$I=\int({1\over2} v^2 -{1\over2}x^2 )dt$$
である（簡単のため質量もばね定数も1として考える）。最初（...
$$x(t)=\cos(t)$$
ということになる。これをちょっと変形させた運動だが、x(0)=...
$$x(t)= a\cos(t)+(1-a)\cos^2(t)$$
を考える。a=1が実際に実現される運動である。
&ref(action1.png);
具体的にグラフを書いてやると上の図のような感じである。a...
この場合のIを計算すると、
$${\pi\over8}\times(a-1)^2$$
となる。これはa=1に最小値を持つ関数になっている。なるほど...
もっと簡単な例として
$$x(t)=a\cos(t)+ 1-a$$
を取ってみる。グラフにすると
&ref(action2.png);
これもa=1では実際に実現される運動になる。しかしこの場合...
もちろん考えられる経路はこれだけではない。経路の変形の...
つまり、最小作用の原理と言うものの、実は「極大／極小作...
もともと最小作用の原理が導出された時を思い出そう。作用...
というわけで最小作用の原理は実は最小ではないが、だから...
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