重い物体も軽い物体も同時に落ちるって本当？
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#mathjax()
*重い物体も軽い物体も同時に落ちるって本当？ [#dab72633]
タイトルを見て、『決まっているやん』と思う人が多いだろ...
&color(Blue){重い物体も軽い物体も同じ加速度で落下する。よ...
とよく言われる。当然だ、と答える前になぜそうなるのかを説...
物体に働く重力は、質量に比例する。具体的には質量m、重力加...
力=質量×加速度
であるから、
$$mg=m{d^2r\over dt^2}$$
となって、両辺のmが消えて
$${d^2r\over dt^2}=g$$
と加速度は質量に無関係になる。以上が、「重い物体も軽い物...
おーけー。この計算のどこかに文句をつけるところはあるか？
まず第１の文句。重力は実は万有引力の近似であって、ほん...
なるほど。では重力の式mgの替わりに、万有引力の式${GMm\o...
$$m{d^2r\over dt^2}=-{GMm\over r^2}$$
となる。この場合でも、
$${d^2r\over dt^2}=-{GM\over r^2}$$
となる。
ほうらみろ、やっぱり定数ではないか、って？
いや待て。まだ、第２の文句があるのだ。以上の話には落と...
重心は、距離ｒをM:mに内分した点にある。つまり地球と物体...
上では加速度をｒの２階微分であるように計算した。しかし...
${mM\over M+m}\times{d^2r\over dt^2}={GMm\over r^2}$ ...
となるのである。となると
${d^2r\over dt^2}={G(M+m)\over r^2}$
という形になる。つまり、mが大きい方がｒは速く減少していく...
つまり、実は「重いものほど速く落ちる！」のである。念の...
ここで予想される反論にいくつか答えておこう。
''・万有引力をmで割って加速度を出すとmに無関係になるとい...
いけなくない。実は、もし最初に提示した文章が「重い物体...
''・地球が静止するとして運動方程式を立てる方法はないのか...
ある。しかしその場合は、地球が静止する座標系は慣性系で...
''・なんか物理的イメージがわかないなぁ。''
くどいようだけど、地球の運動をちゃんと考えてみればよい...
''・この話がほんとなら、なぜ落体の加速度は質量によらない...
この結果の違いがどれくらいかというと、なんせ本質的な差...
というわけで実用上（天体の運動でも考えているなら別だが...
**ここで重要な補足！！ [#hb84b846]
と、このように書いておいたところ、以下のような質問メー...
&color(Brown){「物体を落とす」とここでは記されていますが...
&color(Brown){地上の物体を持ち上げたのであれば、Ｍも変化...
&color(Brown){計算の結果の};
$${d^2r\over dt^2}={G(M+m)\over r^2}$$
&color(Brown){という式における（Ｍ＋ｍ）は、“物体を含めた...
おおっと！！
これは私の不覚である。上の計算は全て、「地球（質量Ｍ）...
つまり、「地上にあるものを持ち上げて、落とす」というシ...
いやぁ、まいった。というわけで上の計算は「宇宙の彼方か...
問題設定には注意しなくてはいけないということがわかった。
**さらに細かく考えれば・・・ [#nfdb0f8e]
問題設定に注意しなくてはいけない、という意味ではもっと...
&color(Magenta){でも、そこまでリアルな状況で考えるなら、...
なるほど。重箱の隅をつつくなら、ここまで真面目につつか...
この状況を考えると、地球の半径をR、質量全部（後で出てく...
$${G(M-m)m\over (R+h)^2}$$
と考えていたわけだけど、それは地球(M-m)が球対称だと考えた...
そこで正しい計算をちょっと考え直してみよう。もし物体に...
$$GMm\over (R+h)^2$$
そのもう一個の物体m（今、そこにあるとしたが、実際には存在...
$$Gm^2\over h^2$$
だから、この、本来存在してない部分を引いてやれば、正しい...
$${GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}$$
が、球対称性が破れていることを考慮した万有引力ということ...
これから地球（今は質量がM-mになっている）と物体（質量m）...
$${GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}\times\left({1\over M...
ということになる。
&color(Brown){ちなみに、球対称が破れるということを考慮...
$$G(M-m)m\over(R+h)^2$$
&color(Brown){となるので、};
$${G(M-m)m\over(R+h)^2}\times\left({1\over M-m}+{1\over m...
&color(Bronw){となり、mによらない量となった。つまりは重い...
ちゃんと球対称性の破れまで考慮した場合は、上の式をさら...
$$\left({GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}\right)\times{M...
となるわけだ。この量は、mが増加すると増大する（つまり、重...
ということでmで微分してみた。
$$-{G M R (R + 2 h)^2\over (R + h)^2 h^2 (M - m)^2}$$
という答えが出た。結果はマイナスだ！
つまり、この設定の場合の結果は「軽い物ほど速く落ちる」...
ここまでの話をまとめると、こうなる。
''最初の考え：''「重いものは地球をよく引っ張る。地球はひ...
''それに対する反論：''「いや待て。重いものを地上から持ち...
''さらにそれに対する反論：''「いやいや待て待て。重いもの...
うーん、結論が２転３転しているけど、以上のようにまとめ...
&color(Red){なお、この後に書いている質問は、これよりも...
**二つの物体を「同時」に落したら？ [#pa346a63]
みふるだーとさんより、御指摘および御質問をいただいたの...
御指摘は「文字通り同時に落したら状況は違うのでは？」と...
#ref(2fall.png)
なるほど、これは盲点であった。これもみふるだーとさんの...
#ref(2fall2.png)
のように逆側から近づけたならば、今度は重い物体の方が早く...
さてここでもう一つ、みふるだーとさんからの御指摘かつ御...
#ref(2fall3.png)
のように、青で書いた二物体の間に働く万有引力も計算にいれ...
うーむ、こりゃ難問だ。なんせ三体問題だ(^_^;)。というわ...
地球＝重い物体間：${GEM \over R^2}$
地球＝軽い物体間：${GEm \over R^2}$
重い物体＝軽い物体間：${GMm\over (R \sin(\theta/2))^2}$
となる。地球の質量はE、二物体の質量はMとm（M>m）とした。
まず重い物体の方が地球に落ちる加速度、および地球が重い...
$${GEM\over R^2} + {GMm\over (2R \sin (\theta/2))^2}\time...
である。地球に働く力のうち、重い物体の方を向いた力は
$${GEM\over R^2} + {GEm\over R^2}\times \cos\theta$$
である。以上から、地球と重い物体の近づく加速度（正確に言...
${GE\over R^2} + {Gm\over 4R sin(\theta/2)} +{GM\over R^2...
となる。では次に軽い物体はどうか、ということになるが、そ...
${GE\over R^2} + {GM\over 4R sin(\theta/2)} +{Gm\over R^2...
である。式Aと式Bの差をとってみよう。
$${Gm\over 4R \sin(\theta/2)}+{GM\over R^2} + {Gm\over R^...
となる。θ＝0なら、後ろの部分は発散するが、これは二つの物...
$${G(M-m)\over R^2}\times (1-\cos\theta)$$y
であり、1-cosθは負にならないので、M>mならばMの方が地球を...
${1\over 4\sin{\theta\over2}}$の項はまさに、重い物体と...
のグラフは
#ref(plot.png)
とこんな感じ。0になっているところはθ＝π/3、つまり60度であ...
実際には今計算したのは最初の加速度だけであって、実際に...
実は60度ぐらいなのではないか、ということはみふるだーと...
- Ｅ＝MC＾2を理解するため、50年ぶりに大学に行き（科目履修...
- シュバらしい -- [[エドガー]] &new{2021-05-26 (水) 11:40...
- まじすげえ -- [[ゴット]] &new{2021-05-31 (月) 12:39:31};
- 天才や -- [[んんん]] &new{2021-05-31 (月) 12:41:07};
- すごいなー -- [[ああああ]] &new{2021-05-31 (月) 12:42:2...
- gtkjjgframlnhkgrea/.mlhgglera -- [[dsNK>]] &new{2021-05...
- 面白い！ -- [[ああああ]] &new{2021-05-31 (月) 12:48:40};
- 助けて -- [[ワカ・ラナイ]] &new{2021-06-21 (月) 12:31:1...
- えええええええ -- [[そーなのかー]] &new{2021-10-15 (金)...
- これには加藤もちんまり -- [[重箱の隅つつく之助]] &new{2...
- 落ちる物体にも重力があるのを、忘れないでね （＾〜＾） ...
- つまり重い物体のほうが重力加速度が大きく早く落ちる；）...
- 「自由落下」の条件下での話ですね。冒頭に書いとかないと...
- この「空気抵抗は無視する」という、現実生活上では有り得...
- こういう物理の先生学校にいてほしい -- [[おしおし]] &new...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- まさに「机上の空論」。空気抵抗を無視できる環境なんてど...
- ありがとうございました。 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (...
- とても良くわかりました。ありがとうございました。 -- [[...
- へーすごいな〜 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 0...
- よくわかった。 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 09:16:5...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！ -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 09:17:49};
- わか -- [[初めて知った]] &new{2023-10-25 (水) 11:37:08};
- わか -- [[初めて知った]] &new{2023-10-25 (水) 12:05:18};
- 大きい物体の方が先に月面に衝突する。質量では鉄１キログ...
#comment
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*重い物体も軽い物体も同時に落ちるって本当？ [#dab72633]
タイトルを見て、『決まっているやん』と思う人が多いだろ...
&color(Blue){重い物体も軽い物体も同じ加速度で落下する。よ...
とよく言われる。当然だ、と答える前になぜそうなるのかを説...
物体に働く重力は、質量に比例する。具体的には質量m、重力加...
力=質量×加速度
であるから、
$$mg=m{d^2r\over dt^2}$$
となって、両辺のmが消えて
$${d^2r\over dt^2}=g$$
と加速度は質量に無関係になる。以上が、「重い物体も軽い物...
おーけー。この計算のどこかに文句をつけるところはあるか？
まず第１の文句。重力は実は万有引力の近似であって、ほん...
なるほど。では重力の式mgの替わりに、万有引力の式${GMm\o...
$$m{d^2r\over dt^2}=-{GMm\over r^2}$$
となる。この場合でも、
$${d^2r\over dt^2}=-{GM\over r^2}$$
となる。
ほうらみろ、やっぱり定数ではないか、って？
いや待て。まだ、第２の文句があるのだ。以上の話には落と...
重心は、距離ｒをM:mに内分した点にある。つまり地球と物体...
上では加速度をｒの２階微分であるように計算した。しかし...
${mM\over M+m}\times{d^2r\over dt^2}={GMm\over r^2}$ ...
となるのである。となると
${d^2r\over dt^2}={G(M+m)\over r^2}$
という形になる。つまり、mが大きい方がｒは速く減少していく...
つまり、実は「重いものほど速く落ちる！」のである。念の...
ここで予想される反論にいくつか答えておこう。
''・万有引力をmで割って加速度を出すとmに無関係になるとい...
いけなくない。実は、もし最初に提示した文章が「重い物体...
''・地球が静止するとして運動方程式を立てる方法はないのか...
ある。しかしその場合は、地球が静止する座標系は慣性系で...
''・なんか物理的イメージがわかないなぁ。''
くどいようだけど、地球の運動をちゃんと考えてみればよい...
''・この話がほんとなら、なぜ落体の加速度は質量によらない...
この結果の違いがどれくらいかというと、なんせ本質的な差...
というわけで実用上（天体の運動でも考えているなら別だが...
**ここで重要な補足！！ [#hb84b846]
と、このように書いておいたところ、以下のような質問メー...
&color(Brown){「物体を落とす」とここでは記されていますが...
&color(Brown){地上の物体を持ち上げたのであれば、Ｍも変化...
&color(Brown){計算の結果の};
$${d^2r\over dt^2}={G(M+m)\over r^2}$$
&color(Brown){という式における（Ｍ＋ｍ）は、“物体を含めた...
おおっと！！
これは私の不覚である。上の計算は全て、「地球（質量Ｍ）...
つまり、「地上にあるものを持ち上げて、落とす」というシ...
いやぁ、まいった。というわけで上の計算は「宇宙の彼方か...
問題設定には注意しなくてはいけないということがわかった。
**さらに細かく考えれば・・・ [#nfdb0f8e]
問題設定に注意しなくてはいけない、という意味ではもっと...
&color(Magenta){でも、そこまでリアルな状況で考えるなら、...
なるほど。重箱の隅をつつくなら、ここまで真面目につつか...
この状況を考えると、地球の半径をR、質量全部（後で出てく...
$${G(M-m)m\over (R+h)^2}$$
と考えていたわけだけど、それは地球(M-m)が球対称だと考えた...
そこで正しい計算をちょっと考え直してみよう。もし物体に...
$$GMm\over (R+h)^2$$
そのもう一個の物体m（今、そこにあるとしたが、実際には存在...
$$Gm^2\over h^2$$
だから、この、本来存在してない部分を引いてやれば、正しい...
$${GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}$$
が、球対称性が破れていることを考慮した万有引力ということ...
これから地球（今は質量がM-mになっている）と物体（質量m）...
$${GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}\times\left({1\over M...
ということになる。
&color(Brown){ちなみに、球対称が破れるということを考慮...
$$G(M-m)m\over(R+h)^2$$
&color(Brown){となるので、};
$${G(M-m)m\over(R+h)^2}\times\left({1\over M-m}+{1\over m...
&color(Bronw){となり、mによらない量となった。つまりは重い...
ちゃんと球対称性の破れまで考慮した場合は、上の式をさら...
$$\left({GMm\over (R+h)^2}-{Gm^2\over h^2}\right)\times{M...
となるわけだ。この量は、mが増加すると増大する（つまり、重...
ということでmで微分してみた。
$$-{G M R (R + 2 h)^2\over (R + h)^2 h^2 (M - m)^2}$$
という答えが出た。結果はマイナスだ！
つまり、この設定の場合の結果は「軽い物ほど速く落ちる」...
ここまでの話をまとめると、こうなる。
''最初の考え：''「重いものは地球をよく引っ張る。地球はひ...
''それに対する反論：''「いや待て。重いものを地上から持ち...
''さらにそれに対する反論：''「いやいや待て待て。重いもの...
うーん、結論が２転３転しているけど、以上のようにまとめ...
&color(Red){なお、この後に書いている質問は、これよりも...
**二つの物体を「同時」に落したら？ [#pa346a63]
みふるだーとさんより、御指摘および御質問をいただいたの...
御指摘は「文字通り同時に落したら状況は違うのでは？」と...
#ref(2fall.png)
なるほど、これは盲点であった。これもみふるだーとさんの...
#ref(2fall2.png)
のように逆側から近づけたならば、今度は重い物体の方が早く...
さてここでもう一つ、みふるだーとさんからの御指摘かつ御...
#ref(2fall3.png)
のように、青で書いた二物体の間に働く万有引力も計算にいれ...
うーむ、こりゃ難問だ。なんせ三体問題だ(^_^;)。というわ...
地球＝重い物体間：${GEM \over R^2}$
地球＝軽い物体間：${GEm \over R^2}$
重い物体＝軽い物体間：${GMm\over (R \sin(\theta/2))^2}$
となる。地球の質量はE、二物体の質量はMとm（M>m）とした。
まず重い物体の方が地球に落ちる加速度、および地球が重い...
$${GEM\over R^2} + {GMm\over (2R \sin (\theta/2))^2}\time...
である。地球に働く力のうち、重い物体の方を向いた力は
$${GEM\over R^2} + {GEm\over R^2}\times \cos\theta$$
である。以上から、地球と重い物体の近づく加速度（正確に言...
${GE\over R^2} + {Gm\over 4R sin(\theta/2)} +{GM\over R^2...
となる。では次に軽い物体はどうか、ということになるが、そ...
${GE\over R^2} + {GM\over 4R sin(\theta/2)} +{Gm\over R^2...
である。式Aと式Bの差をとってみよう。
$${Gm\over 4R \sin(\theta/2)}+{GM\over R^2} + {Gm\over R^...
となる。θ＝0なら、後ろの部分は発散するが、これは二つの物...
$${G(M-m)\over R^2}\times (1-\cos\theta)$$y
であり、1-cosθは負にならないので、M>mならばMの方が地球を...
${1\over 4\sin{\theta\over2}}$の項はまさに、重い物体と...
のグラフは
#ref(plot.png)
とこんな感じ。0になっているところはθ＝π/3、つまり60度であ...
実際には今計算したのは最初の加速度だけであって、実際に...
実は60度ぐらいなのではないか、ということはみふるだーと...
- Ｅ＝MC＾2を理解するため、50年ぶりに大学に行き（科目履修...
- シュバらしい -- [[エドガー]] &new{2021-05-26 (水) 11:40...
- まじすげえ -- [[ゴット]] &new{2021-05-31 (月) 12:39:31};
- 天才や -- [[んんん]] &new{2021-05-31 (月) 12:41:07};
- すごいなー -- [[ああああ]] &new{2021-05-31 (月) 12:42:2...
- gtkjjgframlnhkgrea/.mlhgglera -- [[dsNK>]] &new{2021-05...
- 面白い！ -- [[ああああ]] &new{2021-05-31 (月) 12:48:40};
- 助けて -- [[ワカ・ラナイ]] &new{2021-06-21 (月) 12:31:1...
- えええええええ -- [[そーなのかー]] &new{2021-10-15 (金)...
- これには加藤もちんまり -- [[重箱の隅つつく之助]] &new{2...
- 落ちる物体にも重力があるのを、忘れないでね （＾〜＾） ...
- つまり重い物体のほうが重力加速度が大きく早く落ちる；）...
- 「自由落下」の条件下での話ですね。冒頭に書いとかないと...
- この「空気抵抗は無視する」という、現実生活上では有り得...
- こういう物理の先生学校にいてほしい -- [[おしおし]] &new...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- ありがとうございました -- [[稲葉ー]] &new{2023-05-25 (...
- まさに「机上の空論」。空気抵抗を無視できる環境なんてど...
- ありがとうございました。 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (...
- とても良くわかりました。ありがとうございました。 -- [[...
- へーすごいな〜 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 0...
- よくわかった。 -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 09:16:5...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！！！！！！！！！！！ -- [[みー]] &new{2023-07-1...
- すごい！ -- [[みー]] &new{2023-07-16 (日) 09:17:49};
- わか -- [[初めて知った]] &new{2023-10-25 (水) 11:37:08};
- わか -- [[初めて知った]] &new{2023-10-25 (水) 12:05:18};
- 大きい物体の方が先に月面に衝突する。質量では鉄１キログ...
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