相対論2007年度第２回
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CENTER:←[[第１回>相対論2007年度第１回]] [[目次に戻る>相...
#hr
#contents
#br
*第２章 座標変換と運動方程式 [#x086fcf6]
第１章の前半では、力学の法則が相対的であること、つまり絶...
物理を記述するにあたって、座標系は大事である。というより...
**2.1 座標系と次元 [#l7ef4ae2]
座標系というのは、物体の位置を指定するための道具である。...
将棋盤の例なら二個の数字を使って場所を表したが、物理の一...
#ref(4jigen.png)
相対論では、４次元、すなわち４つの座標を使って運動を記述...
物体の位置だけを問うのなら、３次元でいい。ニュートン力学...
以上のように、４次元と言っても別に怖いものでもなんでもな...
座標の取り方はいろいろあるが、ここでは一番簡単な直交座標...
**2.2 １次元空間の座標変換 [#f4a81853]
簡単のため、まず空間座標はxだけ考えて、y,zは無視して考え...
CENTER:
#ref(coord1.png)
まず簡単な座標変換として、原点の移動を考えよう。新しい座...
#ref(coord2.png)
次に座標の原点自体が刻一刻と等速度vで移動している場合を考...
#mimetex( x'=x-vt )
という変換則に従っている。この座標系x'は、いわば速度vで走...
CENTER:
#ref(denshacoord.png)
ここであげた式ではt=0でxとx'の原点が一致しているとしたが...
この時、x系とx'系で、時間は変化しないと考えられるので、
t'=t
である。あたりまえのことのようであるが、これは重要な（後...
**2.3 速度、加速度のガリレイ変換と運動方程式の不変性 [#e5...
さて、「電車内でも外部でも同じ物理法則が成立する」という...
ガリレイ変換の一般式x'=x-vt-bという変換式を微分していくと、
x'=x-vt-b
↓
&mimetex({dx'\over dt}={dx\over dt}-v);
↓
&mimetex({d^2x'\over dt^2}={d^2x\over dt^2});
となり、加速度はどちらの座標系でも同じ。
ニュートンの運動方程式は（１次元であれば）&mimetex( m {d^...
二つの座標系で、同じ運動を記述してみる。x系とx'系は原点が...
&mimetex( F= m{d^2 x'(t)\over dt^2}); または &mimetex(F...
と書ける。これをtで２回積分すると、
&mimetex({d^2 x(t)\over dt^2}= {F\over m});
&mimetex({d x(t)\over dt}= {F\over m}t+C_1);
&mimetex(x(t)= {1\over2}{F\over m}t^2 +C_1t +C_2);
となる(&mimetex(C_1,C_2);は積分定数)。
x系で考えるならば、x(t)の初期値（平たくいえばx(0)）は0、...
x'系での運動を考えるには、二つの方法がある。今求めた解を...
#mimetex( x'(t)=x(t)-vt = {1\over2}{F\over m}t^2 -vt)
と公式どおりに求まる。x'系での初期値を考えるならば、x系で...
#ref(kasoku.png,,50%)
二つの結果を、x系とx'系でグラフにしてみたものが上の二つの...
上のグラフで、t=t'なのにt軸とt'軸が同じ軸でないことをおか...
----
''[問い2-1]''
x'座標系で見て速度V'で動いている物体に関してはx'=V't'+b(b...
----
前の章で強調した、「絶対静止しているかどうかは判定できな...
今あなたが電車外にいて、「静止しているのは私である」とい...
ガリレイ変換の物理的意味は、一つの物理現象を見る時、観測...
**2.4 「慣性系」の定義 [#i424256a]
以上でわかるように、ニュートンの運動方程式はガリレイ変換...
そこで、ニュートンの運動方程式が成立する座標系を特別に「...
たとえば地球表面に固定した座標系は厳密には慣性系ではない...
#mimetex( x'=x -{1\over2}at^2)
を導入したとすると、このx'系での運動方程式は
#mimetex( m\left({d^2 x'\over dt^2}+a\right)=F)
あるいは
#mimetex( m {d^2 x'\over dt^2}= F-ma)
となってしまう。つまりx'系は慣性系ではなく、運動方程式の...
----
''[問い2-2]''
今、遊園地にあるフリーフォールの中での運動を考える。外か...
#mimetex( m{d^2 y\over dt^2}=-mg)
である（yは上向きを正としてとった鉛直方向の座標）。フリー...
----
とりあえず慣性系でない座標系のことは横に置いておくとして、
''ガリレイ変換によって移り変わるどの慣性系においても、同...
という原理を「''(ガリレイの相対性原理)''」と呼ぶ。この法...
''ローレンツ変換によって移り変わるどの慣性系においても、...
というのが「''(特殊相対性原理)''」である((さらに「一般座...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
**2.5 絶対空間に対するマッハの批判 [#lab1d801]
ニュートンはニュートン力学を構築する時、「絶対空間」すな...
この「動いているかどうか判定できない」というのは等速直線...
しかしマッハはこの考え方も批判していて「自分が静止してい...
マッハの批判から学ぶべきことは「''(観測されていないことを...
*学生の感想・コメントから [#r48ad862]
&color(Green){時間を２次元以上考えた人はいますか？};
&color(Red){いることはいますが、主流な考え方にはなってい...
&color(Green){フリーフォールってなんですか？};
&color(Red){遊園地にあるもので、重力加速度と同じぐらいの...
&color(Green){もうちょっと広い教室ありませんか？};
&color(Red){残念ながら、ないですね。まぁそのうち人も減る...
&color(Green){慣性系の定義がわかりません。};
&color(Red){口頭で説明はしませんでしたが、テキストに書い...
&color(Green){地球も加速度運動をしていると思うんですが、...
&color(Red){自転による加速度による慣性力は、それだけ重力...
&color(Green){みかけの力さえ働かなければ、地球表面に固定...
&color(Red){上に書いたように微弱なみかけの力は働いている...
&color(Green){ガリレイ変換の一般式、黒板の説明ではx'=x-vt...
y
&color(Red){一般的には、t=0で原点（x=0とx'=0）が一致する...
&color(Green){で、どうして４次元ポケットにはたくさんもの...
&color(Red){そんなことは藤子不二雄先生に聞いてください(^_...
&color(Green){今日の講義を聴いた限りでは、ガリレイ変換は...
&color(Red){そうです。常識的感覚ではガリレイ変換は正しい...
&color(Green){ガリレイ変換が間違っているという話ですが、...
&color(Red){ええ。今日の授業の範囲では、ガリレイ変換の間...
&color(Green){絶対空間というのがしっくりこない。};
&color(Red){しっくりこないならしめたものです。絶対空間な...
&color(Green){次元というのは、いったりきたりできるものに...
&color(Red){時間はいったりきたりはできませんが、座標とし...
&color(Green){マッハさんってすごいスケールを持った人だな...
&color(Red){確かに。};
&color(Green){マッハの唱えた実験って部分的にでも検証はで...
&color(Red){一般相対論では、天体なみの大質量を回すと中で...
&color(Green){なんか、マッハがむちゃくちゃ言っているだけ...
&color(Red){あれは、何か法則を見つける時の姿勢の問題なん...
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*第２章 座標変換と運動方程式 [#x086fcf6]
第１章の前半では、力学の法則が相対的であること、つまり絶...
物理を記述するにあたって、座標系は大事である。というより...
**2.1 座標系と次元 [#l7ef4ae2]
座標系というのは、物体の位置を指定するための道具である。...
将棋盤の例なら二個の数字を使って場所を表したが、物理の一...
#ref(4jigen.png)
相対論では、４次元、すなわち４つの座標を使って運動を記述...
物体の位置だけを問うのなら、３次元でいい。ニュートン力学...
以上のように、４次元と言っても別に怖いものでもなんでもな...
座標の取り方はいろいろあるが、ここでは一番簡単な直交座標...
**2.2 １次元空間の座標変換 [#f4a81853]
簡単のため、まず空間座標はxだけ考えて、y,zは無視して考え...
CENTER:
#ref(coord1.png)
まず簡単な座標変換として、原点の移動を考えよう。新しい座...
#ref(coord2.png)
次に座標の原点自体が刻一刻と等速度vで移動している場合を考...
#mimetex( x'=x-vt )
という変換則に従っている。この座標系x'は、いわば速度vで走...
CENTER:
#ref(denshacoord.png)
ここであげた式ではt=0でxとx'の原点が一致しているとしたが...
この時、x系とx'系で、時間は変化しないと考えられるので、
t'=t
である。あたりまえのことのようであるが、これは重要な（後...
**2.3 速度、加速度のガリレイ変換と運動方程式の不変性 [#e5...
さて、「電車内でも外部でも同じ物理法則が成立する」という...
ガリレイ変換の一般式x'=x-vt-bという変換式を微分していくと、
x'=x-vt-b
↓
&mimetex({dx'\over dt}={dx\over dt}-v);
↓
&mimetex({d^2x'\over dt^2}={d^2x\over dt^2});
となり、加速度はどちらの座標系でも同じ。
ニュートンの運動方程式は（１次元であれば）&mimetex( m {d^...
二つの座標系で、同じ運動を記述してみる。x系とx'系は原点が...
&mimetex( F= m{d^2 x'(t)\over dt^2}); または &mimetex(F...
と書ける。これをtで２回積分すると、
&mimetex({d^2 x(t)\over dt^2}= {F\over m});
&mimetex({d x(t)\over dt}= {F\over m}t+C_1);
&mimetex(x(t)= {1\over2}{F\over m}t^2 +C_1t +C_2);
となる(&mimetex(C_1,C_2);は積分定数)。
x系で考えるならば、x(t)の初期値（平たくいえばx(0)）は0、...
x'系での運動を考えるには、二つの方法がある。今求めた解を...
#mimetex( x'(t)=x(t)-vt = {1\over2}{F\over m}t^2 -vt)
と公式どおりに求まる。x'系での初期値を考えるならば、x系で...
#ref(kasoku.png,,50%)
二つの結果を、x系とx'系でグラフにしてみたものが上の二つの...
上のグラフで、t=t'なのにt軸とt'軸が同じ軸でないことをおか...
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''[問い2-1]''
x'座標系で見て速度V'で動いている物体に関してはx'=V't'+b(b...
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前の章で強調した、「絶対静止しているかどうかは判定できな...
今あなたが電車外にいて、「静止しているのは私である」とい...
ガリレイ変換の物理的意味は、一つの物理現象を見る時、観測...
**2.4 「慣性系」の定義 [#i424256a]
以上でわかるように、ニュートンの運動方程式はガリレイ変換...
そこで、ニュートンの運動方程式が成立する座標系を特別に「...
たとえば地球表面に固定した座標系は厳密には慣性系ではない...
#mimetex( x'=x -{1\over2}at^2)
を導入したとすると、このx'系での運動方程式は
#mimetex( m\left({d^2 x'\over dt^2}+a\right)=F)
あるいは
#mimetex( m {d^2 x'\over dt^2}= F-ma)
となってしまう。つまりx'系は慣性系ではなく、運動方程式の...
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''[問い2-2]''
今、遊園地にあるフリーフォールの中での運動を考える。外か...
#mimetex( m{d^2 y\over dt^2}=-mg)
である（yは上向きを正としてとった鉛直方向の座標）。フリー...
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とりあえず慣性系でない座標系のことは横に置いておくとして、
''ガリレイ変換によって移り変わるどの慣性系においても、同...
という原理を「''(ガリレイの相対性原理)''」と呼ぶ。この法...
''ローレンツ変換によって移り変わるどの慣性系においても、...
というのが「''(特殊相対性原理)''」である((さらに「一般座...
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&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
**2.5 絶対空間に対するマッハの批判 [#lab1d801]
ニュートンはニュートン力学を構築する時、「絶対空間」すな...
この「動いているかどうか判定できない」というのは等速直線...
しかしマッハはこの考え方も批判していて「自分が静止してい...
マッハの批判から学ぶべきことは「''(観測されていないことを...
*学生の感想・コメントから [#r48ad862]
&color(Green){時間を２次元以上考えた人はいますか？};
&color(Red){いることはいますが、主流な考え方にはなってい...
&color(Green){フリーフォールってなんですか？};
&color(Red){遊園地にあるもので、重力加速度と同じぐらいの...
&color(Green){もうちょっと広い教室ありませんか？};
&color(Red){残念ながら、ないですね。まぁそのうち人も減る...
&color(Green){慣性系の定義がわかりません。};
&color(Red){口頭で説明はしませんでしたが、テキストに書い...
&color(Green){地球も加速度運動をしていると思うんですが、...
&color(Red){自転による加速度による慣性力は、それだけ重力...
&color(Green){みかけの力さえ働かなければ、地球表面に固定...
&color(Red){上に書いたように微弱なみかけの力は働いている...
&color(Green){ガリレイ変換の一般式、黒板の説明ではx'=x-vt...
y
&color(Red){一般的には、t=0で原点（x=0とx'=0）が一致する...
&color(Green){で、どうして４次元ポケットにはたくさんもの...
&color(Red){そんなことは藤子不二雄先生に聞いてください(^_...
&color(Green){今日の講義を聴いた限りでは、ガリレイ変換は...
&color(Red){そうです。常識的感覚ではガリレイ変換は正しい...
&color(Green){ガリレイ変換が間違っているという話ですが、...
&color(Red){ええ。今日の授業の範囲では、ガリレイ変換の間...
&color(Green){絶対空間というのがしっくりこない。};
&color(Red){しっくりこないならしめたものです。絶対空間な...
&color(Green){次元というのは、いったりきたりできるものに...
&color(Red){時間はいったりきたりはできませんが、座標とし...
&color(Green){マッハさんってすごいスケールを持った人だな...
&color(Red){確かに。};
&color(Green){マッハの唱えた実験って部分的にでも検証はで...
&color(Red){一般相対論では、天体なみの大質量を回すと中で...
&color(Green){なんか、マッハがむちゃくちゃ言っているだけ...
&color(Red){あれは、何か法則を見つける時の姿勢の問題なん...
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