相対論2008年度第４回
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*第３章 電磁気学の相対性 [#g3229060]
**3.1 電磁波は静止できるのか？ [#ad21769d]
&aname(denjihanogimon); 前にも書いたが、アインシュタイン...
#mimetex( E_x=E_z=0,E_y=E_0 \sin k(z-ct), B_y=B_z=0,B_x={...
RIGHT:(電磁波の式)&aname(denjihax);
&color(Red){テキストの式はx,y軸の方向が図とあっていません...
は真空中のマックスウェル方程式
#mimetex(\begin{array}{cccc} {\rm div} {\vec B}=0 &~~~~ {...
RIGHT:(真空中のマックスウェル方程式)&aname(maxwell);
の解である。
#ref(denjiha.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
&color(Red){↑の図のアニメーションアプレットは[[ここ>http:...
#ref(相対論2007年度第３回/rotEdS.png)
ここで、&mimetex({\rm rot}\vec E);および&mimetex({\rm rot...
#ref(相対論2007年度第３回/rotE2.png)
上の図に書かれている四角の回りに電荷を周回させたとすると...
#ref(相対論2007年度第３回/DenbaGensui.png)
もし、空間に一部に強い電場、周りに弱い電場があるような状...
つまり、マックスウェル方程式の中には、一部分だけ電場が強...
弦の振動や、水面にできる波などに関しても、この「空間的変...
#ref(相対論2007年度第３回/gen.png)
弦の振動の場合を考える。ピンと張られた弦には張力が働いて...
すでに述べたように、電磁気についても、同じ原則が成立して...
&color(Green){水中では光速は遅くなって、追い越すとチェレ...
&color(Red){そういうことになりますね。その観測者から見る...
さて、光速度で走る人から見た電磁波の問題に戻り、より具体...
#mimetex(X=x,Y=y, Z=z-ct, T=t)
だと考えられる。座標の変換だけを行えばよいのだとすると（...
#mimetex( E_X=E_Z=0,E_Y=E_0 \sin kX, B_Y=B_Z=0,B_Z={E_0\o...
となり、波の形をして止まっている電場と磁場が見えるように...
したがって、マックスウェル方程式かガリレイ変換か、どちら...
**3.2 電磁誘導の疑問 [#sf8dd173]
&aname(movingcoil);
#ref(相対論2007年度第４回/jishaku.png)
&color(Red){↑の図のアニメーションアプレットは[[ここ>http:...
第[[１>相対論2008年度第１回#hajimeni]]章で概要だけ述べた...
右図の場合であれば、それはコイル内の磁束密度が時間変化す...
この時に起こっていることはあくまで「磁束密度の変化→電場の...
では左図はどう解釈されるか。この場合は各点各点の磁束密度...
#ref(相対論2007年度第４回/rotE.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
ではコイルが動く場合にも電流が発生するのはなぜか。磁場中...
#ref(相対論2007年度第４回/dPhidt.png)
この考え方で、電子に働く力を計算し、電子が回路を一周する...
磁場&mimetex(\vec B);は真上を向いていないので、上向き成分...
一方、コイルが動いたことによってコイル内から単位時間に出...
このように、マックスウェル方程式を使った計算では、どちら...
これはたまたまうまく行っているなのか、それとも必然的にそ...
もちろん、「たまたま」などではなくこうなることには意味が...
次の節でその方程式について説明しよう。
**3.3 マックスウェル方程式をガリレイ変換すると？ [#gbb8fe...
&aname(hertzdoushutu);
''【注意！】この節の話は現代物理からすると「間違った考え...
電磁波の発見者としても名高いヘルツ(Hertz)は、動いている人...
#ref(相対論2007年度第４回/bibun.png)
３次元のガリレイ変換を
&mimetex( x^{\prime i}= x^i -v^i t); または &mimetex(x^...
と置く。そして、この(x',t')座標系では普通のマックスウェル...
これは座標変換&mimetex((x^i,t)\to (x^{\prime i},t'));であ...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\partial \over \partial x^{\p...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\partial \over \partial t'}=&...
がわかる（アインシュタインの規約をつかって簡略化して書い...
つまり、xによる微分とx'による微分は同じもので、tによる微...
逆に、&mimetex({\partial\over \partial x});が「tを一定と...
では方程式を作っていく。ここで、電場や磁場の値は運動しな...
(x',t')座標系を「マックスウェル方程式が成立する座標系」と...
#mimetex({ \partial E_y \over \partial x'} - {\partial E_...
が成立している。これをガリレイ変換すれば、
#mimetex(\begin{array}{rl}{ \partial E_y \over \partial x...
ここで、１行めから２行目では&mimetex({\partial B_z \over ...
&mimetex(\vec v\times \vec B);というベクトルを考えると、...
#mimetex({ \partial E_y \over \partial x} - {\partial E_x...
となる。
x,y成分に関しても同様の計算をすれば、この３つの式が
#mimetex( {\rm rot} \vec E = -{\partial \over \partial t}...
RIGHT:（ヘルツの式１）&aname(hertzrotE);
とまとめることができることがわかる。ここで、計算の途中で&...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ベクトル解析を使って計算するならば、
#mimetex( \begin{array}{rl} \vec\nabla\times \vec E&=-{\p...
と、０になる項を付け加えた後で、公式
#mimetex( \vec P \times(\vec Q\times \vec R)= \vec Q(\vec...
を使えばすぐに([[ヘルツの式１>#hertzrotE]])を出すことがで...
同じ計算をテンソルを使ってやることもできる。ただし、その...
ここで&mimetex(\epsilon_{ijk});はi,j,kについて完全反対称...
この記号を使うと、
#mimetex(\begin{array}{rll} \epsilon_{ijk}{\partial\over...
のように書くことができる。&mimetex({\rm div}\vec B={\part...
#mimetex(\begin{array}{rl} -v_j {\partial\over \partial x...
のように書ける（右辺から左辺への変形は容易なので、確認す...
ここで、&mimetex(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}...
これによって、
#mimetex(\begin{array}{rl} -v_j {\partial\over \partial x...
という式が作れる。これは&mimetex(\vec\nabla\times(\vec v\...
----
&mimetex({\rm rot} \vec H = {\partial \vec D\over \partia...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec H &= {\partial...
RIGHT:(ヘルツの式２)&aname(hertzrotB);
となる。この計算は([[ヘルツの式１>#hertzrotE]])を出したの...
よって、x系で成立する方程式は
#mimetex(\begin{array}{cc} {\rm div} {\vec B}=0 &~~~~ {\r...
RIGHT:(ヘルツの式)&aname(hertz);
となる。これをヘルツの方程式と呼ぶ。ここで、x'座標系での...
この章の最初の疑問に対して、ヘルツの考え方はどのような答...
よって、(X,Y,Z,T)座標系での電磁場
#mimetex( \vec E=(0,E_0 \sin kZ,0),~~~~ \vec B=({E_0\over...
の満たすべき方程式は、ヘルツの式で&mimetex(\vec v=(0,0,-c...
&mimetex(\vec v\times \vec B);を計算すると、
#mimetex( (\vec v\times \vec B)_X =0,~~ (\vec v\times \ve...
となって、&mimetex(\vec E);と&mimetex(\vec v\times \vec B...
**3.4 エーテル---絶対静止系の存在 [#hc126384]
&aname(etherwind);
#ref(相対論2007年度第４回/etherwind.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
こうして、マックスウェルの方程式とヘルツの方程式という、...
ここで、光同様に波である、音の場合を考えてみよう。音は「...
音に対する空気のように、光に対して「エーテル」と言う媒質...
空間はエーテルに満たされている。このエーテルの振動が光で...
これがほんとうだとすると、マッハによってニュートン力学か...
最終的にはここで考えられたようなエーテルは存在しないこと...
光が秒速３０万キロという速いスピードで進むことは、エーテ...
このように考えていくと、「光も波なのだから媒質となる物体...
それを決めるのは実験である。そのための実験としてもっとも...
&color(Red){というところからは、次回。};
*学生の感想・コメントから [#g56fcd80]
&color(Green){マッハさんは速さにつくマッハ〜と関係ありま...
&color(Red){マッハさんの名前にちなんでつけられた単位です...
&color(Green){光の速さを屈折を利用して遅くして、光速一定...
&color(Red){屈折を利用するということは物質中の光速を考え...
&color(Green){絶対零度の空間は時間が止まると聞いたんです...
&color(Red){絶対零度になっても時間が止まったりしないので...
&color(Green){ヘルツの式は実験に合わないから間違いだとい...
&color(Red){もちろん実験とあえば正しいんですが、「マック...
&color(Green){アインシュタインが現れるまで、ガリレイ変換...
&color(Red){「ローレンツ変換」という名前があるように、ロ...
&color(Green){電磁誘導で、コイルが動くのと磁石が動くのは...
&color(Red){ローレンツ変換を使うと、同じ物理現象で見方を...
&color(Green){エーテルって実験的にはないことになったので...
&color(Red){はいそうです。その実験についてはまた今度。};
&color(Green){答えがわからないからって「エーテル」なんて...
&color(Red){もちろん、そのための実験がたくさん考案され、...
&color(Green){新しい理論があってそれを確かめる実験をした...
&color(Red){そりゃもちろん、理論が間違うことも実験が間違...
&color(Green){ヘルツの方程式ってめんどくさそうだから、間...
&color(Red){それはそうですね。マックスウェル方程式の方が...
&color(Green){ローレンツ変換では&mimetex({\partial\over\p...
&color(Red){いいえ、違います。こっちも変換します。};
&color(Green){今日の話を聞いて、私たちが習ってきた物理法...
&color(Red){もちろんたくさんあります。};
&color(Green){ヘルツの法則が間違いだという実験結果が早く...
&color(Red){次回以降をお楽しみに。};
&color(Green){特殊相対論は高校物理でも説明できると言って...
&color(Red){そうですね。高校生に説明する時は、このあたり...
&color(Green){磁荷が見つかったとすると、電磁気学も変わっ...
&color(Red){磁荷が見つかっても、相対論的な部分については...
&color(Green){電磁気の中に相対的な考えが含まれていること...
&color(Red){そこを追求していくと、電磁気学の中には相対論...
&color(Green){エーテルは固いのに抵抗がないなんて、意味が...
&color(Red){変なのは確かですが、普通の物質との間に相互作...
&color(Green){ローレンツ変換の式のｃを音速にしてはダメで...
&color(Red){ダメです。光速は観測者にも光源にもよらず一定...
終了行:
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*第３章 電磁気学の相対性 [#g3229060]
**3.1 電磁波は静止できるのか？ [#ad21769d]
&aname(denjihanogimon); 前にも書いたが、アインシュタイン...
#mimetex( E_x=E_z=0,E_y=E_0 \sin k(z-ct), B_y=B_z=0,B_x={...
RIGHT:(電磁波の式)&aname(denjihax);
&color(Red){テキストの式はx,y軸の方向が図とあっていません...
は真空中のマックスウェル方程式
#mimetex(\begin{array}{cccc} {\rm div} {\vec B}=0 &~~~~ {...
RIGHT:(真空中のマックスウェル方程式)&aname(maxwell);
の解である。
#ref(denjiha.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
&color(Red){↑の図のアニメーションアプレットは[[ここ>http:...
#ref(相対論2007年度第３回/rotEdS.png)
ここで、&mimetex({\rm rot}\vec E);および&mimetex({\rm rot...
#ref(相対論2007年度第３回/rotE2.png)
上の図に書かれている四角の回りに電荷を周回させたとすると...
#ref(相対論2007年度第３回/DenbaGensui.png)
もし、空間に一部に強い電場、周りに弱い電場があるような状...
つまり、マックスウェル方程式の中には、一部分だけ電場が強...
弦の振動や、水面にできる波などに関しても、この「空間的変...
#ref(相対論2007年度第３回/gen.png)
弦の振動の場合を考える。ピンと張られた弦には張力が働いて...
すでに述べたように、電磁気についても、同じ原則が成立して...
&color(Green){水中では光速は遅くなって、追い越すとチェレ...
&color(Red){そういうことになりますね。その観測者から見る...
さて、光速度で走る人から見た電磁波の問題に戻り、より具体...
#mimetex(X=x,Y=y, Z=z-ct, T=t)
だと考えられる。座標の変換だけを行えばよいのだとすると（...
#mimetex( E_X=E_Z=0,E_Y=E_0 \sin kX, B_Y=B_Z=0,B_Z={E_0\o...
となり、波の形をして止まっている電場と磁場が見えるように...
したがって、マックスウェル方程式かガリレイ変換か、どちら...
**3.2 電磁誘導の疑問 [#sf8dd173]
&aname(movingcoil);
#ref(相対論2007年度第４回/jishaku.png)
&color(Red){↑の図のアニメーションアプレットは[[ここ>http:...
第[[１>相対論2008年度第１回#hajimeni]]章で概要だけ述べた...
右図の場合であれば、それはコイル内の磁束密度が時間変化す...
この時に起こっていることはあくまで「磁束密度の変化→電場の...
では左図はどう解釈されるか。この場合は各点各点の磁束密度...
#ref(相対論2007年度第４回/rotE.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
ではコイルが動く場合にも電流が発生するのはなぜか。磁場中...
#ref(相対論2007年度第４回/dPhidt.png)
この考え方で、電子に働く力を計算し、電子が回路を一周する...
磁場&mimetex(\vec B);は真上を向いていないので、上向き成分...
一方、コイルが動いたことによってコイル内から単位時間に出...
このように、マックスウェル方程式を使った計算では、どちら...
これはたまたまうまく行っているなのか、それとも必然的にそ...
もちろん、「たまたま」などではなくこうなることには意味が...
次の節でその方程式について説明しよう。
**3.3 マックスウェル方程式をガリレイ変換すると？ [#gbb8fe...
&aname(hertzdoushutu);
''【注意！】この節の話は現代物理からすると「間違った考え...
電磁波の発見者としても名高いヘルツ(Hertz)は、動いている人...
#ref(相対論2007年度第４回/bibun.png)
３次元のガリレイ変換を
&mimetex( x^{\prime i}= x^i -v^i t); または &mimetex(x^...
と置く。そして、この(x',t')座標系では普通のマックスウェル...
これは座標変換&mimetex((x^i,t)\to (x^{\prime i},t'));であ...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\partial \over \partial x^{\p...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\partial \over \partial t'}=&...
がわかる（アインシュタインの規約をつかって簡略化して書い...
つまり、xによる微分とx'による微分は同じもので、tによる微...
逆に、&mimetex({\partial\over \partial x});が「tを一定と...
では方程式を作っていく。ここで、電場や磁場の値は運動しな...
(x',t')座標系を「マックスウェル方程式が成立する座標系」と...
#mimetex({ \partial E_y \over \partial x'} - {\partial E_...
が成立している。これをガリレイ変換すれば、
#mimetex(\begin{array}{rl}{ \partial E_y \over \partial x...
ここで、１行めから２行目では&mimetex({\partial B_z \over ...
&mimetex(\vec v\times \vec B);というベクトルを考えると、...
#mimetex({ \partial E_y \over \partial x} - {\partial E_x...
となる。
x,y成分に関しても同様の計算をすれば、この３つの式が
#mimetex( {\rm rot} \vec E = -{\partial \over \partial t}...
RIGHT:（ヘルツの式１）&aname(hertzrotE);
とまとめることができることがわかる。ここで、計算の途中で&...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ベクトル解析を使って計算するならば、
#mimetex( \begin{array}{rl} \vec\nabla\times \vec E&=-{\p...
と、０になる項を付け加えた後で、公式
#mimetex( \vec P \times(\vec Q\times \vec R)= \vec Q(\vec...
を使えばすぐに([[ヘルツの式１>#hertzrotE]])を出すことがで...
同じ計算をテンソルを使ってやることもできる。ただし、その...
ここで&mimetex(\epsilon_{ijk});はi,j,kについて完全反対称...
この記号を使うと、
#mimetex(\begin{array}{rll} \epsilon_{ijk}{\partial\over...
のように書くことができる。&mimetex({\rm div}\vec B={\part...
#mimetex(\begin{array}{rl} -v_j {\partial\over \partial x...
のように書ける（右辺から左辺への変形は容易なので、確認す...
ここで、&mimetex(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}...
これによって、
#mimetex(\begin{array}{rl} -v_j {\partial\over \partial x...
という式が作れる。これは&mimetex(\vec\nabla\times(\vec v\...
----
&mimetex({\rm rot} \vec H = {\partial \vec D\over \partia...
#mimetex(\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec H &= {\partial...
RIGHT:(ヘルツの式２)&aname(hertzrotB);
となる。この計算は([[ヘルツの式１>#hertzrotE]])を出したの...
よって、x系で成立する方程式は
#mimetex(\begin{array}{cc} {\rm div} {\vec B}=0 &~~~~ {\r...
RIGHT:(ヘルツの式)&aname(hertz);
となる。これをヘルツの方程式と呼ぶ。ここで、x'座標系での...
この章の最初の疑問に対して、ヘルツの考え方はどのような答...
よって、(X,Y,Z,T)座標系での電磁場
#mimetex( \vec E=(0,E_0 \sin kZ,0),~~~~ \vec B=({E_0\over...
の満たすべき方程式は、ヘルツの式で&mimetex(\vec v=(0,0,-c...
&mimetex(\vec v\times \vec B);を計算すると、
#mimetex( (\vec v\times \vec B)_X =0,~~ (\vec v\times \ve...
となって、&mimetex(\vec E);と&mimetex(\vec v\times \vec B...
**3.4 エーテル---絶対静止系の存在 [#hc126384]
&aname(etherwind);
#ref(相対論2007年度第４回/etherwind.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
こうして、マックスウェルの方程式とヘルツの方程式という、...
ここで、光同様に波である、音の場合を考えてみよう。音は「...
音に対する空気のように、光に対して「エーテル」と言う媒質...
空間はエーテルに満たされている。このエーテルの振動が光で...
これがほんとうだとすると、マッハによってニュートン力学か...
最終的にはここで考えられたようなエーテルは存在しないこと...
光が秒速３０万キロという速いスピードで進むことは、エーテ...
このように考えていくと、「光も波なのだから媒質となる物体...
それを決めるのは実験である。そのための実験としてもっとも...
&color(Red){というところからは、次回。};
*学生の感想・コメントから [#g56fcd80]
&color(Green){マッハさんは速さにつくマッハ〜と関係ありま...
&color(Red){マッハさんの名前にちなんでつけられた単位です...
&color(Green){光の速さを屈折を利用して遅くして、光速一定...
&color(Red){屈折を利用するということは物質中の光速を考え...
&color(Green){絶対零度の空間は時間が止まると聞いたんです...
&color(Red){絶対零度になっても時間が止まったりしないので...
&color(Green){ヘルツの式は実験に合わないから間違いだとい...
&color(Red){もちろん実験とあえば正しいんですが、「マック...
&color(Green){アインシュタインが現れるまで、ガリレイ変換...
&color(Red){「ローレンツ変換」という名前があるように、ロ...
&color(Green){電磁誘導で、コイルが動くのと磁石が動くのは...
&color(Red){ローレンツ変換を使うと、同じ物理現象で見方を...
&color(Green){エーテルって実験的にはないことになったので...
&color(Red){はいそうです。その実験についてはまた今度。};
&color(Green){答えがわからないからって「エーテル」なんて...
&color(Red){もちろん、そのための実験がたくさん考案され、...
&color(Green){新しい理論があってそれを確かめる実験をした...
&color(Red){そりゃもちろん、理論が間違うことも実験が間違...
&color(Green){ヘルツの方程式ってめんどくさそうだから、間...
&color(Red){それはそうですね。マックスウェル方程式の方が...
&color(Green){ローレンツ変換では&mimetex({\partial\over\p...
&color(Red){いいえ、違います。こっちも変換します。};
&color(Green){今日の話を聞いて、私たちが習ってきた物理法...
&color(Red){もちろんたくさんあります。};
&color(Green){ヘルツの法則が間違いだという実験結果が早く...
&color(Red){次回以降をお楽しみに。};
&color(Green){特殊相対論は高校物理でも説明できると言って...
&color(Red){そうですね。高校生に説明する時は、このあたり...
&color(Green){磁荷が見つかったとすると、電磁気学も変わっ...
&color(Red){磁荷が見つかっても、相対論的な部分については...
&color(Green){電磁気の中に相対的な考えが含まれていること...
&color(Red){そこを追求していくと、電磁気学の中には相対論...
&color(Green){エーテルは固いのに抵抗がないなんて、意味が...
&color(Red){変なのは確かですが、普通の物質との間に相互作...
&color(Green){ローレンツ変換の式のｃを音速にしてはダメで...
&color(Red){ダメです。光速は観測者にも光源にもよらず一定...
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