相対論2008年度第11回
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CENTER:←[[相対論2008年度第10回]] [[目次に戻る>相対論2008...
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&color(Red){先週が休みだったため、学生さんも「２週間前の...
**6.4 ４元ベクトル [#t3f9870c]
３次元のベクトル&mimetex(\vec V=(V_x,V_y,V_z));は座標変換...
同様に、４成分のベクトル&mimetex(V^\mu(\mu=0,1,2,3));を考...
座標がローレンツ変換(&mimetex(x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_...
&mimetex( \begin{array}{rlcrl} ct'=&\gamma(ct-\beta x) &...
このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後...
この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように&mimetex(V^...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^...
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がロ...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_...
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた&mimete...
このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時には&mimete...
#mimetex( W_\mu = \eta_{\mu\nu}W^\nu)
という量を定義する（ここから、上付きの添字を持つベクトル&...
&mimetex(\eta_{\mu\nu});の逆行列を&mimetex(\eta^{\mu\nu})...
&mimetex( \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^{\nu});...
ということである（注：&mimetex(\eta_{\mu\nu});と&mimetex(...
共変ベクトルのローレンツ変換は、
#mimetex( W'_\mu = \eta_{\mu\nu} W^{\prime \nu} = \eta_{\...
となるので、その変換行列は&mimetex(\eta_{\mu\nu} \alpha^{...
#mimetex( \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\la...
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換は&...
共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの...
また、
&mimetex(\eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lam...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta...
RIGHT:(ααδの式)&aname(alphaalphadelta);
ということもわかる。これは、行列&mimetex(\alpha^\mu_{~\rh...
座標と同じ変換をする方が''「反」''変で、少し違う変換をす...
まず、微分のchain ruleを使って計算すると、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}={\partia...
のように微分演算子が変換することがわかる。一方、ここで現...
#mimetex( {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\nu}= {...
という行列の逆行列である。つまり、
&mimetex( {\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}} {\...
である。これと([[ααδの式>#alphaalphadelta]])を見比べると、
&mimetex({\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}}=\al...
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\...
が成立するのである。これは微分演算子が共変ベクトルである...
反変ベクトル&mimetex(A^\mu);と共変ベクトル&mimetex(B_\mu)...
#mimetex( (A')^\mu(B')_\mu = A^\nu \underbrace{\alpha^\mu...
である。つまり、反変（上付き）添字と共変（下付き）添字が...
なお、&mimetex(C_{\mu\nu},A^{\rho\lambda\tau},D^\tau_{~\s...
複数個の添字のあるテンソルは、その添字の一個一個にαがかか...
例えば
#mimetex( (D')^{\tau}_{\sigma\mu\nu}= \alpha^\tau_{~\tau'...
のように変換される。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu})...
&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});がローレンツ変換で不変である...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
RIGHT:(δααの式)&aname(deltaalphaalpha);
と座標変換される。この式を([[ααδの式>#alphaalphadelta]])...
すなわち&mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
が証明される。
なお、このことからも、&mimetex({\partial\over \partial x^...
&mimetex({\partial \over \partial x^\mu} x^\nu=\delta_\mu...
&mimetex(x^\nu);が反変ベクトルなのだから、それとかけて&mi...
**6.5 章末演習問題 [#e4e5108b]
''[演習問題6-1]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gam...
+ &mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});を求めよ。
+ &mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \del...
+ これによって微分演算子&mimetex(\partial_\mu=\left({\par...
+ 変換の後も&mimetex({\partial_\mu}x^\nu=\delta^\nu_{~\mu...
''[演習問題6-2]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1&0 ...
*学生の感想・コメントから [#p1da394c]
&color(Green){テンソルに慣れてないから全然わからない（と...
&color(Red){うーん、これまでの授業でもだいぶ使ってきて、...
&color(Green){文字がたくさんでてきて難しかった（という関...
&color(Red){この程度で「文字がたくさん」じゃあ、この先困...
&color(Green){&mimtex(a^\mu_{~\rho}b^\rho_{~\lambda});の...
&color(Red){単に&mimtex(\sum_{\rho=0}^3 a^\mu_{~\rho}b^\r...
&color(Green){光子は減速できませんよね？};
&color(Red){真空中なら、できません。物質中だと光速より遅...
&color(Green){演算子の方が基本的な量ってどういう状態なの...
&color(Red){共変ベクトルすなわち微分演算子の方が数学では...
&color(Green){章末問題はあと何回やりますか？};
&color(Red){決めてません。};
&color(Green){物理をやっているというよりは数学みたいでし...
&color(Red){そうですね。この後相対論的力学のところまで話...
&color(Green){ブラックホールは質量∞なんですか？};
&color(Red){いいえ、違います。質量は有限ですよ。};
&color(Green){そして速度を持てるんですか？ 加速度は？};
&color(Red){もちろん速度も加速度も持てますよ。};
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&color(Red){先週が休みだったため、学生さんも「２週間前の...
**6.4 ４元ベクトル [#t3f9870c]
３次元のベクトル&mimetex(\vec V=(V_x,V_y,V_z));は座標変換...
同様に、４成分のベクトル&mimetex(V^\mu(\mu=0,1,2,3));を考...
座標がローレンツ変換(&mimetex(x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_...
&mimetex( \begin{array}{rlcrl} ct'=&\gamma(ct-\beta x) &...
このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後...
この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように&mimetex(V^...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^...
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がロ...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_...
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた&mimete...
このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時には&mimete...
#mimetex( W_\mu = \eta_{\mu\nu}W^\nu)
という量を定義する（ここから、上付きの添字を持つベクトル&...
&mimetex(\eta_{\mu\nu});の逆行列を&mimetex(\eta^{\mu\nu})...
&mimetex( \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^{\nu});...
ということである（注：&mimetex(\eta_{\mu\nu});と&mimetex(...
共変ベクトルのローレンツ変換は、
#mimetex( W'_\mu = \eta_{\mu\nu} W^{\prime \nu} = \eta_{\...
となるので、その変換行列は&mimetex(\eta_{\mu\nu} \alpha^{...
#mimetex( \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\la...
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換は&...
共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの...
また、
&mimetex(\eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lam...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta...
RIGHT:(ααδの式)&aname(alphaalphadelta);
ということもわかる。これは、行列&mimetex(\alpha^\mu_{~\rh...
座標と同じ変換をする方が''「反」''変で、少し違う変換をす...
まず、微分のchain ruleを使って計算すると、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}={\partia...
のように微分演算子が変換することがわかる。一方、ここで現...
#mimetex( {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\nu}= {...
という行列の逆行列である。つまり、
&mimetex( {\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}} {\...
である。これと([[ααδの式>#alphaalphadelta]])を見比べると、
&mimetex({\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}}=\al...
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\...
が成立するのである。これは微分演算子が共変ベクトルである...
反変ベクトル&mimetex(A^\mu);と共変ベクトル&mimetex(B_\mu)...
#mimetex( (A')^\mu(B')_\mu = A^\nu \underbrace{\alpha^\mu...
である。つまり、反変（上付き）添字と共変（下付き）添字が...
なお、&mimetex(C_{\mu\nu},A^{\rho\lambda\tau},D^\tau_{~\s...
複数個の添字のあるテンソルは、その添字の一個一個にαがかか...
例えば
#mimetex( (D')^{\tau}_{\sigma\mu\nu}= \alpha^\tau_{~\tau'...
のように変換される。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu})...
&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});がローレンツ変換で不変である...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
RIGHT:(δααの式)&aname(deltaalphaalpha);
と座標変換される。この式を([[ααδの式>#alphaalphadelta]])...
すなわち&mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
が証明される。
なお、このことからも、&mimetex({\partial\over \partial x^...
&mimetex({\partial \over \partial x^\mu} x^\nu=\delta_\mu...
&mimetex(x^\nu);が反変ベクトルなのだから、それとかけて&mi...
**6.5 章末演習問題 [#e4e5108b]
''[演習問題6-1]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gam...
+ &mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});を求めよ。
+ &mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \del...
+ これによって微分演算子&mimetex(\partial_\mu=\left({\par...
+ 変換の後も&mimetex({\partial_\mu}x^\nu=\delta^\nu_{~\mu...
''[演習問題6-2]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1&0 ...
*学生の感想・コメントから [#p1da394c]
&color(Green){テンソルに慣れてないから全然わからない（と...
&color(Red){うーん、これまでの授業でもだいぶ使ってきて、...
&color(Green){文字がたくさんでてきて難しかった（という関...
&color(Red){この程度で「文字がたくさん」じゃあ、この先困...
&color(Green){&mimtex(a^\mu_{~\rho}b^\rho_{~\lambda});の...
&color(Red){単に&mimtex(\sum_{\rho=0}^3 a^\mu_{~\rho}b^\r...
&color(Green){光子は減速できませんよね？};
&color(Red){真空中なら、できません。物質中だと光速より遅...
&color(Green){演算子の方が基本的な量ってどういう状態なの...
&color(Red){共変ベクトルすなわち微分演算子の方が数学では...
&color(Green){章末問題はあと何回やりますか？};
&color(Red){決めてません。};
&color(Green){物理をやっているというよりは数学みたいでし...
&color(Red){そうですね。この後相対論的力学のところまで話...
&color(Green){ブラックホールは質量∞なんですか？};
&color(Red){いいえ、違います。質量は有限ですよ。};
&color(Green){そして速度を持てるんですか？ 加速度は？};
&color(Red){もちろん速度も加速度も持てますよ。};
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![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
