相対論2009年度第10回
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CENTER:←[[相対論2009年度第９回]] [[目次に戻る>相対論2009...
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*第６章 ミンコフスキー空間 [#w831852c]
ここまで学習した相対論的な考え方は「ミンコフスキー空間」...
１次元＋空間３次元の時空間」での幾何学としてまとめなおす...
の章でここまでの結果を``４次元的な視点''から考え直そう。
**6.1 ４次元の内積 [#g21d3fb9]
ここまででわかった大事なことはローレンツ変換によって移り...
系(ct,x,y,z)と(ct',x',y',z')の間に、
#mimetex( -(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2= -(ct')^2 + (x')^2 + (...
&aname(lorentzinv);
あるいは
#mimetex(\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu=\eta_{\mu\nu}x^{\prime\...
という関係が成立することである。
もともとローレンツ変換を求める時においた要請1.は&mimetex(...
この量&mimetex(-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2);あるいは&mimetex...
４次元的な距離の自乗を不変にする変換を（３次元的な回転や...
#ref(hiroilorentz.png)
狭い意味のローレンツ変換は「boost」と呼ばれることもある。
次の図は、(x,y)面において&mimetex(x^2+y^2=);一定となる線...
#ref(相対論2007年度第10回/rotation4.png)
ローレンツ変換によって保存される量は３次元的な意味での長...
#mimetex( ds^2 =-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)
として、４次元的な微小長さ（「線素」と呼ぶ）を定義する。
#ref(相対論2007年度第10回/tsn.png)
&mimetex(ds^2);はいろんな符号がありえる。符号によって
|&mimetex(ds^2>0); |&mimetex((cdt)^2 < {dx^2+dy^2+dz^2});...
|&mimetex(ds^2=0); |&mimetex((cdt)^2 = {dx^2+dy^2+dz^2});...
|&mimetex(ds^2<0); |&mimetex((cdt)^2 > {dx^2+dy^2+dz^2});...
のように４次元距離を分類する。「ヌル的」は「光的(light-li...
&color(Red){余談ながら。芸術にはtimelikeなものとspacelike...
本によって、上の式を&mimetex(ds^2 = c^2 dt^2 -dx^2 -dy^2 ...
#ref(相対論2007年度第10回/senso.png)
このようにして距離が定義された空間をミンコフスキー(Minkow...
ちなみに、普通の空間、すなわち距離が
#mimetex( ds^2 = dx^2 +dy^2 + dz^2)
で定義された空間は「ユークリッド空間」（正確には「３次元...
#ref(相対論2007年度第10回/tanshuku4.png)
４次元的な考え方と言っても内容は変わっていない。アインシ...
この「４次元的距離」という考え方をすると、ローレンツ短縮...
次に、棒に対して動いている人を考える。同時の相対性により...
水平矢印と斜め矢印は、グラフ上の見た目では斜めの方が長く...
ウラシマ効果は、動いている方が経過する時間が短いという効...
#ref(相対論2007年度第10回/urashima4.png)
グラフを見ると斜め線の方が長く見えるが、今長さの定義が４...
マイナスになるのが気になるのであれば、「時間的な距離を測...
**6.2 世界線の長さと固有時 [#ib93a584]
粒子の軌跡（４次元時空中の曲線になる）を「世界線」と呼ぶ...
#mimetex( ds^2 = -c^2 dT^2)
となる。つまり、dsはその物体が静止している座標系で測った...
#mimetex(d\tau^2 = dt^2 - {1\over c^2}(dx^2+dy^2+dz^2) )
となる((固有時の定義の符号は常にこの形。座標時tの符号に合...
#mimetex( {d\tau\over dt}=\sqrt{1-{{1\over c^2}}\left(\le...
となる。つまり、固有時の増加は座標時の増加の&mimetex(\sqr...
固有時は、各物体ごとに違う進み方をする。上の式からわかる...
我々の知っている粒子の世界線はtime-likeであるかnull-like...
世界線がnull-likeになると、固有時の変化&mimetex(d\tau);は...
----
''[問い6-1]''
半径R、角速度ωで等速円運動している物体がある。座標時では...
----
**6.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習 [#z3...
次の節で４次元時空内でのベクトルを考える。ローレンツ変換...
３次元の座標&mimetex(x^i(i=1,2,3));を回転させる座標変換は、
#mimetex( \left(\begin{array}{c} x^{\prime1}\\x^{\prime2...
のように行列で書ける。
#ref(相対論2007年度第11回/rotVec.png)
これをテンソルで書けば&mimetex(x^{\prime i}= A^{i}_{~j}x^...
このように座標系が回転した時、３次元空間のベクトル&mimete...
#mimetex( \left(\begin{array}{c} V^{\prime1}\\V^{\prime2...
(テンソルで書けば&mimetex(V^{\prime i}= A^{i}_{~j} V^j); ...
#mimetex(\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^2_{~1} &A^3_...
&aname(AijAij);
RIGHT:(Aijの性質)
からわかる。この式をテンソルで書けば&mimetex(A^i_{~j}A^i_...
また、回転の行列ならばこのような性質を持っていることは、...
#ref(相対論2007年度第11回/Amat.png)
&mimetex(\vec v_i=\left(\begin{array}{c} A^1_{~i}\\A^2_{~...
&mimetex(\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij});が成立するこ...
*学生の感想・コメントから [#z4b0cbf7]
&color(Green){世界線をグラフで書いたときに静止と動いてい...
&color(Red){ミンコフスキー的考え方ができてますね};
&color(Green){光は光速以上の速度で進めないんですか？ 超...
&color(Red){光は常に光速で進みます。光速でしか進めません...
&color(Green){美術は空間的と言ってましたが、超光速？};
&color(Red){絵画を考えると、空間的な広がりを持って存在し...
&color(Green){行列で忘れていることが多い（多数）};
&color(Red){こういうところで使うために線形代数や物理数学...
&color(Green){光速の99％の宇宙船は９光年先の星に1.26年で...
&color(Red){計算してみると1.2696…なので、1.27年というべき...
&color(Green){３次元の回転行列で、変換した後もその座標軸...
&color(Red){はい。使えます。それを来週やります。行列の形...
&color(Green){光は質量がないということでしたが、光が重力...
&color(Red){質量がないということと「重力の影響を受けない...
&color(Green){ロケットで宇宙に行って、しばらく止まって地...
&color(Red){そりゃ、ロケットが止まって地球が回る時間が充...
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*第６章 ミンコフスキー空間 [#w831852c]
ここまで学習した相対論的な考え方は「ミンコフスキー空間」...
１次元＋空間３次元の時空間」での幾何学としてまとめなおす...
の章でここまでの結果を``４次元的な視点''から考え直そう。
**6.1 ４次元の内積 [#g21d3fb9]
ここまででわかった大事なことはローレンツ変換によって移り...
系(ct,x,y,z)と(ct',x',y',z')の間に、
#mimetex( -(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2= -(ct')^2 + (x')^2 + (...
&aname(lorentzinv);
あるいは
#mimetex(\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu=\eta_{\mu\nu}x^{\prime\...
という関係が成立することである。
もともとローレンツ変換を求める時においた要請1.は&mimetex(...
この量&mimetex(-(ct)^2 + x^2 + y^2 +z^2);あるいは&mimetex...
４次元的な距離の自乗を不変にする変換を（３次元的な回転や...
#ref(hiroilorentz.png)
狭い意味のローレンツ変換は「boost」と呼ばれることもある。
次の図は、(x,y)面において&mimetex(x^2+y^2=);一定となる線...
#ref(相対論2007年度第10回/rotation4.png)
ローレンツ変換によって保存される量は３次元的な意味での長...
#mimetex( ds^2 =-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)
として、４次元的な微小長さ（「線素」と呼ぶ）を定義する。
#ref(相対論2007年度第10回/tsn.png)
&mimetex(ds^2);はいろんな符号がありえる。符号によって
|&mimetex(ds^2>0); |&mimetex((cdt)^2 < {dx^2+dy^2+dz^2});...
|&mimetex(ds^2=0); |&mimetex((cdt)^2 = {dx^2+dy^2+dz^2});...
|&mimetex(ds^2<0); |&mimetex((cdt)^2 > {dx^2+dy^2+dz^2});...
のように４次元距離を分類する。「ヌル的」は「光的(light-li...
&color(Red){余談ながら。芸術にはtimelikeなものとspacelike...
本によって、上の式を&mimetex(ds^2 = c^2 dt^2 -dx^2 -dy^2 ...
#ref(相対論2007年度第10回/senso.png)
このようにして距離が定義された空間をミンコフスキー(Minkow...
ちなみに、普通の空間、すなわち距離が
#mimetex( ds^2 = dx^2 +dy^2 + dz^2)
で定義された空間は「ユークリッド空間」（正確には「３次元...
#ref(相対論2007年度第10回/tanshuku4.png)
４次元的な考え方と言っても内容は変わっていない。アインシ...
この「４次元的距離」という考え方をすると、ローレンツ短縮...
次に、棒に対して動いている人を考える。同時の相対性により...
水平矢印と斜め矢印は、グラフ上の見た目では斜めの方が長く...
ウラシマ効果は、動いている方が経過する時間が短いという効...
#ref(相対論2007年度第10回/urashima4.png)
グラフを見ると斜め線の方が長く見えるが、今長さの定義が４...
マイナスになるのが気になるのであれば、「時間的な距離を測...
**6.2 世界線の長さと固有時 [#ib93a584]
粒子の軌跡（４次元時空中の曲線になる）を「世界線」と呼ぶ...
#mimetex( ds^2 = -c^2 dT^2)
となる。つまり、dsはその物体が静止している座標系で測った...
#mimetex(d\tau^2 = dt^2 - {1\over c^2}(dx^2+dy^2+dz^2) )
となる((固有時の定義の符号は常にこの形。座標時tの符号に合...
#mimetex( {d\tau\over dt}=\sqrt{1-{{1\over c^2}}\left(\le...
となる。つまり、固有時の増加は座標時の増加の&mimetex(\sqr...
固有時は、各物体ごとに違う進み方をする。上の式からわかる...
我々の知っている粒子の世界線はtime-likeであるかnull-like...
世界線がnull-likeになると、固有時の変化&mimetex(d\tau);は...
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''[問い6-1]''
半径R、角速度ωで等速円運動している物体がある。座標時では...
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**6.3 ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習 [#z3...
次の節で４次元時空内でのベクトルを考える。ローレンツ変換...
３次元の座標&mimetex(x^i(i=1,2,3));を回転させる座標変換は、
#mimetex( \left(\begin{array}{c} x^{\prime1}\\x^{\prime2...
のように行列で書ける。
#ref(相対論2007年度第11回/rotVec.png)
これをテンソルで書けば&mimetex(x^{\prime i}= A^{i}_{~j}x^...
このように座標系が回転した時、３次元空間のベクトル&mimete...
#mimetex( \left(\begin{array}{c} V^{\prime1}\\V^{\prime2...
(テンソルで書けば&mimetex(V^{\prime i}= A^{i}_{~j} V^j); ...
#mimetex(\left(\begin{array}{ccc} A^1_{~1}&A^2_{~1} &A^3_...
&aname(AijAij);
RIGHT:(Aijの性質)
からわかる。この式をテンソルで書けば&mimetex(A^i_{~j}A^i_...
また、回転の行列ならばこのような性質を持っていることは、...
#ref(相対論2007年度第11回/Amat.png)
&mimetex(\vec v_i=\left(\begin{array}{c} A^1_{~i}\\A^2_{~...
&mimetex(\vec v_i\cdot\vec v_j=\delta_{ij});が成立するこ...
*学生の感想・コメントから [#z4b0cbf7]
&color(Green){世界線をグラフで書いたときに静止と動いてい...
&color(Red){ミンコフスキー的考え方ができてますね};
&color(Green){光は光速以上の速度で進めないんですか？ 超...
&color(Red){光は常に光速で進みます。光速でしか進めません...
&color(Green){美術は空間的と言ってましたが、超光速？};
&color(Red){絵画を考えると、空間的な広がりを持って存在し...
&color(Green){行列で忘れていることが多い（多数）};
&color(Red){こういうところで使うために線形代数や物理数学...
&color(Green){光速の99％の宇宙船は９光年先の星に1.26年で...
&color(Red){計算してみると1.2696…なので、1.27年というべき...
&color(Green){３次元の回転行列で、変換した後もその座標軸...
&color(Red){はい。使えます。それを来週やります。行列の形...
&color(Green){光は質量がないということでしたが、光が重力...
&color(Red){質量がないということと「重力の影響を受けない...
&color(Green){ロケットで宇宙に行って、しばらく止まって地...
&color(Red){そりゃ、ロケットが止まって地球が回る時間が充...
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