相対論2009年度第11回
をテンプレートにして作成
[
トップ
] [
新規
|
一覧
|
検索
|
最終更新
|
ヘルプ
|
ログイン
]
開始行:
#hr
CENTER:←[[相対論2009年度第10回]] [[目次に戻る>相対論2009...
#hr
#contents
&color(Red){以下の部分を話している途中に「いかに行列が計...
#mimetex(\left(\begin{array}{c}A'_x\\A'_y\\A'_z\end{array...
&color(Red){（&mimetex({\bf M});は行列）と、};
#mimetex(\left(\begin{array}{c}B'_x\\B'_y\\B'_z\end{array...
&color(Red){という変換が内積&mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z...
#mimetex(A'_x = M_{xx}A_x+M_{xy}A_y+M_{xz}A_z)
#mimetex(A'_y = M_{yx}A_x+M_{yy}A_y+M_{yz}A_z)
#mimetex(A'_z = M_{zx}A_x+M_{zy}A_y+M_{zz}A_z)
&color(Red){と、};
#mimetex(B'_x = M_{xx}B_x+M_{xy}B_y+M_{xz}B_z)
#mimetex(B'_y = M_{yx}B_x+M_{yy}B_y+M_{yz}B_z)
#mimetex(B'_z = M_{zx}B_x+M_{zy}B_y+M_{zz}B_z)
&color(Red){と、};
#mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=A'_xB'_x+A'_yB'_y+A'_zB'_z)
&color(Red){から、};
#mimetex(M_{xx}M_{xx}+M_{xy}M_{yx}+M_{xz}M_{zx}=1)
#mimetex(M_{yx}M_{xx}+M_{yy}M_{yx}+M_{yz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{zx}M_{xx}+M_{zy}M_{yx}+M_{zz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{xy}M_{xy}+M_{xy}M_{yy}+M_{xz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{yy}M_{xy}+M_{yy}M_{yy}+M_{yz}M_{zy}=1)
#mimetex(M_{zy}M_{xy}+M_{zy}M_{yy}+M_{zz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{xz}M_{xz}+M_{xy}M_{yz}+M_{xz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{yz}M_{xz}+M_{yy}M_{yz}+M_{yz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{zz}M_{xz}+M_{zy}M_{yz}+M_{zz}M_{zz}=1)
&color(Red){を導け、ということになる。もちろん、やればで...
**6.4 ４元ベクトル [#mc3f00c4]
３次元のベクトル&mimetex(\vec V=(V_x,V_y,V_z));は座標変換...
同様に、４成分のベクトル&mimetex(V^\mu(\mu=0,1,2,3));を考...
座標がローレンツ変換(&mimetex(x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_...
&mimetex( \begin{array}{rlcrl} ct'=&\gamma(ct-\beta x) &...
このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後...
この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように&mimetex(V^...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^...
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がロ...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_...
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた&mimete...
このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時には&mimete...
#mimetex( W_\mu = \eta_{\mu\nu}W^\nu)
という量を定義する（ここから、上付きの添字を持つベクトル&...
&mimetex(\eta_{\mu\nu});の逆行列を&mimetex(\eta^{\mu\nu})...
&mimetex( \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^{\nu});...
ということである（注：&mimetex(\eta_{\mu\nu});と&mimetex(...
#mimetex( W^\mu = \eta^{\mu\nu}W_\nu)
も成立する。つまり添字はηを使って上げたり下げたりできる。...
共変ベクトルのローレンツ変換は、
#mimetex( W'_\mu = \eta_{\mu\nu} W^{\prime \nu} = \eta_{\...
となるので、その変換行列は&mimetex(\eta_{\mu\nu} \alpha^{...
#mimetex( \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\la...
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換は&...
共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの...
また、
&mimetex(\eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lam...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta...
RIGHT:(ααδの式)&aname(alphaalphadelta);
ということもわかる。これは、行列&mimetex(\alpha^\mu_{~\rh...
座標と同じ変換をする方が''「反」''変で、少し違う変換をす...
まず、微分のchain ruleを使って計算すると、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}={\partia...
のように微分演算子が変換することがわかる。一方、ここで現...
#mimetex( {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\nu}= {...
という行列の逆行列である。つまり、
&mimetex( {\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}} {\...
である。これと([[ααδの式>#alphaalphadelta]])を見比べると...
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\...
が成立するのである。これは微分演算子が共変ベクトルである...
反変ベクトル&mimetex(A^\mu);と共変ベクトル&mimetex(B_\mu)...
#mimetex( (A')^\mu(B')_\mu = A^\nu \underbrace{\alpha^\mu...
である。つまり、反変（上付き）添字と共変（下付き）添字が...
なお、&mimetex(C_{\mu\nu},A^{\rho\lambda\tau},D^\tau_{~\s...
複数個の添字のあるテンソルは、その添字の一個一個にαがかか...
例えば
#mimetex( (D')^{\tau}_{\sigma\mu\nu}= \alpha^\tau_{~\tau'...
のように変換される。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu})...
&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});がローレンツ変換で不変である...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
&aname(deltaalphaalpha);
RIGHT:(δααの式)
と座標変換される。この式を([[ααδの式>#alphaalphadelta]])...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
が証明される。
なお、このことからも、&mimetex({\partial\over \partial x^...
&mimetex({\partial \over \partial x^\mu} x^\nu=\delta_\mu...
&mimetex(x^\nu);が反変ベクトルなのだから、それとかけて&mi...
**6.5 章末演習問題 [#i5660b29]
''[演習問題6-1]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gam...
+ &mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});を求めよ。
+ &mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \del...
+ これによって微分演算子&mimetex(\partial_\mu=\left({\par...
+ 変換の後も&mimetex({\partial_\mu}x^\nu=\delta^\nu_{~\mu...
''[演習問題6-2]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1&0 ...
*第７章 相対論的力学 [#wc3c1e5c]
**7.1 不変性と共変性 [#v605ec9a]
すでに述べたように、物理においては「座標系によらない量」...
ある物理量が「ローレンツ変換に対して不変である」というこ...
----
CENTER:スカラーの変換性
#mimetex( \phi(x)=\phi(x'))
----
という関係を持つ、つまり座標系を変えても同じ値であること...
不変性と同時に重要な概念が「共変性」である。ある方程式が...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}A^\nu= \alpha^\mu_{~\nu}B^\nu)
のように、左辺と右辺が同じ変換をして、結局は&mimetex((A')...
たとえば、&mimetex(E^\mu=F^{\mu\nu}G_\nu);という形の方程...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}\alp...
となるが、すでに述べたように、
&mimetex(\alpha^\nu_{~\lambda}\alpha_{\nu}^{~\sigma}=\del...
いう関係があるので、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}F^{\...
となる（「つぶれている」添字であるμに関しては変換を受けな...
結局、左辺と右辺で共変ベクトル（下付き）や反変ベクトル（...
たとえば
#mimetex( A_\mu=B^\mu)
のような式には共変性がない。たまたまある座標系で成立して...
物理法則は座標系によらず成立すべきであるから、当然ながら...
実はニュートンの運動方程式&mimetex(\vec F=m{d^2 \vec x\ov...
以下で、ニュートン力学をローレンツ変換にたいして共変にな...
**7.2 ニュートン力学を相対論的に再構成する [#zcdc40a0]
ここまでの流れを整理しよう。
| |ガリレイ変換 |ローレンツ変換 |実験的検証|
|ニュートン力学(非相対論的) | ○|× | 19世紀まで○ |
|ヘルツの方程式(非相対論的)|○|× | ×|
|マックスウェル方程式(相対論的)| ×|○ | ○|
|相対論的力学？|× |○ |○ |
相対性原理（絶対空間は存在しないということ）を一つの原理...
そこでもう一度元にもどって考えると、そもそも相対性原理が...
そこで、どのようにして相対論的力学を作るか、その概要を述...
#mimetex( {dp^i\over dt}=f^i)
という形をしている。&mimetex(p^i);は運動量で、具体的には&...
----
CENTER:''相対論的力学を作る方針''
+ 座標時間による微分&mimetex({d\over dt});は全て固有時微...
+ ３次元ベクトル&mimetex(x^i=(x(t),y(t),z(t)));で表されて...
+ 方程式の両辺はローレンツ変換した時に同じように変換され...
----
という方針で相対論的力学を作っていこう。
固有時τと座標時tの微分は物体が静止している時には等しい(&m...
**7.3 ４元速度 [#sef1b69a]
まず、ニュートン力学における３次元速度&mimetex({dx^i\over...
物体の４元速度の自乗を計算すると、
#mimetex(\left(-c^2\left({dt\over d\tau}\right)^2+\left({...
&aname(fournorm);
となる。つまり、４元速度は常に時間的（自乗がマイナスにな...
(４元速度の自乗)=（空間的速度の自乗）-（時間的速度の自乗）
という形になっているので、空間的方向の速度が速くなると時...
「時間方向の速度」というのは変な表現だが、今考えている「...
*学生の感想・コメントから [#hc88f07e]
&color(Green){行列の重要性がよくわかりました(複数)。};
&color(Red){使いはじめは面倒に思えても、慣れるとそれなし...
&color(Green){一般相対論の集中の方でもちょうど反変ベクト...
&color(Red){一般相対論での反変ベクトルと共変ベクトルの区...
&color(Green){私の時計は４秒ごとに動きます。相対論関係な...
&color(Red){変な時計だなぁ。あなたの固有時だけ４秒刻みで...
&color(Green){「スカラーは不変量である」というスカラーの...
&color(Red){分野や使いどころが違うと、言葉の意味もいろい...
&color(Green){これから力学がどのように変わっていくのか楽...
&color(Red){来週をお楽しみに。};
&color(Green){運動方程式がガリレイ変換で共変というのは具...
&color(Red){&mimetex(\vec F=m{d^2\vec x\over dt^2});で、x...
終了行:
#hr
CENTER:←[[相対論2009年度第10回]] [[目次に戻る>相対論2009...
#hr
#contents
&color(Red){以下の部分を話している途中に「いかに行列が計...
#mimetex(\left(\begin{array}{c}A'_x\\A'_y\\A'_z\end{array...
&color(Red){（&mimetex({\bf M});は行列）と、};
#mimetex(\left(\begin{array}{c}B'_x\\B'_y\\B'_z\end{array...
&color(Red){という変換が内積&mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z...
#mimetex(A'_x = M_{xx}A_x+M_{xy}A_y+M_{xz}A_z)
#mimetex(A'_y = M_{yx}A_x+M_{yy}A_y+M_{yz}A_z)
#mimetex(A'_z = M_{zx}A_x+M_{zy}A_y+M_{zz}A_z)
&color(Red){と、};
#mimetex(B'_x = M_{xx}B_x+M_{xy}B_y+M_{xz}B_z)
#mimetex(B'_y = M_{yx}B_x+M_{yy}B_y+M_{yz}B_z)
#mimetex(B'_z = M_{zx}B_x+M_{zy}B_y+M_{zz}B_z)
&color(Red){と、};
#mimetex(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=A'_xB'_x+A'_yB'_y+A'_zB'_z)
&color(Red){から、};
#mimetex(M_{xx}M_{xx}+M_{xy}M_{yx}+M_{xz}M_{zx}=1)
#mimetex(M_{yx}M_{xx}+M_{yy}M_{yx}+M_{yz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{zx}M_{xx}+M_{zy}M_{yx}+M_{zz}M_{zx}=0)
#mimetex(M_{xy}M_{xy}+M_{xy}M_{yy}+M_{xz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{yy}M_{xy}+M_{yy}M_{yy}+M_{yz}M_{zy}=1)
#mimetex(M_{zy}M_{xy}+M_{zy}M_{yy}+M_{zz}M_{zy}=0)
#mimetex(M_{xz}M_{xz}+M_{xy}M_{yz}+M_{xz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{yz}M_{xz}+M_{yy}M_{yz}+M_{yz}M_{zz}=0)
#mimetex(M_{zz}M_{xz}+M_{zy}M_{yz}+M_{zz}M_{zz}=1)
&color(Red){を導け、ということになる。もちろん、やればで...
**6.4 ４元ベクトル [#mc3f00c4]
３次元のベクトル&mimetex(\vec V=(V_x,V_y,V_z));は座標変換...
同様に、４成分のベクトル&mimetex(V^\mu(\mu=0,1,2,3));を考...
座標がローレンツ変換(&mimetex(x^{\prime\mu}=\alpha^{\mu}_...
&mimetex( \begin{array}{rlcrl} ct'=&\gamma(ct-\beta x) &...
このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後...
この二つのベクトルの内積を３次元でと同じように&mimetex(V^...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu=-V^0W^0 + V^1W^1+V^2W^...
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がロ...
#mimetex( \eta_{\mu\nu}V^{\prime\mu} W^{\prime\nu}= \eta_...
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られた&mimete...
このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時には&mimete...
#mimetex( W_\mu = \eta_{\mu\nu}W^\nu)
という量を定義する（ここから、上付きの添字を持つベクトル&...
&mimetex(\eta_{\mu\nu});の逆行列を&mimetex(\eta^{\mu\nu})...
&mimetex( \eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}=\delta_\mu^{\nu});...
ということである（注：&mimetex(\eta_{\mu\nu});と&mimetex(...
#mimetex( W^\mu = \eta^{\mu\nu}W_\nu)
も成立する。つまり添字はηを使って上げたり下げたりできる。...
共変ベクトルのローレンツ変換は、
#mimetex( W'_\mu = \eta_{\mu\nu} W^{\prime \nu} = \eta_{\...
となるので、その変換行列は&mimetex(\eta_{\mu\nu} \alpha^{...
#mimetex( \eta_{\mu\nu} \alpha^{\nu}_{~\rho}\eta^{\rho\la...
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換は&...
共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの...
また、
&mimetex(\eta_{\mu\nu}\alpha^\mu_{~\rho}\alpha^\nu_{~\lam...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \delta...
RIGHT:(ααδの式)&aname(alphaalphadelta);
ということもわかる。これは、行列&mimetex(\alpha^\mu_{~\rh...
座標と同じ変換をする方が''「反」''変で、少し違う変換をす...
まず、微分のchain ruleを使って計算すると、
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}={\partia...
のように微分演算子が変換することがわかる。一方、ここで現...
#mimetex( {\partial x^{\prime\mu}\over \partial x^\nu}= {...
という行列の逆行列である。つまり、
&mimetex( {\partial x^\nu\over \partial x^{\prime\mu}} {\...
である。これと([[ααδの式>#alphaalphadelta]])を見比べると...
#mimetex( {\partial\over \partial x^{\prime\mu}}=\alpha_\...
が成立するのである。これは微分演算子が共変ベクトルである...
反変ベクトル&mimetex(A^\mu);と共変ベクトル&mimetex(B_\mu)...
#mimetex( (A')^\mu(B')_\mu = A^\nu \underbrace{\alpha^\mu...
である。つまり、反変（上付き）添字と共変（下付き）添字が...
なお、&mimetex(C_{\mu\nu},A^{\rho\lambda\tau},D^\tau_{~\s...
複数個の添字のあるテンソルは、その添字の一個一個にαがかか...
例えば
#mimetex( (D')^{\tau}_{\sigma\mu\nu}= \alpha^\tau_{~\tau'...
のように変換される。&mimetex(\eta_{\mu\nu},\eta^{\mu\nu})...
&mimetex(\delta^\mu_{~\nu});がローレンツ変換で不変である...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
&aname(deltaalphaalpha);
RIGHT:(δααの式)
と座標変換される。この式を([[ααδの式>#alphaalphadelta]])...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\nu^{~\lambda}\delta^\...
が証明される。
なお、このことからも、&mimetex({\partial\over \partial x^...
&mimetex({\partial \over \partial x^\mu} x^\nu=\delta_\mu...
&mimetex(x^\nu);が反変ベクトルなのだから、それとかけて&mi...
**6.5 章末演習問題 [#i5660b29]
''[演習問題6-1]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} \gam...
+ &mimetex(\alpha_\mu^{~\nu});を求めよ。
+ &mimetex( \alpha^\mu_{~\rho}\alpha_\mu^{~\lambda}= \del...
+ これによって微分演算子&mimetex(\partial_\mu=\left({\par...
+ 変換の後も&mimetex({\partial_\mu}x^\nu=\delta^\nu_{~\mu...
''[演習問題6-2]''
&mimetex(\alpha^\mu_{~\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1&0 ...
*第７章 相対論的力学 [#wc3c1e5c]
**7.1 不変性と共変性 [#v605ec9a]
すでに述べたように、物理においては「座標系によらない量」...
ある物理量が「ローレンツ変換に対して不変である」というこ...
----
CENTER:スカラーの変換性
#mimetex( \phi(x)=\phi(x'))
----
という関係を持つ、つまり座標系を変えても同じ値であること...
不変性と同時に重要な概念が「共変性」である。ある方程式が...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}A^\nu= \alpha^\mu_{~\nu}B^\nu)
のように、左辺と右辺が同じ変換をして、結局は&mimetex((A')...
たとえば、&mimetex(E^\mu=F^{\mu\nu}G_\nu);という形の方程...
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}\alp...
となるが、すでに述べたように、
&mimetex(\alpha^\nu_{~\lambda}\alpha_{\nu}^{~\sigma}=\del...
いう関係があるので、
#mimetex( \alpha^\mu_{~\nu}E^\nu=\alpha^{\mu}_{~\rho}F^{\...
となる（「つぶれている」添字であるμに関しては変換を受けな...
結局、左辺と右辺で共変ベクトル（下付き）や反変ベクトル（...
たとえば
#mimetex( A_\mu=B^\mu)
のような式には共変性がない。たまたまある座標系で成立して...
物理法則は座標系によらず成立すべきであるから、当然ながら...
実はニュートンの運動方程式&mimetex(\vec F=m{d^2 \vec x\ov...
以下で、ニュートン力学をローレンツ変換にたいして共変にな...
**7.2 ニュートン力学を相対論的に再構成する [#zcdc40a0]
ここまでの流れを整理しよう。
| |ガリレイ変換 |ローレンツ変換 |実験的検証|
|ニュートン力学(非相対論的) | ○|× | 19世紀まで○ |
|ヘルツの方程式(非相対論的)|○|× | ×|
|マックスウェル方程式(相対論的)| ×|○ | ○|
|相対論的力学？|× |○ |○ |
相対性原理（絶対空間は存在しないということ）を一つの原理...
そこでもう一度元にもどって考えると、そもそも相対性原理が...
そこで、どのようにして相対論的力学を作るか、その概要を述...
#mimetex( {dp^i\over dt}=f^i)
という形をしている。&mimetex(p^i);は運動量で、具体的には&...
----
CENTER:''相対論的力学を作る方針''
+ 座標時間による微分&mimetex({d\over dt});は全て固有時微...
+ ３次元ベクトル&mimetex(x^i=(x(t),y(t),z(t)));で表されて...
+ 方程式の両辺はローレンツ変換した時に同じように変換され...
----
という方針で相対論的力学を作っていこう。
固有時τと座標時tの微分は物体が静止している時には等しい(&m...
**7.3 ４元速度 [#sef1b69a]
まず、ニュートン力学における３次元速度&mimetex({dx^i\over...
物体の４元速度の自乗を計算すると、
#mimetex(\left(-c^2\left({dt\over d\tau}\right)^2+\left({...
&aname(fournorm);
となる。つまり、４元速度は常に時間的（自乗がマイナスにな...
(４元速度の自乗)=（空間的速度の自乗）-（時間的速度の自乗）
という形になっているので、空間的方向の速度が速くなると時...
「時間方向の速度」というのは変な表現だが、今考えている「...
*学生の感想・コメントから [#hc88f07e]
&color(Green){行列の重要性がよくわかりました(複数)。};
&color(Red){使いはじめは面倒に思えても、慣れるとそれなし...
&color(Green){一般相対論の集中の方でもちょうど反変ベクト...
&color(Red){一般相対論での反変ベクトルと共変ベクトルの区...
&color(Green){私の時計は４秒ごとに動きます。相対論関係な...
&color(Red){変な時計だなぁ。あなたの固有時だけ４秒刻みで...
&color(Green){「スカラーは不変量である」というスカラーの...
&color(Red){分野や使いどころが違うと、言葉の意味もいろい...
&color(Green){これから力学がどのように変わっていくのか楽...
&color(Red){来週をお楽しみに。};
&color(Green){運動方程式がガリレイ変換で共変というのは具...
&color(Red){&mimetex(\vec F=m{d^2\vec x\over dt^2});で、x...
ページ名:
![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
