電磁気学2007年度第12回
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**3.4 電位（静電ポテンシャル） [#q478aeb8]
***3.4.1 位置エネルギーの微分としてのクーロン力 [#mc5949b1]
&aname(qqr);
点電荷によるクーロン力が
$$\vec F =-{\rm grad}\left({Qq\over 4\pi \varepsilon_0r}\...
とも書けることは重要である。$U={Qq\over 4\pi\varepsilon_0...
なお、電位の定義は$\vec E=-{\rm grad} V$であるが、Vに定数...
***3.4.2 電位の満たすべき方程式 [#j7469c1b]
真空中の静電気学の法則は${\rm div} E={\rho\over \varepsil...
----
CENTER:電位を使って表現する真空中の静電気学の法則
${\rm rot} \vec E=0$ → 自明（gradのrotは常に0だから）
${\rm div}\vec E={\rho\over \varepsilon_0}$ → ${\rm div...
----
となり、基本法則は${\rm div}({\rm grad} V) = {\rho\over \...
この、gradのdivという量をまじめに計算すると、${\rm grad} ...
$$ {\rm div}\left(-{\rm grad} V\right)=-\left({\partial^...
と書ける。この２階微分演算子をまとめて$\triangle\equiv{\p...
----
CENTER:静電気学におけるポアッソン方程式
$$ \triangle V=-{\rho\over \varepsilon_0}$$
----
という方程式が作られる。この式のように、$\triangle f=j$と...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ここで、点電荷による電場の電位$ V={Q\over 4\pi\varepsilon...
''【直交座標を使って】''
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$であることを使う。
$$\begin{array}{rl}{\partial^2\over \partial x^2}{1\over\...
これで${\partial^2\over \partial x^2}\left({1\over r}\rig...
$\left({\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over ...
$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{y^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/...
$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{z^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/...
$$=-{3\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{x^2+y^2+z^2\over(x^2+y^...
となり、確かに$\triangle\left({1\over r}\right)=0$が確認...
''【極座標を使って】''極座標での${\rm grad} V$は
$({\partial V\over \partial r},{1\over r}{\partial V\ove...
$$ {\rm div}\vec A={1\over r^2}{\partial \over\partial r}...
に代入すると、
$$ {\rm div}({\rm grad} V)={1\over r^2}{\partial\over \pa...
となる。これが極座標での$\triangle V$の表示である。
この表記に$V={1\over r}$を代入すると、$\theta,\phi$による...
なお、後で説明するが、上の式が成立するのは$r\neq0$の場所...
***3.4.3 ラプラシアンの物理的意味 [#raacedb8]
gradに「勾配」という意味が、divに「湧き出し」という意味が...
２次元、３次元から考えるのはたいへんなので、まずは１次元...
#ref(nikaibibun.png,,60%)
微分はそもそもグラフの傾き（勾配）という意味があり、その...
$$ {dy\over dx}=\lim_{\Delta x\to0}{y(x+\Delta x)-y(x)\o...
であった。では２階微分はというと、これを繰り返すのである...
$$\begin{array}{rl} {d^2 y\over dx^2}=&\lim_{\Delta x\to0...
という式になる。この式の分子を見ると「両サイドの和（$y(x+...
もしこのグラフの線がゴム紐のような弾力のあるものであった...
#ref(2Dlap.png)
２次元ではラプラシアンは$\triangle={\partial^2\over \part...
このグラフをゴム膜のように考えると、x方向のたわみはこの膜...
３次元でも同様で、$\triangle f(x,y,z)=0$は、x,y,zの３つの...
&color(Red){授業の後「先生は何次元までイメージできるんで...
なお、このことからラプラス方程式を満たす関数（たとえば真...
**3.5 電位の計算例 [#z429b04e]
***3.5.1 電位の重ね合わせ [#m3b2b828]
#ref(kasane4.png)
電場に関しては重ね合わせの原理が使えたが、$\vec E=-\vec\n...
電気量が$Q_1,Q_2,\cdots,Q_N$であるN個の電荷が$\vec x_1,\v...
$$\begin{array}{rl} V(\vec x)={Q_1\over 4\pi\varepsilon_...
と表せる。これのgradを取ると電場が出る。grad（$\vec\nabla...
$$-\vec\nabla V(\vec x)=-\sum_{i=1}^N \vec\nabla {Q_i\ove...
という計算になる。つまり、各電荷の電場を考えてから和をと...
すなわち、電荷密度$\rho(\vec x)$が存在する時の電位は
$$ V(\vec x)= {1\over 4\pi\varepsilon_0}\int {\rho(\vec ...
のように積分で計算できる。この式は、場所$\vec x'$にいる微...
***3.5.2 一様な帯電球 [#t71782fe]
&aname(taidenkyu);
一様な電荷密度ρで帯電した半径Rの球のつくる電位について考...
''電場から計算する''
すでにこの場合の電場は求めてある。
#math( \vec E=\cases{{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r^2}\v...
である。$\vec E$はrのみの関数であるから、Vもrのみの関数に...
#math(V=\cases{{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r}&$r>R$\cr ...
となる。これに$-\vec\nabla$をかければ上の$\vec E$になるこ...
ここで現れた定数$V_0$はr=0での電位である。電位は「微分し...
$$ \begin{array}{rl}V_0-{\rho R^2\over 6\varepsilon_0}=&{...
ということ。
#ref(EV.png)
電場と電位の概略のグラフを並べてみたのが上の図である。電...
電場から求める方法は電場が求まっていれば簡単だが、そうで...
&color(Red){で、つづけて積分で求める方法とポアッソン方程...
&color(Red){&size(28){重要なお知らせ};};
&color(Red){授業が遅れているのと、台風で休みになった分を...
&color(Red){試験は8/10の金曜日に行います。もし成績不良者...
**学生の感想・コメントから [#fe1eb257]
&color(Green){ラプラシアンの意味がわかった。};
&color(Red){ラプラシアンは電磁気以外でもお世話になる演算...
&color(Green){電位の方が計算が楽だということは、第１章や...
&color(Red){計算の内容にもよりますが、実は電位を使った方...
&color(Green){$\triangle V=0$の時、電荷から離れた場所には...
&color(Red){文字通り、そこのは電気量が存在していないとい...
&color(Green){ラプラシアンの図で、z成分はどうなっているの...
&color(Red){あの図ではz成分はないものとして考えています。...
&color(Green){真空中以外では基本法則は変わるんですか？};
&color(Red){はい。ガウスの法則が変わるし、${\rm rot}\vec ...
&color(Green){ラプラス方程式のイメージで、ゴム膜のような...
&color(Red){電位そのものですね。電場は電位というゴム膜の...
&color(Green){ラプラシアンをかけて0じゃなかったら、どこか...
&color(Red){ラプラシアンかけて0でも、たわみがある時はあり...
&color(Green){２階微分は変化の割合の変化する割合と考えて...
&color(Red){もちろん、それでいいですよ。それを図で解釈す...
&color(Green){同じ場所で２階微分はできないですか？};
&color(Red){微分というのは基本的に「この場所と、その隣の...
&color(Green){球の表面でなぜ電位がつながるのか不思議でし...
&color(Red){そうです。だから、電位がつながってないと微分...
&color(Green){ラプラス方程式とポアッソン方程式の違いって...
&color(Red){電荷がある場合がポアッソン。電荷が0の場合はラ...
&color(Green){試験勉強って何をしたらいいんでしょう？};
&color(Red){何していいのかわからないのなら、「電磁気学演...
&color(Green){（一般の聴講者の方から）８０万相当の磁気ネ...
&color(Red){ありません。科学的根拠はない「おまじない」に...
&color(Green){テストおてやわらかにお願いします。};
&color(Red){私はそのつもりなんですが採点してみると悲惨な...
&color(Green){補習やるとしたらどんな内容を何回ぐらいです...
&color(Red){授業で話したことのうち基本的なところのくりか...
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**3.4 電位（静電ポテンシャル） [#q478aeb8]
***3.4.1 位置エネルギーの微分としてのクーロン力 [#mc5949b1]
&aname(qqr);
点電荷によるクーロン力が
$$\vec F =-{\rm grad}\left({Qq\over 4\pi \varepsilon_0r}\...
とも書けることは重要である。$U={Qq\over 4\pi\varepsilon_0...
なお、電位の定義は$\vec E=-{\rm grad} V$であるが、Vに定数...
***3.4.2 電位の満たすべき方程式 [#j7469c1b]
真空中の静電気学の法則は${\rm div} E={\rho\over \varepsil...
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CENTER:電位を使って表現する真空中の静電気学の法則
${\rm rot} \vec E=0$ → 自明（gradのrotは常に0だから）
${\rm div}\vec E={\rho\over \varepsilon_0}$ → ${\rm div...
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となり、基本法則は${\rm div}({\rm grad} V) = {\rho\over \...
この、gradのdivという量をまじめに計算すると、${\rm grad} ...
$$ {\rm div}\left(-{\rm grad} V\right)=-\left({\partial^...
と書ける。この２階微分演算子をまとめて$\triangle\equiv{\p...
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CENTER:静電気学におけるポアッソン方程式
$$ \triangle V=-{\rho\over \varepsilon_0}$$
----
という方程式が作られる。この式のように、$\triangle f=j$と...
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&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ここで、点電荷による電場の電位$ V={Q\over 4\pi\varepsilon...
''【直交座標を使って】''
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$であることを使う。
$$\begin{array}{rl}{\partial^2\over \partial x^2}{1\over\...
これで${\partial^2\over \partial x^2}\left({1\over r}\rig...
$\left({\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over ...
$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{y^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/...
$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{z^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/...
$$=-{3\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{x^2+y^2+z^2\over(x^2+y^...
となり、確かに$\triangle\left({1\over r}\right)=0$が確認...
''【極座標を使って】''極座標での${\rm grad} V$は
$({\partial V\over \partial r},{1\over r}{\partial V\ove...
$$ {\rm div}\vec A={1\over r^2}{\partial \over\partial r}...
に代入すると、
$$ {\rm div}({\rm grad} V)={1\over r^2}{\partial\over \pa...
となる。これが極座標での$\triangle V$の表示である。
この表記に$V={1\over r}$を代入すると、$\theta,\phi$による...
なお、後で説明するが、上の式が成立するのは$r\neq0$の場所...
***3.4.3 ラプラシアンの物理的意味 [#raacedb8]
gradに「勾配」という意味が、divに「湧き出し」という意味が...
２次元、３次元から考えるのはたいへんなので、まずは１次元...
#ref(nikaibibun.png,,60%)
微分はそもそもグラフの傾き（勾配）という意味があり、その...
$$ {dy\over dx}=\lim_{\Delta x\to0}{y(x+\Delta x)-y(x)\o...
であった。では２階微分はというと、これを繰り返すのである...
$$\begin{array}{rl} {d^2 y\over dx^2}=&\lim_{\Delta x\to0...
という式になる。この式の分子を見ると「両サイドの和（$y(x+...
もしこのグラフの線がゴム紐のような弾力のあるものであった...
#ref(2Dlap.png)
２次元ではラプラシアンは$\triangle={\partial^2\over \part...
このグラフをゴム膜のように考えると、x方向のたわみはこの膜...
３次元でも同様で、$\triangle f(x,y,z)=0$は、x,y,zの３つの...
&color(Red){授業の後「先生は何次元までイメージできるんで...
なお、このことからラプラス方程式を満たす関数（たとえば真...
**3.5 電位の計算例 [#z429b04e]
***3.5.1 電位の重ね合わせ [#m3b2b828]
#ref(kasane4.png)
電場に関しては重ね合わせの原理が使えたが、$\vec E=-\vec\n...
電気量が$Q_1,Q_2,\cdots,Q_N$であるN個の電荷が$\vec x_1,\v...
$$\begin{array}{rl} V(\vec x)={Q_1\over 4\pi\varepsilon_...
と表せる。これのgradを取ると電場が出る。grad（$\vec\nabla...
$$-\vec\nabla V(\vec x)=-\sum_{i=1}^N \vec\nabla {Q_i\ove...
という計算になる。つまり、各電荷の電場を考えてから和をと...
すなわち、電荷密度$\rho(\vec x)$が存在する時の電位は
$$ V(\vec x)= {1\over 4\pi\varepsilon_0}\int {\rho(\vec ...
のように積分で計算できる。この式は、場所$\vec x'$にいる微...
***3.5.2 一様な帯電球 [#t71782fe]
&aname(taidenkyu);
一様な電荷密度ρで帯電した半径Rの球のつくる電位について考...
''電場から計算する''
すでにこの場合の電場は求めてある。
#math( \vec E=\cases{{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r^2}\v...
である。$\vec E$はrのみの関数であるから、Vもrのみの関数に...
#math(V=\cases{{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r}&$r>R$\cr ...
となる。これに$-\vec\nabla$をかければ上の$\vec E$になるこ...
ここで現れた定数$V_0$はr=0での電位である。電位は「微分し...
$$ \begin{array}{rl}V_0-{\rho R^2\over 6\varepsilon_0}=&{...
ということ。
#ref(EV.png)
電場と電位の概略のグラフを並べてみたのが上の図である。電...
電場から求める方法は電場が求まっていれば簡単だが、そうで...
&color(Red){で、つづけて積分で求める方法とポアッソン方程...
&color(Red){&size(28){重要なお知らせ};};
&color(Red){授業が遅れているのと、台風で休みになった分を...
&color(Red){試験は8/10の金曜日に行います。もし成績不良者...
**学生の感想・コメントから [#fe1eb257]
&color(Green){ラプラシアンの意味がわかった。};
&color(Red){ラプラシアンは電磁気以外でもお世話になる演算...
&color(Green){電位の方が計算が楽だということは、第１章や...
&color(Red){計算の内容にもよりますが、実は電位を使った方...
&color(Green){$\triangle V=0$の時、電荷から離れた場所には...
&color(Red){文字通り、そこのは電気量が存在していないとい...
&color(Green){ラプラシアンの図で、z成分はどうなっているの...
&color(Red){あの図ではz成分はないものとして考えています。...
&color(Green){真空中以外では基本法則は変わるんですか？};
&color(Red){はい。ガウスの法則が変わるし、${\rm rot}\vec ...
&color(Green){ラプラス方程式のイメージで、ゴム膜のような...
&color(Red){電位そのものですね。電場は電位というゴム膜の...
&color(Green){ラプラシアンをかけて0じゃなかったら、どこか...
&color(Red){ラプラシアンかけて0でも、たわみがある時はあり...
&color(Green){２階微分は変化の割合の変化する割合と考えて...
&color(Red){もちろん、それでいいですよ。それを図で解釈す...
&color(Green){同じ場所で２階微分はできないですか？};
&color(Red){微分というのは基本的に「この場所と、その隣の...
&color(Green){球の表面でなぜ電位がつながるのか不思議でし...
&color(Red){そうです。だから、電位がつながってないと微分...
&color(Green){ラプラス方程式とポアッソン方程式の違いって...
&color(Red){電荷がある場合がポアッソン。電荷が0の場合はラ...
&color(Green){試験勉強って何をしたらいいんでしょう？};
&color(Red){何していいのかわからないのなら、「電磁気学演...
&color(Green){（一般の聴講者の方から）８０万相当の磁気ネ...
&color(Red){ありません。科学的根拠はない「おまじない」に...
&color(Green){テストおてやわらかにお願いします。};
&color(Red){私はそのつもりなんですが採点してみると悲惨な...
&color(Green){補習やるとしたらどんな内容を何回ぐらいです...
&color(Red){授業で話したことのうち基本的なところのくりか...
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