電磁気学2007年度第13回
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CENTER:←[[第12回へ>電磁気学2007年度第12回]] [[目次に戻る...
#hr
#contents
&color(Red){前回は一様に帯電した球の作る電位を先に求めて...
''微小部分の作る電位を考えてそれを積分する''
&color(Red){ここの節については簡単な説明で済ませた。};
#ref(taidenkyu.png)
電場の時にも使った、「まず細かく分けて考える」という手法...
$$ dV = {\rho (r')^2 \sin\theta dr' d\theta d\phi\over 4\...
であるから、これを積分する。φ積分はすぐに終わって2πを出す...
$$\begin{array}{rl} V =&{\rho\over 2\varepsilon_0}\int_0...
とする。$\left[-{1\over rr'}\sqrt{r^2 +(r')^2-2rr't}\righ...
$$ V ={\rho\over \varepsilon_0}\int_0^R dr' (r')^2 dr' {...
である。
r<Rの時は積分域をわけて、
$$\begin{array}{rl} V =&{\rho\over \varepsilon_0} \left...
この結果は当然、電場から求めたものと等しい。
''ポアッソン方程式を解く''
問題が球対称なので、電位も球対称になると仮定する。ポアッ...
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right...
となる。ただし、$r>R$ではラプラス方程式
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right...
が成り立つ。こちらから解こう。
${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = 0$
RIGHT:↓両辺を積分
$r^2 {d\over dr}V(r)= C_1$
RIGHT:↓$r^2$で割り、
${d\over dr}V(r)= {C_1\over r^2}$
RIGHT:↓再び両辺を積分
$V(r)= -{C_1\over r}+ C_2$
$r=\infty$でV=0という境界条件を採用することにすれば、$C_2...
$${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = -{\rho\ov...
$$r^2 {d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r^3+C_3$$
$${d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r+{C_3\over...
$$V(r)= -{\rho\over 6\varepsilon_0}r^2-{C_3\over r}+C_4 $$
となる。原点でVが発散しないという条件から、$C_3=0$である。
後は$C_1,C_4$を求めればいいが、そのためには今もとめた二つ...
V(r)の接続条件：$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4=-{C_1...
と、
${dV\over dr}(r) $の接続条件：$-{\rho\over 3\varepsilon_0...
である。下の式から$C_1=-{\rho\over 3\varepsilon_0}R^3$と...
$$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4={\rho\over 3\varepsi...
となるから、$C_4={\rho\over 2\varepsilon_0}R^2$と求められ...
こうして得た最終結果も、もちろん他の手段で得たものに等し...
以上、３つの方法で一様な帯電球のまわりの電位を求めた。ど...
この結果において注目すべきことが一つある。それは、$r>R$を...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
この節で考えた一様な帯電球は、いったん球の外部に出てしま...
#ref(kyutaishodenka.png,,75%)
#ref(deltaF.png)
点電荷とは、この球の半径が0になった極限であると考えられる...
#math( -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\rig...
ということになる。右辺は$r\neq0$であって、r=0では発散する...
物理では「ほとんどの場所では0であるが、原点でのみ0でなく...
$$ -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\right)=...
と書いてもよい((これから公式$\triangle\left({1\over 4\pi ...
***3.5.3 無限に広い板 [#x1ae0a05]
#ref(mugennita.png)
z=-dで表現される面とz=dで表現される面を表面として持つ厚さ...
この場合、x,yに依存しない形のポテンシャルになることが対称...
いまある場所のポテンシャルがxもしくはyに依存していたとし...
そこで方程式は、
$$ {d^2\over dz^2}\phi(z)=-{1\over \varepsilon_0}\rho(z)$$
という常微分方程式の形になる。電荷分布を
#math( \rho(z)=\cases{\rho_0 & $-d < z <d$\cr0&それ以外})
とすると、領域-d<z<dでこの方程式の解は
$$\begin{array}{rl} {d\phi(z)\over dz}&= -{\rho_0\over2\...
#ref(itapot.png,,50%)
となる($C_1,C_2$は積分定数)。z=0の場所には（これまた対称...
最終的な電位のグラフは左の図の通りである。イメージとして...
電場はこのグラフの傾き×(-1)であるから、中央で0、$z>0$では...
***3.5.4 電気双極子 [#ca840300]
#ref(soukyoku.png)
実際の物質においては、正電荷、負電荷が単独で存在している...
&color(Red){余談だが、電子レンジを使って水気を含んだ物を...
電気双極子がどのような電場を作るかを考えるには、まず電気...
$$V(x,y,z)={q\over4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2...
である。
ここでは原子のような小さな物の話をしているので、以下で$d\...
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times {1\over 2d}\le...
となる。ここで$d\to0$の極限を取ると、
$$\lim_{d\to0} {1\over 2d}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+(z-d...
のように微分を使って表現できる。真ん中でマイナス符号がつ...
以上から電気双極子による電位は、
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times{z\over \left(x...
となる。最後の表現では、$x^2+y^2+z^2=r^2,z=r\cos\theta$と...
双極子による電場は、これに$-\vec\nabla$をかけて、
$$\begin{array}{rl} \vec E=& -\vec \nabla\left( {p\over4...
RIGHT:(双極子による場直交座標)&aname(soukyokudenbaxyz);
#ref(vez.png)
となる。極座標で表すならば、$\vec\nabla=\vec e_r{\partial...
$$\begin{array}{rl} \vec E=&{p\over4\pi\varepsilon_0}\lef...
RIGHT:(双極子による場極座標)&aname(soukyokudenbakyoku);
となる(言うまでもないが計算自体は極座標の方が簡単に終わる...
この二つの式([[双極子による場直交座標>#soukyokudenbaxyz]]...
ここまでは、電気双極子の電荷の配置をz軸に沿って、＋電荷が...
$$ V={\vec p\cdot\vec x\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x|^3...
である。ここで微分は$\vec\nabla(\vec p\cdot\vec x)=\vec p...
**3.5 静電場の保つエネルギー [#e0ecbb33]
***3.5.1 位置エネルギーは誰のもの？ [#ob60d5ee]
さて、[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]で計算した２...
&color(Red){この段階で「じゃあエネルギーを持っているのは...
この３つの立場のいずれも正しいとはいえ、「では、エネルギ...
電荷二つの場合、異符号でひきあっている場合にせよ、同符号...
この式を導出する前に、電場の持つエネルギー（静電エネルギ...
#ref(himo.png,,75%)
上に書いたバネの場合と同様、異符号でひっぱり合う時、その...
プラス電荷どうし、マイナス電荷どうしの反発力はどのように...
***3.5.2 電場のエネルギー---電荷と電位による表現 [#uade06...
[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]節で２個の電荷(電気...
今第３の電荷q'を無限遠からゆっくりと近づけて、Qからの距離...
#ref(V1V2.png)
結果は
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi ...
となる。これに最初からあったエネルギーである${q_1q_2\over...
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi ...
が、この３つの電荷の系の持つエネルギーである。
#ref(Vij.png)
数をどんどん増やしていこう。それぞれ$q_1,q_2,\cdots,q_N$...
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_...
ということになる。ここで、和記号からi=jが除かれていること...
$${1\over2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1\atop j\ne i}^3 {q_i q_...
$$={1\over2} \left({q_1 q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r_{12...
となる。${1\over2}$がついていて、ちょうど正しい答えとなる。
&color(Red){高校の頃からおなじみのコンデンサのエネルギー$...
この式を、少し違う表現で書いてみよう。
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_...
と書くことができる。$V_{\bar{i}}(\vec x_i)$は、場所$\vec ...
**今後の予定 [#ibc70d9e]
&color(Red){以下の日程で補講を行います。};
-８月２日（木）２限
-８月３日（金）３限
&color(Red){試験は};
-８月１０日（金）３限
&color(Red){です。};
&color(Red){&size(26){課題};:試験の前日までに、第３章の章...
**学生の感想・コメントから [#d6bfe398]
&color(Green){ごめんなさい。（これしか書いてなかった）};
&color(Red){え、何が？？};
&color(Green){最初の計算で、球対称なのでθ,φを無視できると...
&color(Red){球対称ということは、回しても（つまりθやφを変...
&color(Green){ポアッソン方程式使うと電場を求めるのって楽...
&color(Red){そうなんです。そういう意味ではもっと速く教え...
&color(Green){θ微分やφ微分を考えなくてはいけない場合もあ...
&color(Red){もちろん状況によっては。};
&color(Green){「超関数」って何ですか。};
&color(Red){関数のようなものだけど、普通の関数が満たすべ...
&color(Green){電子レンジに人が入ったらどうなりますか。};
&color(Red){死にます。なぜかというと電子レンジというのは...
&color(Green){電気双極子ってどういう場合に使うんですか？};
&color(Red){原子・分子などの作る電場を考える時なんかもで...
&color(Green){二つの電荷Q,qがあって電位V,vを作っている時...
&color(Red){いいえ。いつでもOKですよ。};
&color(Green){双極子モーメントで、p=2qdを一定にしてdを0に...
&color(Red){なります。なっていいのです、そういう定義なの...
&color(Green){双極子モーメントって結局何なんですか？};
&color(Red){定義は述べた通りです。これは、電場をあっちこ...
&color(Green){２個の電荷の時に両方でエネルギーを持ってい...
&color(Red){いえいえ。N個のうちの2個を選ぶと、その２個が...
&color(Green){力学のポテンシャルエネルギーのmghも、重力線...
&color(Red){重力の場合、空間のゆがみがその正体なので、「...
&color(Green){${1\over2}mv^2,{1\over2}kx^2,{1\over2}\vare...
&color(Red){うーん、エネルギーなので微分すると力になるん...
&color(Green){マンガで「エナジー」という言葉が出てくるん...
&color(Red){エネルギー（energy）の英語での読み方が「エナ...
&color(Green){電場がエネルギーをたくわえるなら、$E=mc^2$...
&color(Red){たいへんすばらしい質問です。実は持ちます。電...
&color(Green){qV/2+Qv/2で1/2をつけるのは、普通に計算した...
&color(Red){そうです。普通に計算すると、qVまたはQvになり...
&color(Green){授業の最後に出た$V_{\bar i}$はどういう意味...
&color(Red){あれは「i番目の電荷の作る電位を除いて計算する...
&color(Green){静電エネルギーがバネのエネルギーと同じよう...
&color(Red){力学や電磁気というのは、実にうまくできていて...
&color(Green){（エネルギーの式について）当たり前かもしれ...
&color(Red){ええそうなんです。当たり前なんだけどすごいこ...
&color(Green){期末テストは章末演習問題のような問題が出ま...
&color(Red){章末演習問題は時間をかけてじっくり解いてもら...
&color(Green){問題の数はどれくらい出ますか？};
&color(Red){実は電磁気の試験は今年始めて作るので、作って...
終了行:
#mathjax
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CENTER:←[[第12回へ>電磁気学2007年度第12回]] [[目次に戻る...
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#contents
&color(Red){前回は一様に帯電した球の作る電位を先に求めて...
''微小部分の作る電位を考えてそれを積分する''
&color(Red){ここの節については簡単な説明で済ませた。};
#ref(taidenkyu.png)
電場の時にも使った、「まず細かく分けて考える」という手法...
$$ dV = {\rho (r')^2 \sin\theta dr' d\theta d\phi\over 4\...
であるから、これを積分する。φ積分はすぐに終わって2πを出す...
$$\begin{array}{rl} V =&{\rho\over 2\varepsilon_0}\int_0...
とする。$\left[-{1\over rr'}\sqrt{r^2 +(r')^2-2rr't}\righ...
$$ V ={\rho\over \varepsilon_0}\int_0^R dr' (r')^2 dr' {...
である。
r<Rの時は積分域をわけて、
$$\begin{array}{rl} V =&{\rho\over \varepsilon_0} \left...
この結果は当然、電場から求めたものと等しい。
''ポアッソン方程式を解く''
問題が球対称なので、電位も球対称になると仮定する。ポアッ...
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right...
となる。ただし、$r>R$ではラプラス方程式
$$ {1\over r^2}{d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right...
が成り立つ。こちらから解こう。
${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = 0$
RIGHT:↓両辺を積分
$r^2 {d\over dr}V(r)= C_1$
RIGHT:↓$r^2$で割り、
${d\over dr}V(r)= {C_1\over r^2}$
RIGHT:↓再び両辺を積分
$V(r)= -{C_1\over r}+ C_2$
$r=\infty$でV=0という境界条件を採用することにすれば、$C_2...
$${d\over dr}\left(r^2 {d\over dr}V(r)\right) = -{\rho\ov...
$$r^2 {d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r^3+C_3$$
$${d\over dr}V(r)= -{\rho\over 3\varepsilon_0}r+{C_3\over...
$$V(r)= -{\rho\over 6\varepsilon_0}r^2-{C_3\over r}+C_4 $$
となる。原点でVが発散しないという条件から、$C_3=0$である。
後は$C_1,C_4$を求めればいいが、そのためには今もとめた二つ...
V(r)の接続条件：$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4=-{C_1...
と、
${dV\over dr}(r) $の接続条件：$-{\rho\over 3\varepsilon_0...
である。下の式から$C_1=-{\rho\over 3\varepsilon_0}R^3$と...
$$-{\rho\over 6\varepsilon_0}R^2+C_4={\rho\over 3\varepsi...
となるから、$C_4={\rho\over 2\varepsilon_0}R^2$と求められ...
こうして得た最終結果も、もちろん他の手段で得たものに等し...
以上、３つの方法で一様な帯電球のまわりの電位を求めた。ど...
この結果において注目すべきことが一つある。それは、$r>R$を...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
この節で考えた一様な帯電球は、いったん球の外部に出てしま...
#ref(kyutaishodenka.png,,75%)
#ref(deltaF.png)
点電荷とは、この球の半径が0になった極限であると考えられる...
#math( -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\rig...
ということになる。右辺は$r\neq0$であって、r=0では発散する...
物理では「ほとんどの場所では0であるが、原点でのみ0でなく...
$$ -\triangle \left({Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}\right)=...
と書いてもよい((これから公式$\triangle\left({1\over 4\pi ...
***3.5.3 無限に広い板 [#x1ae0a05]
#ref(mugennita.png)
z=-dで表現される面とz=dで表現される面を表面として持つ厚さ...
この場合、x,yに依存しない形のポテンシャルになることが対称...
いまある場所のポテンシャルがxもしくはyに依存していたとし...
そこで方程式は、
$$ {d^2\over dz^2}\phi(z)=-{1\over \varepsilon_0}\rho(z)$$
という常微分方程式の形になる。電荷分布を
#math( \rho(z)=\cases{\rho_0 & $-d < z <d$\cr0&それ以外})
とすると、領域-d<z<dでこの方程式の解は
$$\begin{array}{rl} {d\phi(z)\over dz}&= -{\rho_0\over2\...
#ref(itapot.png,,50%)
となる($C_1,C_2$は積分定数)。z=0の場所には（これまた対称...
最終的な電位のグラフは左の図の通りである。イメージとして...
電場はこのグラフの傾き×(-1)であるから、中央で0、$z>0$では...
***3.5.4 電気双極子 [#ca840300]
#ref(soukyoku.png)
実際の物質においては、正電荷、負電荷が単独で存在している...
&color(Red){余談だが、電子レンジを使って水気を含んだ物を...
電気双極子がどのような電場を作るかを考えるには、まず電気...
$$V(x,y,z)={q\over4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2...
である。
ここでは原子のような小さな物の話をしているので、以下で$d\...
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times {1\over 2d}\le...
となる。ここで$d\to0$の極限を取ると、
$$\lim_{d\to0} {1\over 2d}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+(z-d...
のように微分を使って表現できる。真ん中でマイナス符号がつ...
以上から電気双極子による電位は、
$$V(x,y,z)={p\over4\pi\varepsilon_0}\times{z\over \left(x...
となる。最後の表現では、$x^2+y^2+z^2=r^2,z=r\cos\theta$と...
双極子による電場は、これに$-\vec\nabla$をかけて、
$$\begin{array}{rl} \vec E=& -\vec \nabla\left( {p\over4...
RIGHT:(双極子による場直交座標)&aname(soukyokudenbaxyz);
#ref(vez.png)
となる。極座標で表すならば、$\vec\nabla=\vec e_r{\partial...
$$\begin{array}{rl} \vec E=&{p\over4\pi\varepsilon_0}\lef...
RIGHT:(双極子による場極座標)&aname(soukyokudenbakyoku);
となる(言うまでもないが計算自体は極座標の方が簡単に終わる...
この二つの式([[双極子による場直交座標>#soukyokudenbaxyz]]...
ここまでは、電気双極子の電荷の配置をz軸に沿って、＋電荷が...
$$ V={\vec p\cdot\vec x\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x|^3...
である。ここで微分は$\vec\nabla(\vec p\cdot\vec x)=\vec p...
**3.5 静電場の保つエネルギー [#e0ecbb33]
***3.5.1 位置エネルギーは誰のもの？ [#ob60d5ee]
さて、[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]で計算した２...
&color(Red){この段階で「じゃあエネルギーを持っているのは...
この３つの立場のいずれも正しいとはいえ、「では、エネルギ...
電荷二つの場合、異符号でひきあっている場合にせよ、同符号...
この式を導出する前に、電場の持つエネルギー（静電エネルギ...
#ref(himo.png,,75%)
上に書いたバネの場合と同様、異符号でひっぱり合う時、その...
プラス電荷どうし、マイナス電荷どうしの反発力はどのように...
***3.5.2 電場のエネルギー---電荷と電位による表現 [#uade06...
[[3.4.1節>電磁気学2007年度第12回#qqr]]節で２個の電荷(電気...
今第３の電荷q'を無限遠からゆっくりと近づけて、Qからの距離...
#ref(V1V2.png)
結果は
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi ...
となる。これに最初からあったエネルギーである${q_1q_2\over...
$$ {q_1q'\over 4\pi \varepsilon_0 r_1}+ {q_2q'\over 4\pi ...
が、この３つの電荷の系の持つエネルギーである。
#ref(Vij.png)
数をどんどん増やしていこう。それぞれ$q_1,q_2,\cdots,q_N$...
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_...
ということになる。ここで、和記号からi=jが除かれていること...
$${1\over2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1\atop j\ne i}^3 {q_i q_...
$$={1\over2} \left({q_1 q_2\over 4\pi \varepsilon_0 r_{12...
となる。${1\over2}$がついていて、ちょうど正しい答えとなる。
&color(Red){高校の頃からおなじみのコンデンサのエネルギー$...
この式を、少し違う表現で書いてみよう。
$${1\over2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1\atop j\ne i}^N {q_i q_...
と書くことができる。$V_{\bar{i}}(\vec x_i)$は、場所$\vec ...
**今後の予定 [#ibc70d9e]
&color(Red){以下の日程で補講を行います。};
-８月２日（木）２限
-８月３日（金）３限
&color(Red){試験は};
-８月１０日（金）３限
&color(Red){です。};
&color(Red){&size(26){課題};:試験の前日までに、第３章の章...
**学生の感想・コメントから [#d6bfe398]
&color(Green){ごめんなさい。（これしか書いてなかった）};
&color(Red){え、何が？？};
&color(Green){最初の計算で、球対称なのでθ,φを無視できると...
&color(Red){球対称ということは、回しても（つまりθやφを変...
&color(Green){ポアッソン方程式使うと電場を求めるのって楽...
&color(Red){そうなんです。そういう意味ではもっと速く教え...
&color(Green){θ微分やφ微分を考えなくてはいけない場合もあ...
&color(Red){もちろん状況によっては。};
&color(Green){「超関数」って何ですか。};
&color(Red){関数のようなものだけど、普通の関数が満たすべ...
&color(Green){電子レンジに人が入ったらどうなりますか。};
&color(Red){死にます。なぜかというと電子レンジというのは...
&color(Green){電気双極子ってどういう場合に使うんですか？};
&color(Red){原子・分子などの作る電場を考える時なんかもで...
&color(Green){二つの電荷Q,qがあって電位V,vを作っている時...
&color(Red){いいえ。いつでもOKですよ。};
&color(Green){双極子モーメントで、p=2qdを一定にしてdを0に...
&color(Red){なります。なっていいのです、そういう定義なの...
&color(Green){双極子モーメントって結局何なんですか？};
&color(Red){定義は述べた通りです。これは、電場をあっちこ...
&color(Green){２個の電荷の時に両方でエネルギーを持ってい...
&color(Red){いえいえ。N個のうちの2個を選ぶと、その２個が...
&color(Green){力学のポテンシャルエネルギーのmghも、重力線...
&color(Red){重力の場合、空間のゆがみがその正体なので、「...
&color(Green){${1\over2}mv^2,{1\over2}kx^2,{1\over2}\vare...
&color(Red){うーん、エネルギーなので微分すると力になるん...
&color(Green){マンガで「エナジー」という言葉が出てくるん...
&color(Red){エネルギー（energy）の英語での読み方が「エナ...
&color(Green){電場がエネルギーをたくわえるなら、$E=mc^2$...
&color(Red){たいへんすばらしい質問です。実は持ちます。電...
&color(Green){qV/2+Qv/2で1/2をつけるのは、普通に計算した...
&color(Red){そうです。普通に計算すると、qVまたはQvになり...
&color(Green){授業の最後に出た$V_{\bar i}$はどういう意味...
&color(Red){あれは「i番目の電荷の作る電位を除いて計算する...
&color(Green){静電エネルギーがバネのエネルギーと同じよう...
&color(Red){力学や電磁気というのは、実にうまくできていて...
&color(Green){（エネルギーの式について）当たり前かもしれ...
&color(Red){ええそうなんです。当たり前なんだけどすごいこ...
&color(Green){期末テストは章末演習問題のような問題が出ま...
&color(Red){章末演習問題は時間をかけてじっくり解いてもら...
&color(Green){問題の数はどれくらい出ますか？};
&color(Red){実は電磁気の試験は今年始めて作るので、作って...
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