電磁気学2007年度第3回
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CENTER:←[[第2回へ>電磁気学2007年度第2回]] [[目次に戻る>...
#hr
#contents
***1.1.2 ベクトルで表現するクーロンの法則 [#zafefa58]
さて、([[クーロンの法則>電磁気学2007年度第2回#Coulombone]...
$$ \vec F_{q\to Q}= {Qq\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_Q-...
RIGHT:(ベクトルで書いたクーロンの法則)&aname(vecCoulomb);
#ref(a.png)
と書くことができる。この式の真ん中の表現では、分母が$(距...
([[ベクトルで書いたクーロンの法則>#vecCoulomb]])に出てく...
#ref(vecqQ.png)
記号$\vec F_{q\to Q}$は「電荷qが電荷Qに及ぼす力」である。...
$$ \vec F_{Q\to q}= {qQ\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_q-...
のように、([[ベクトルで書いたクーロンの法則>#vecCoulomb]]...
#ref(spvec.png)
ちょうど$\vec F_{q\to Q}=-\vec F_{Q \to q}$である。すなわ...
ここで、qを原点に置く（つまり$\vec x_q=\vec 0$）。そしてQ...
$$ \vec x_Q-\vec x_q=r\vec e_r$$
と書き直せる。ただし、$\vec e_r$は、場所$(r,\theta,\phi)$...
#ref(coord0r.png)
#ref(coord0t.png)
#ref(coord0f.png)
この場合ならば、$|\vec x_Q-\vec x_q|=r$なので、
$$ \vec F_{原点にいるq\to Q}= {Qq\over 4\pi \varepsilon_0...
と書けることになる。
右の図に書いたように、ベクトルで書いた式では、同符号（$Qq...
CENTER:
#ref(qqdash.png)
**1.2 重ね合わせの原理 [#i5aa0089]
#ref(kasane.png)
#ref(kasane2.png)
前の小節の「クーロンの法則」は実験的に得られた式として認...
これを「二つの力が合成されているのだから当たり前ではない...
#ref(kasaneawase.png,,75%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
つまり、Ａによるクーロン力は、Ｂが存在していることによっ...
#ref(kasane3.png)
より一般的に重ね合わせの原理を表現しておく。今電気量qの電...
この時、電気量qの電荷が受ける力は、
$$\begin{array}{rl} \vec F_q=\sum_{i=1}^N\vec F_{Q_i\to ...
と表すことができる。もちろんこの和はベクトルの和として取...
**1.3 電場と電気力線 [#wa2e15e3]
***1.3.1 電場の定義 [#dd532666]
前節では「電荷と電荷の間に働く力」としてクーロン力を説明...
電場((「電界」と呼ぶ場合もある。英語ではelectric fieldで...
----
CENTER:''電場の定義''
ある場所に試験電荷qを置いたと仮定すると、その電荷に力$\ve...
----
別の言い方をすれば、「''電場とは、その場所に単位電荷を置...
クーロンの法則によれば、場所$\vec x$にいる電荷qが、場所$\...
q'に及ぼす力は${qq'\over4\pi\varepsilon_0|\vec x-\vec x'|...
$$\vec E(\vec x')={\vec F_{q\to q'}\over q'}= {q\over4\pi...
となる。
以上のようにして電場を定義しても、電場を定義せずにクーロ...
クーロン力に重ね合わせの原理が成立するので、クーロン力を...
----
CENTER:''電場の単位''
SI単位系での電場の単位は、$\vec F=q\vec E$からすれば$\vec...
----
***1.3.2 電気力線 [#y8cfcd05]
電場というものを視覚的に表す手段として、電気力線というも...
電気力線とは「各点各点で電場の方向を向いている線」である...
#ref(Drikisen0.png)
この性質からわかるように、電気力線は正電荷からは離れる方...
これで電気力線は電場の方向を示すことができる。では電場の...
#ref(Drikisen1.png)
たとえば、電気量Qの正電荷が一個だけある時、距離r離れたと...
ゆえに、引くべき電気力線の本数は${Q\over4\pi\varepsilon_0...
以上から、電気力線はQ[C]の電荷から${Q\over \varepsilon_0}...
#ref(ES.png,,75%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
「電気力線の密度が電場の強さ」という点をより正確に述べて...
#ref(totalrikisen.png,,75%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
点電荷のつくる電場が${1\over r^2}$に比例していたことは大...
#ref(kousa.png)
さらにもう一つ大事な法則として「電気力線は交差しない」と...
以上から、電気力線の定義ならびに性質を以下のようにまとめ...
----
CENTER:''電気力線の定義と性質''
+ その場所の電場の方向に伸びる。
+ 単位面積あたりの本数が電場の強さに等しい。
+ 正電荷で始まり、負電荷で終わる。あるいは無限遠からやっ...
+ 途中で分裂したり、合流したりすることはない。
+ 交差することはない。
+ 正電荷Q[C]から${Q\over \varepsilon_0}$だけ出る（負電荷-...
----
なお、電気力線は矢印で表現されるものの、何かが物理的に移...
***1.3.3 電気力線の力学的性質 [#ue3a81ab]
正電荷と負電荷が引き合っている時、正電荷と正電荷が反発し...
#ref(hippari.png)
#ref(hanpatsu.png)
電気力線がなるべく短くなろうとする、ということは正電荷と...
この性質は、磁場のところで出てくる磁力線と共通の性質であ...
後で出てくる「静電場の位置エネルギー」を使って考えると、...
&color(Red){ここでちょっと先走って、「これは電場にもエネ...
**1.4 いろんな電荷分布における電場の計算 [#w8086204]
ここまでは電荷が点状である場合のみを考えてきたが、以下で...
ここで、電場に関しても重ね合わせの原理が使えるということ...
***1.4.1 有限の長さの線上に広がった電荷による電場 [#a0b9e...
例題として、有限の長さの線上に均等に分布した電荷によって...
まず問題をちゃんと設定しよう。直交座標系(x,y,z)を用意し、...
z=0平面上でz軸から$r=\sqrt{x^2+y^2}$はなれた場所の電場の...
----
CENTER:''物理の常套手段：細かく区切って考えよう''
Step 1. 広い範囲に広がっているものを微小な区間に分ける。
Step 2. 微小な区間による影響を考える。微小な区間なので、...
Step 3. 全微小区間にわたって影響を足し上げる。
----
#ref(sendenka.png)
このような３つのStepを実行した結果が正しい答えになるため...
まずおおざっぱに予想しておくと、当然この単位電荷は棒から...
''(Step 1.)'' すでに述べたように、長さdzの微小部分は$\rho...
''(Step 2.)'' 試験電荷のいる位置を(x,0,0)としよう。 (0,0,...
$$ {\rho dz\over 4\pi \varepsilon_0 (x^2+z^2)}$$
である。ただし、この電場は予想される方向である真横ではな...
$$ {\rho dz\over 4\pi \varepsilon_0 (x^2+z^2)}\times{x\ov...
が断片による電場のx成分である。
''(Step 3.)'' 断片による電場を足す。足すと言うことはすな...
#ref(sensekibun.png,,50%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
結局、$\int_{-L}^L {Q\rho x \over 4\pi \varepsilon_0 (x^2...
$$\int_{-\alpha}^{\alpha} {\rho x \over 4\pi \varepsilon...
RIGHT:$1+\tan^2\theta={1\over\cos^2\theta}$を使って整理
$$={\rho \over 4\pi \varepsilon_0 x}\int_{-\alpha}^{\alph...
と計算できる。
#ref(angleAlpha.png)
もし、この直線が無限に長いのならば、$\alpha={\pi\over2}$...
&color(Red){↑を書いておいたが話さなかったので、};
&color(Green){Lが∞だとどうなるんですか？};
&color(Red){という質問が出た。Lが∞の場合は↓のように、クー...
なお、この棒に含まれている全電荷量Qは密度ρに長さ2Lをかけ...
$$ {Q \over 4\pi \varepsilon_0 xL}\sin\alpha= {Q \over 4\...
と書くこともできる。
$\sin\alpha={L\over R}$であることを考えると、${x\over L}\...
*学生の感想・コメントから [#f4302db7]
&color(Green){電場がエネルギーを持つことを始めて知りまし...
&color(Red){電場に物理的実体のあるイメージを見ることがで...
&color(Green){最後の計算はちょっと難しかった（多数）};
&color(Red){うーん、少しはしょりすぎたかな。やっている計...
&color(Green){ガウスの法則に入る時は、この法則発見までの...
&color(Red){むむっ。それはたいへんなリクエストだなぁ。で...
&color(Green){最後の積分でLを∞に持って行く時は広義積分を...
&color(Red){「広義積分」って何だっけ？？ 難しいことを言...
&color(Green){微積分も重要なんだな、と思いました。};
&color(Red){そもそも微積分はニュートンが力学を作るために...
&color(Green){有限の長さの棒を横にすると、点電荷の場合と...
&color(Red){その場合、棒の片方の電荷は近づき、反対側の電...
&color(Red){近づいた部分の電場の強くなり具合＞遠ざかった...
&color(Red){となりそうです。${1\over r^2}$のグラフを思い...
&color(Green){棒じゃなくて平面だったらどうするのでしょう...
&color(Red){それは来週やります。};
&color(Green){等しい正電荷のど真ん中にいると力が働かない...
&color(Red){確かにその場合力が働かないんですが、真ん中の...
#ref(hanareru.png)
&color(Red){だから、そーっと置けばそのままですが、ちょっ...
&color(Green){電場のエネルギーって何ですか？};
&color(Red){「何」って言われても困るなぁ。どんなものでも...
&color(Green){最後の問題は、たまっている電荷の種類が＋−混...
&color(Red){その場合は、電荷密度ρが場所によって変化する（...
&color(Green){最後の問題の解き方はこういう問題でないと使...
&color(Red){うーん、「こういう問題」ってのがどういう範囲...
&color(Green){物理作用はエネルギーを下げる方向に力を受け...
&color(Red){エネルギーというのはそうなるように定義された...
&color(Green){正電荷と負電荷が近づく時、電気力線が};
&color(Red){いえ、もし他の力がなければ、つりあいには達せ...
&color(Green){電荷が「いる」と言ってましたが、「ある」じ...
&color(Red){厳密にはそうですね。電荷は生き物じゃないから(...
&color(Green){いよいよ物理らしい計算が出てきましたが、そ...
&color(Red){なるべく例題は出すようにしますが、燃え続ける...
&color(Green){電場はエネルギーが低くなる方向へと力を出す...
&color(Red){面白い考えですが、残念ながら直接はないと思い...
&color(Green){最後、棒を∞に伸ばす話がありましたが、何か意...
&color(Red){それは来週辺りに話します。};
&color(Green){前に読んだ本の中に「本質的なものは場であり...
&color(Red){正しいです。量子力学を習って、さらにその先で...
&color(Green){電気力線は現実には存在しないのに、力学的性...
&color(Red){「存在する」の定義を「外界からの刺激に反応し...
&color(Green){正電荷Qから電気力線が${Q\over\varepsilon_0}...
&color(Red){今日やったのは点電荷の場合で考えたわけですが...
&color(Green){${Qq\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_Q-\vec ...
&color(Red){この式をもっとうまく使うような問題を入れてお...
&color(Green){電気力線は目に見えないのに、どうやって本数...
&color(Red){数えたわけじゃなくて「これを電気力線何本とし...
&color(Green){電気力線はどのように生成されまたどのように...
&color(Red){電荷が作られた時にワンセットで一緒に生成され...
#ref(heikourikisen.png)
&color(Green){電気力線は交差しないという話でしたが、今日...
#ref(bunkai.png)
&color(Green){を見ると交差しているようにも見える。};
&color(Red){これは図の赤矢印だけが本物の電場で、青矢印は...
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***1.1.2 ベクトルで表現するクーロンの法則 [#zafefa58]
さて、([[クーロンの法則>電磁気学2007年度第2回#Coulombone]...
$$ \vec F_{q\to Q}= {Qq\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_Q-...
RIGHT:(ベクトルで書いたクーロンの法則)&aname(vecCoulomb);
#ref(a.png)
と書くことができる。この式の真ん中の表現では、分母が$(距...
([[ベクトルで書いたクーロンの法則>#vecCoulomb]])に出てく...
#ref(vecqQ.png)
記号$\vec F_{q\to Q}$は「電荷qが電荷Qに及ぼす力」である。...
$$ \vec F_{Q\to q}= {qQ\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_q-...
のように、([[ベクトルで書いたクーロンの法則>#vecCoulomb]]...
#ref(spvec.png)
ちょうど$\vec F_{q\to Q}=-\vec F_{Q \to q}$である。すなわ...
ここで、qを原点に置く（つまり$\vec x_q=\vec 0$）。そしてQ...
$$ \vec x_Q-\vec x_q=r\vec e_r$$
と書き直せる。ただし、$\vec e_r$は、場所$(r,\theta,\phi)$...
#ref(coord0r.png)
#ref(coord0t.png)
#ref(coord0f.png)
この場合ならば、$|\vec x_Q-\vec x_q|=r$なので、
$$ \vec F_{原点にいるq\to Q}= {Qq\over 4\pi \varepsilon_0...
と書けることになる。
右の図に書いたように、ベクトルで書いた式では、同符号（$Qq...
CENTER:
#ref(qqdash.png)
**1.2 重ね合わせの原理 [#i5aa0089]
#ref(kasane.png)
#ref(kasane2.png)
前の小節の「クーロンの法則」は実験的に得られた式として認...
これを「二つの力が合成されているのだから当たり前ではない...
#ref(kasaneawase.png,,75%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
つまり、Ａによるクーロン力は、Ｂが存在していることによっ...
#ref(kasane3.png)
より一般的に重ね合わせの原理を表現しておく。今電気量qの電...
この時、電気量qの電荷が受ける力は、
$$\begin{array}{rl} \vec F_q=\sum_{i=1}^N\vec F_{Q_i\to ...
と表すことができる。もちろんこの和はベクトルの和として取...
**1.3 電場と電気力線 [#wa2e15e3]
***1.3.1 電場の定義 [#dd532666]
前節では「電荷と電荷の間に働く力」としてクーロン力を説明...
電場((「電界」と呼ぶ場合もある。英語ではelectric fieldで...
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CENTER:''電場の定義''
ある場所に試験電荷qを置いたと仮定すると、その電荷に力$\ve...
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別の言い方をすれば、「''電場とは、その場所に単位電荷を置...
クーロンの法則によれば、場所$\vec x$にいる電荷qが、場所$\...
q'に及ぼす力は${qq'\over4\pi\varepsilon_0|\vec x-\vec x'|...
$$\vec E(\vec x')={\vec F_{q\to q'}\over q'}= {q\over4\pi...
となる。
以上のようにして電場を定義しても、電場を定義せずにクーロ...
クーロン力に重ね合わせの原理が成立するので、クーロン力を...
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CENTER:''電場の単位''
SI単位系での電場の単位は、$\vec F=q\vec E$からすれば$\vec...
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***1.3.2 電気力線 [#y8cfcd05]
電場というものを視覚的に表す手段として、電気力線というも...
電気力線とは「各点各点で電場の方向を向いている線」である...
#ref(Drikisen0.png)
この性質からわかるように、電気力線は正電荷からは離れる方...
これで電気力線は電場の方向を示すことができる。では電場の...
#ref(Drikisen1.png)
たとえば、電気量Qの正電荷が一個だけある時、距離r離れたと...
ゆえに、引くべき電気力線の本数は${Q\over4\pi\varepsilon_0...
以上から、電気力線はQ[C]の電荷から${Q\over \varepsilon_0}...
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CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
「電気力線の密度が電場の強さ」という点をより正確に述べて...
#ref(totalrikisen.png,,75%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
点電荷のつくる電場が${1\over r^2}$に比例していたことは大...
#ref(kousa.png)
さらにもう一つ大事な法則として「電気力線は交差しない」と...
以上から、電気力線の定義ならびに性質を以下のようにまとめ...
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CENTER:''電気力線の定義と性質''
+ その場所の電場の方向に伸びる。
+ 単位面積あたりの本数が電場の強さに等しい。
+ 正電荷で始まり、負電荷で終わる。あるいは無限遠からやっ...
+ 途中で分裂したり、合流したりすることはない。
+ 交差することはない。
+ 正電荷Q[C]から${Q\over \varepsilon_0}$だけ出る（負電荷-...
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なお、電気力線は矢印で表現されるものの、何かが物理的に移...
***1.3.3 電気力線の力学的性質 [#ue3a81ab]
正電荷と負電荷が引き合っている時、正電荷と正電荷が反発し...
#ref(hippari.png)
#ref(hanpatsu.png)
電気力線がなるべく短くなろうとする、ということは正電荷と...
この性質は、磁場のところで出てくる磁力線と共通の性質であ...
後で出てくる「静電場の位置エネルギー」を使って考えると、...
&color(Red){ここでちょっと先走って、「これは電場にもエネ...
**1.4 いろんな電荷分布における電場の計算 [#w8086204]
ここまでは電荷が点状である場合のみを考えてきたが、以下で...
ここで、電場に関しても重ね合わせの原理が使えるということ...
***1.4.1 有限の長さの線上に広がった電荷による電場 [#a0b9e...
例題として、有限の長さの線上に均等に分布した電荷によって...
まず問題をちゃんと設定しよう。直交座標系(x,y,z)を用意し、...
z=0平面上でz軸から$r=\sqrt{x^2+y^2}$はなれた場所の電場の...
----
CENTER:''物理の常套手段：細かく区切って考えよう''
Step 1. 広い範囲に広がっているものを微小な区間に分ける。
Step 2. 微小な区間による影響を考える。微小な区間なので、...
Step 3. 全微小区間にわたって影響を足し上げる。
----
#ref(sendenka.png)
このような３つのStepを実行した結果が正しい答えになるため...
まずおおざっぱに予想しておくと、当然この単位電荷は棒から...
''(Step 1.)'' すでに述べたように、長さdzの微小部分は$\rho...
''(Step 2.)'' 試験電荷のいる位置を(x,0,0)としよう。 (0,0,...
$$ {\rho dz\over 4\pi \varepsilon_0 (x^2+z^2)}$$
である。ただし、この電場は予想される方向である真横ではな...
$$ {\rho dz\over 4\pi \varepsilon_0 (x^2+z^2)}\times{x\ov...
が断片による電場のx成分である。
''(Step 3.)'' 断片による電場を足す。足すと言うことはすな...
#ref(sensekibun.png,,50%)
CENTER:&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます};
結局、$\int_{-L}^L {Q\rho x \over 4\pi \varepsilon_0 (x^2...
$$\int_{-\alpha}^{\alpha} {\rho x \over 4\pi \varepsilon...
RIGHT:$1+\tan^2\theta={1\over\cos^2\theta}$を使って整理
$$={\rho \over 4\pi \varepsilon_0 x}\int_{-\alpha}^{\alph...
と計算できる。
#ref(angleAlpha.png)
もし、この直線が無限に長いのならば、$\alpha={\pi\over2}$...
&color(Red){↑を書いておいたが話さなかったので、};
&color(Green){Lが∞だとどうなるんですか？};
&color(Red){という質問が出た。Lが∞の場合は↓のように、クー...
なお、この棒に含まれている全電荷量Qは密度ρに長さ2Lをかけ...
$$ {Q \over 4\pi \varepsilon_0 xL}\sin\alpha= {Q \over 4\...
と書くこともできる。
$\sin\alpha={L\over R}$であることを考えると、${x\over L}\...
*学生の感想・コメントから [#f4302db7]
&color(Green){電場がエネルギーを持つことを始めて知りまし...
&color(Red){電場に物理的実体のあるイメージを見ることがで...
&color(Green){最後の計算はちょっと難しかった（多数）};
&color(Red){うーん、少しはしょりすぎたかな。やっている計...
&color(Green){ガウスの法則に入る時は、この法則発見までの...
&color(Red){むむっ。それはたいへんなリクエストだなぁ。で...
&color(Green){最後の積分でLを∞に持って行く時は広義積分を...
&color(Red){「広義積分」って何だっけ？？ 難しいことを言...
&color(Green){微積分も重要なんだな、と思いました。};
&color(Red){そもそも微積分はニュートンが力学を作るために...
&color(Green){有限の長さの棒を横にすると、点電荷の場合と...
&color(Red){その場合、棒の片方の電荷は近づき、反対側の電...
&color(Red){近づいた部分の電場の強くなり具合＞遠ざかった...
&color(Red){となりそうです。${1\over r^2}$のグラフを思い...
&color(Green){棒じゃなくて平面だったらどうするのでしょう...
&color(Red){それは来週やります。};
&color(Green){等しい正電荷のど真ん中にいると力が働かない...
&color(Red){確かにその場合力が働かないんですが、真ん中の...
#ref(hanareru.png)
&color(Red){だから、そーっと置けばそのままですが、ちょっ...
&color(Green){電場のエネルギーって何ですか？};
&color(Red){「何」って言われても困るなぁ。どんなものでも...
&color(Green){最後の問題は、たまっている電荷の種類が＋−混...
&color(Red){その場合は、電荷密度ρが場所によって変化する（...
&color(Green){最後の問題の解き方はこういう問題でないと使...
&color(Red){うーん、「こういう問題」ってのがどういう範囲...
&color(Green){物理作用はエネルギーを下げる方向に力を受け...
&color(Red){エネルギーというのはそうなるように定義された...
&color(Green){正電荷と負電荷が近づく時、電気力線が};
&color(Red){いえ、もし他の力がなければ、つりあいには達せ...
&color(Green){電荷が「いる」と言ってましたが、「ある」じ...
&color(Red){厳密にはそうですね。電荷は生き物じゃないから(...
&color(Green){いよいよ物理らしい計算が出てきましたが、そ...
&color(Red){なるべく例題は出すようにしますが、燃え続ける...
&color(Green){電場はエネルギーが低くなる方向へと力を出す...
&color(Red){面白い考えですが、残念ながら直接はないと思い...
&color(Green){最後、棒を∞に伸ばす話がありましたが、何か意...
&color(Red){それは来週辺りに話します。};
&color(Green){前に読んだ本の中に「本質的なものは場であり...
&color(Red){正しいです。量子力学を習って、さらにその先で...
&color(Green){電気力線は現実には存在しないのに、力学的性...
&color(Red){「存在する」の定義を「外界からの刺激に反応し...
&color(Green){正電荷Qから電気力線が${Q\over\varepsilon_0}...
&color(Red){今日やったのは点電荷の場合で考えたわけですが...
&color(Green){${Qq\over4\pi \varepsilon_0 |\vec x_Q-\vec ...
&color(Red){この式をもっとうまく使うような問題を入れてお...
&color(Green){電気力線は目に見えないのに、どうやって本数...
&color(Red){数えたわけじゃなくて「これを電気力線何本とし...
&color(Green){電気力線はどのように生成されまたどのように...
&color(Red){電荷が作られた時にワンセットで一緒に生成され...
#ref(heikourikisen.png)
&color(Green){電気力線は交差しないという話でしたが、今日...
#ref(bunkai.png)
&color(Green){を見ると交差しているようにも見える。};
&color(Red){これは図の赤矢印だけが本物の電場で、青矢印は...
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