電磁気学2007年度第4回
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CENTER:←[[第3回へ>電磁気学2007年度第3回]] [[目次に戻る>...
#hr
#contents
***1.4.2 円状の電荷による電場 [#u4b821e7]
&aname(enjoudenka);
#ref(enban.png)
次に、一様に帯電した円盤による電場を考えよう((念のために...
円盤を微小にわける時は、図のように２次元平面上に極座標$(r...
この微小部分は、r方向に長さdrを持ち、θ方向に長さ$rd\theta...
この微小電荷が円盤の中央上空距離zの場所（図のP点）に作る...
$${\rho r dr d\theta\over 4\pi \varepsilon_0 R^2}\times {...
という電場を積分すればよい。ここまでRと書いてきた量は実際...
$${\rho z\over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2...
という積分を行えばよい(積分と関係ない数は先に外に出した)。
この積分のうち、$d\theta$積分はなんなく終わり（被積分関数...
$${\rho z\over 2 \varepsilon_0} \int_0^{r_0} {r dr \over ...
をすればよい。この積分も$r= z\tan\phi$として考えればでき...
$${\rho z\over 2 \varepsilon_0} \int_0^{\phi_0} {z \tan\p...
となる。$1+\tan^2\phi={1\over\cos^2\phi}$、つまり${1\over...
$$ {\rho \over 2 \varepsilon_0} \int_0^{\phi_0} \sin\phi ...
図から、$\cos\phi_0={z\over \sqrt{z^2+(r_0)^2}}$である。...
$$E= {\rho \over 2 \varepsilon_0} \times{\sqrt{z^2+(r_0)...
RIGHT:(円盤による電場)
&aname(enbanE);
となった。最後の式では、$Q=\pi (r_0)^2\rho $であることを...
#ref(enbanEgraph.png)
右のグラフは$r_0$をいろいろ変化させていった時の関数${\sqr...
ここで$r_0\to\infty$の極限を取ってみよう。つまり、無限に...
現実には無限に広い平面に電荷を一様に溜めるなどということ...
なぜこのようになるのかは、ガウスの法則を学ぶと納得できる...
$r_0$が有限でzが大きいところでのこの減衰の様子は、だいた...
Eの式のうち、${\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2...
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}={\sqrt{1...
とする。ここでルートの展開公式$\sqrt{1+x}\simeq 1+{1\over...
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}={1+{1\ov...
であるから、
&color(Red){ここで、分母の$(1/2)\left({r_0/z}\right)^2$は...
&color(Red){物理では小さいものを無視することがよくあるけ...
zが大きいところでは、
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}\simeq {1...
となる。これをEの式([[円盤による電場>#enbanE]])に入れると
$$ {Q \over 2\pi \varepsilon_0 (r_0)^2} \times {\sqrt{z^2...
となって、普通の逆自乗則が出てくることになる。ただし、zが...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ここまでの計算では電場を成分で分けて考えたが、せっかくベ...
$${\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2\...
と書くことができる（この式では電場の全ての成分をいっきに...
$$-{\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2...
RIGHT:(r方向成分の式)
&aname(erseibun);
を考えることにしよう（上で考察したように、もちろんこれは0...
#ref(ers.png)
ここで、$\vec e_r$は定ベクトル((「定数」と言ったら「どこ...
$$ \int_0^{2\pi} d\theta \vec e_r =0$$
RIGHT:(r方向成分の積分)
&aname(ersekibun);
になる。図を見るとわかるように、一周積分の中で必ず逆向き...
$${\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2\...
であるが、この部分の積分は上で書いたのと同じ計算を行えば...
**1.5 立体角と電気力線 [#q9a03723]
&color(Red){このあたりは、[[立体角の概念をみせるプログラ...
#ref(rittai.png) ここで、便利な概念である立体角を紹介して...
そこで、物の見かけの大きさを、目から見た時、目の回りに仮...
立体角$\Omega$を計算するには、単位球の上での面積を計算す...
$$ \Omega = \int d\theta d\phi \sin\theta$$
RIGHT:(立体角の積分)
&aname(Omegasekibun);
という積分を行えばよい。$\sin\theta$が入る理由は、下の図...
#ref(sinthetadthetadphi.png,,50%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
目に対応する場所に電荷Qを置いたとする。そこからは電気力線...
#ref(rittaikaku1.png,,50%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
立体角を使って「一様に帯電した球体の内側では電荷は力を受...
球体の内部のある点から左右にむいた微小立体角の視野を考え...
左図のように一直線の場合はそれでいいが、右図のように斜め...
&color(Red){６月１日までに、以下の章末演習問題のうち１問...
**1.6 章末演習問題 [#l43147a9]
''[演習問題1-1]''
#ref(sendenka2.png)
[[1.4.1>電磁気学2007年度第3回#yuugennagasanosen]]節で有限...
その時の状態から、棒の位置をz軸方向に平行移動させた。棒の...
図の微小部分が点Pに作る電場は
$$ {\rho dz \over4\pi\varepsilon_0 \left(x^2+z^2\right)^{...
と書ける。
全ての電荷による電話の和を考えて（積分して）、この場合の...
電場が図の水平となす角γはαとβのちょうど中間（${\alpha+\be...
''[演習問題1-2]''図のように二つの電荷がある。この空間内の...
$$ q_1 \cos \theta_1 + q_2 \cos \theta_2=一定$$
という式が成立している。ただし、$\theta_1,\theta_2$は二つ...
#ref(2denka.png,,60%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
この式を、以下のように考えて導出せよ。
(1)図の円Aを考える。Aを通っている電気力線に沿って、Aを二...
#ref(1hikucost.png)
(2)円Aを通る電気力線の本数を、重ね合わせの原理から求めよ...
(2')その計算には、右図のように北極から角度θまでの範囲は中...
(3)円をいかに動かしても電気力線の本数が一定である、という...
''[演習問題1-3]''
[[1.4.2>#enjoudenka]]節で計算した円状の電荷による電場の式...
$$ {\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \times (点Pから円盤を...
と表現することができる。なぜこうなるのか？---理由を考察せ...
ヒント：二つの点を考察しなくてはいけない。
+電場が距離の自乗に反比例すること、一方同じ立体角を占める...
+同じ立体角に含まれている部分でも、視線に対して斜めになっ...
この二つの効果をうまく考えれば、ここに立体角が出てくる理...
''[演習問題1-4]''
#ref(kyudenka.png)
半径rの球の表面に、一様な電荷密度ρ（単位面積あたり）の電...
結果は、球の中心に全電荷が集中したのと同じ結果になる。そ...
また、z<Rの場合（つまり、球の内側）ではどうなるか？
ヒントその１：この場合、z方向以外の電場は0になるので、z方...
ヒントその２：図のRは$\sqrt{r^2+z^2 - 2rz \cos\theta}$で...
ヒントその３：微小面積に入っている微小電荷$\rho r^2 \sin\...
ヒントその４：$\int_0^\pi \sin\theta d\theta$という積分が...
''[演習問題1-5]''前問で、電荷が球面のみではなく、球全体に...
今度はρを単位体積あたりの電荷密度として計算してみよ。
&color(Red){授業ではこの後、ガウスの法則の概要を述べまし...
*学生の感想・コメントから [#i09147cd]
&color(Green){電磁気の演習書でいいのはありませんか？};
&color(Red){分厚いのを買って、できるのから順番にやってい...
&color(Green){近似の話でお金に例えたのはわかりやすかった...
&color(Red){人間、お金に例えられるのが一番実感がわくみた...
&color(Green){キャヴェンデッシュの実験で、電荷を球の中に...
&color(Red){実際の実験装置には小さな穴が空いていて、そこ...
&color(Green){宿題難しそう（多数）};
&color(Red){ちょっと難しいでしょうね。でもまあ、ちょっと...
&color(Green){立体角って結局どういう時に使うんですか？};
&color(Red){演習問題1-3とかを見てください。なかなか便利な...
&color(Green){電気力線を囲む閉曲面が電気力線と平行の場合...
&color(Red){その場所では、電気力線はその面を貫いていない...
&color(Green){宇宙全体の電荷量ってどれくらいですか？};
&color(Red){プラスとマイナスが同じだけありそうなので、足...
&color(Green){来週もまた熱く語ってください。};
&color(Red){熱く・・ですか。まぁ私は授業するといつでも熱...
&color(Green){一様に帯電させた円盤の電荷は、実際には外側...
&color(Red){球の場合も表面に偏っていきますね。同種の電荷...
&color(Green){ガウスの法則って苦手です（同様のコメント多...
&color(Red){あんなに便利な法則はそんなにないですよ！ 苦...
&color(Green){ガウスの法則はどんな状況で使えるのですか？};
&color(Red){来週実例をいろいろやりましょう。};
&color(Green){ガウスの法則で、同じ電気力線が何度も面に入...
&color(Red){来週またちゃんとした計算をやりますが、入る時...
終了行:
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CENTER:←[[第3回へ>電磁気学2007年度第3回]] [[目次に戻る>...
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#contents
***1.4.2 円状の電荷による電場 [#u4b821e7]
&aname(enjoudenka);
#ref(enban.png)
次に、一様に帯電した円盤による電場を考えよう((念のために...
円盤を微小にわける時は、図のように２次元平面上に極座標$(r...
この微小部分は、r方向に長さdrを持ち、θ方向に長さ$rd\theta...
この微小電荷が円盤の中央上空距離zの場所（図のP点）に作る...
$${\rho r dr d\theta\over 4\pi \varepsilon_0 R^2}\times {...
という電場を積分すればよい。ここまでRと書いてきた量は実際...
$${\rho z\over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2...
という積分を行えばよい(積分と関係ない数は先に外に出した)。
この積分のうち、$d\theta$積分はなんなく終わり（被積分関数...
$${\rho z\over 2 \varepsilon_0} \int_0^{r_0} {r dr \over ...
をすればよい。この積分も$r= z\tan\phi$として考えればでき...
$${\rho z\over 2 \varepsilon_0} \int_0^{\phi_0} {z \tan\p...
となる。$1+\tan^2\phi={1\over\cos^2\phi}$、つまり${1\over...
$$ {\rho \over 2 \varepsilon_0} \int_0^{\phi_0} \sin\phi ...
図から、$\cos\phi_0={z\over \sqrt{z^2+(r_0)^2}}$である。...
$$E= {\rho \over 2 \varepsilon_0} \times{\sqrt{z^2+(r_0)...
RIGHT:(円盤による電場)
&aname(enbanE);
となった。最後の式では、$Q=\pi (r_0)^2\rho $であることを...
#ref(enbanEgraph.png)
右のグラフは$r_0$をいろいろ変化させていった時の関数${\sqr...
ここで$r_0\to\infty$の極限を取ってみよう。つまり、無限に...
現実には無限に広い平面に電荷を一様に溜めるなどということ...
なぜこのようになるのかは、ガウスの法則を学ぶと納得できる...
$r_0$が有限でzが大きいところでのこの減衰の様子は、だいた...
Eの式のうち、${\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2...
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}={\sqrt{1...
とする。ここでルートの展開公式$\sqrt{1+x}\simeq 1+{1\over...
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}={1+{1\ov...
であるから、
&color(Red){ここで、分母の$(1/2)\left({r_0/z}\right)^2$は...
&color(Red){物理では小さいものを無視することがよくあるけ...
zが大きいところでは、
$$ {\sqrt{z^2+(r_0)^2}-z\over\sqrt{z^2+(r_0)^2}}\simeq {1...
となる。これをEの式([[円盤による電場>#enbanE]])に入れると
$$ {Q \over 2\pi \varepsilon_0 (r_0)^2} \times {\sqrt{z^2...
となって、普通の逆自乗則が出てくることになる。ただし、zが...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
ここまでの計算では電場を成分で分けて考えたが、せっかくベ...
$${\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2\...
と書くことができる（この式では電場の全ての成分をいっきに...
$$-{\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2...
RIGHT:(r方向成分の式)
&aname(erseibun);
を考えることにしよう（上で考察したように、もちろんこれは0...
#ref(ers.png)
ここで、$\vec e_r$は定ベクトル((「定数」と言ったら「どこ...
$$ \int_0^{2\pi} d\theta \vec e_r =0$$
RIGHT:(r方向成分の積分)
&aname(ersekibun);
になる。図を見るとわかるように、一周積分の中で必ず逆向き...
$${\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \int_0^{r_0} \int_0^{2\...
であるが、この部分の積分は上で書いたのと同じ計算を行えば...
**1.5 立体角と電気力線 [#q9a03723]
&color(Red){このあたりは、[[立体角の概念をみせるプログラ...
#ref(rittai.png) ここで、便利な概念である立体角を紹介して...
そこで、物の見かけの大きさを、目から見た時、目の回りに仮...
立体角$\Omega$を計算するには、単位球の上での面積を計算す...
$$ \Omega = \int d\theta d\phi \sin\theta$$
RIGHT:(立体角の積分)
&aname(Omegasekibun);
という積分を行えばよい。$\sin\theta$が入る理由は、下の図...
#ref(sinthetadthetadphi.png,,50%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
目に対応する場所に電荷Qを置いたとする。そこからは電気力線...
#ref(rittaikaku1.png,,50%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
立体角を使って「一様に帯電した球体の内側では電荷は力を受...
球体の内部のある点から左右にむいた微小立体角の視野を考え...
左図のように一直線の場合はそれでいいが、右図のように斜め...
&color(Red){６月１日までに、以下の章末演習問題のうち１問...
**1.6 章末演習問題 [#l43147a9]
''[演習問題1-1]''
#ref(sendenka2.png)
[[1.4.1>電磁気学2007年度第3回#yuugennagasanosen]]節で有限...
その時の状態から、棒の位置をz軸方向に平行移動させた。棒の...
図の微小部分が点Pに作る電場は
$$ {\rho dz \over4\pi\varepsilon_0 \left(x^2+z^2\right)^{...
と書ける。
全ての電荷による電話の和を考えて（積分して）、この場合の...
電場が図の水平となす角γはαとβのちょうど中間（${\alpha+\be...
''[演習問題1-2]''図のように二つの電荷がある。この空間内の...
$$ q_1 \cos \theta_1 + q_2 \cos \theta_2=一定$$
という式が成立している。ただし、$\theta_1,\theta_2$は二つ...
#ref(2denka.png,,60%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見えます。};
この式を、以下のように考えて導出せよ。
(1)図の円Aを考える。Aを通っている電気力線に沿って、Aを二...
#ref(1hikucost.png)
(2)円Aを通る電気力線の本数を、重ね合わせの原理から求めよ...
(2')その計算には、右図のように北極から角度θまでの範囲は中...
(3)円をいかに動かしても電気力線の本数が一定である、という...
''[演習問題1-3]''
[[1.4.2>#enjoudenka]]節で計算した円状の電荷による電場の式...
$$ {\rho \over 4\pi \varepsilon_0} \times (点Pから円盤を...
と表現することができる。なぜこうなるのか？---理由を考察せ...
ヒント：二つの点を考察しなくてはいけない。
+電場が距離の自乗に反比例すること、一方同じ立体角を占める...
+同じ立体角に含まれている部分でも、視線に対して斜めになっ...
この二つの効果をうまく考えれば、ここに立体角が出てくる理...
''[演習問題1-4]''
#ref(kyudenka.png)
半径rの球の表面に、一様な電荷密度ρ（単位面積あたり）の電...
結果は、球の中心に全電荷が集中したのと同じ結果になる。そ...
また、z<Rの場合（つまり、球の内側）ではどうなるか？
ヒントその１：この場合、z方向以外の電場は0になるので、z方...
ヒントその２：図のRは$\sqrt{r^2+z^2 - 2rz \cos\theta}$で...
ヒントその３：微小面積に入っている微小電荷$\rho r^2 \sin\...
ヒントその４：$\int_0^\pi \sin\theta d\theta$という積分が...
''[演習問題1-5]''前問で、電荷が球面のみではなく、球全体に...
今度はρを単位体積あたりの電荷密度として計算してみよ。
&color(Red){授業ではこの後、ガウスの法則の概要を述べまし...
*学生の感想・コメントから [#i09147cd]
&color(Green){電磁気の演習書でいいのはありませんか？};
&color(Red){分厚いのを買って、できるのから順番にやってい...
&color(Green){近似の話でお金に例えたのはわかりやすかった...
&color(Red){人間、お金に例えられるのが一番実感がわくみた...
&color(Green){キャヴェンデッシュの実験で、電荷を球の中に...
&color(Red){実際の実験装置には小さな穴が空いていて、そこ...
&color(Green){宿題難しそう（多数）};
&color(Red){ちょっと難しいでしょうね。でもまあ、ちょっと...
&color(Green){立体角って結局どういう時に使うんですか？};
&color(Red){演習問題1-3とかを見てください。なかなか便利な...
&color(Green){電気力線を囲む閉曲面が電気力線と平行の場合...
&color(Red){その場所では、電気力線はその面を貫いていない...
&color(Green){宇宙全体の電荷量ってどれくらいですか？};
&color(Red){プラスとマイナスが同じだけありそうなので、足...
&color(Green){来週もまた熱く語ってください。};
&color(Red){熱く・・ですか。まぁ私は授業するといつでも熱...
&color(Green){一様に帯電させた円盤の電荷は、実際には外側...
&color(Red){球の場合も表面に偏っていきますね。同種の電荷...
&color(Green){ガウスの法則って苦手です（同様のコメント多...
&color(Red){あんなに便利な法則はそんなにないですよ！ 苦...
&color(Green){ガウスの法則はどんな状況で使えるのですか？};
&color(Red){来週実例をいろいろやりましょう。};
&color(Green){ガウスの法則で、同じ電気力線が何度も面に入...
&color(Red){来週またちゃんとした計算をやりますが、入る時...
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