電磁気学II2007年度第12回
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**6.3 磁束密度の時間変化と電場 [#gdb934f5]
電磁誘導の法則は二つの物理現象をまとめて表現しているが、...
実験結果である$V=-{d\Phi\over dt}$を前提として、その新し...
回路が静止している場合を考える。起電力Vは回路を一周する電...
そこで、
$$ -\int_S d\vec S\cdot {\partial \vec B\over \partial t}...
という計算が成立する(($\Phi$に対する時間微分が常微分${d\o...
#ref(bishoBS.png,,60%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
あるいはストークスの定理
$$ \oint_{\partial S}d\vec x\cdot \vec A=\int_S d\vec S\c...
を使って
$$ -\int_S d\vec S\cdot {\partial \vec B\over \partial t}...
とした上で積分$\int_S d\vec S$をとっぱらってもいい((積分...
どちらにせよ、
----
CENTER:電磁誘導の法則の微分形
$${\rm rot} \vec E= -{\partial \vec B\over \partial t}$$
----
という法則が作られる。こうして時間的に変動する場合の物理...
&color(Red){ここで、Φに対する時は全微分だったものがＢに対...
この法則は磁束密度の時間変化がない場合は${\rm rot} \vec E...
&color(Red){静電場における${\rm rot} \vec E=0$はエネルギ...
***6.3.1 単極誘導 [#j388c7ad]
#ref(tankyoku.png)
ここまでで、$V=-{d\Phi\over dt}$という法則の中にローレン...
その一つが単極誘導で、ファラデーが作った世界最初の発電機...
&color(Green){ファラデーって$V=-{d\Phi\over dt}$という法...
&color(Red){そういうことになりますね。まぁいろんな実験を...
右図がその装置の概念図である。磁石の極のそばで円盤を回転...
この時、円盤の速度$\vec v$で運動している部分の自由電子に...
この起電力は$V=-{d\Phi\over dt}$と言う形で記述することは...
ここで、円盤を回転させずに磁石の方を回転させたとすると、...
&color(Red){ついでに、「磁石は止めておいて、円盤とブラシ...
&color(Red){これは流れない。なぜなら、円盤の部分でも、検...
#ref(ugokukairo2.png)
&color(Red){という回路と同じになる。};
&color(Green){でも、上と下だと下の方が磁場が強いから、下...
&color(Red){するどい質問だ！ 確かにその通りで、上の電池...
#ref(ugokukairo3.png)
&color(Red){磁力線はこんなふうに横に広がるから、右の縦線...
#ref(ugokukairo4.png)
&color(Red){という感じ。で、弱い電池２個と強い電池１個で...
----
&color(Red){【よくある質問】''磁石がまわれば一緒に磁力線...
もともと、磁力線というのは磁場を表現するために便宜上導入...
軸対称な磁石が軸の周りにまわっているだけでは、各点各点の$...
&color(Red){そもそも、磁束密度というのは$\vec B(\vec x,t)...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
***6.3.2 時間変動する電磁場の場合の電位 [#z029467c]
静電場における${\rm rot}\vec E=0$は、電位が存在できるため...
もちろん静電場同様に考えたのでは電位は定義できない。電位...
実際、${\rm rot} \vec E= -{\partial \vec B\over \partial ...
----
CENTER:これは間違えた式！！
$$\begin{array}{rl} -{\partial ({\rm rot} A)\over \partia...
----
となってしまって矛盾する。しかしよく見ると、$\vec E=-{\rm...
----
CENTER:時間変動する電場とポテンシャルの関係
$$ \vec E=-{\rm grad} V -{\partial\vec A\over \partial t}$$
RIGHT:(電場をVとAで表した式)
&aname(EVA);
----
と定義することにすれば、
$$\begin{array}{rl} -{\partial ({\rm rot} A)\over \partia...
となって無事成立する。
つまり、電場は電位の傾きで表現される部分と、ベクトルポテ...
([[電場をVとAで表した式>#EVA]])を図形的に表現すると、
#ref(dAdt.png)
の通りである。磁束密度が増加するということは、$\vec B={\r...
}
**6.4 自己誘導・相互誘導 [#z50c98ea]
コイルに電流を流すとその内部に磁場ができる。この磁場が変...
***6.4.1 自己インダクタンスと相互インダクタンス [#f5bf74ed]
#ref(inductance.png)
あるコイルの作る磁場の磁束密度は、どの場所でもコイルを流...
$$ \Phi_1=L_1 I_1 + M_{12}I_2+M_{13}I_3+\cdots$$
のように書ける。係数$L_1,M_{12},M_{13},\cdots$はコイルの...
以上のように考えていくと、
$$\begin{array}{rl} \Phi_1&=L_1 I_1 + M_{12}I_2+M_{13}I_3...
とコイルの数だけ式ができる。i番目のコイルに発生する起電力は
$$ V_i = -{d\Phi_i\over dt}=L_i {dI_i\over dt}+M_{i1}{dI...
となる。
#ref(inductance2.png)
具体的に相互インダクタンスを計算してみよう。
電流$I_1$が場所$\vec x$につくる磁束密度を$\vec B_1(\vec x...
電流
$I_2$が流れる回路の内部を通る磁束を$\int_{I_2回路} d\vec ...
と書くと、$\vec B={\rm rot}\vec A$であることとStokesの定...
$$M_{21}I_1=\int_{I_2回路} d\vec S\cdot\vec B_1=\int_{I_2...
となる。最後の積分$\int_{I_2}$は電流$I_2$が流れているとこ...
$$ \vec A_1(\vec x)= {\mu_0I_1\over 4\pi}\int_{I_1} d\ve...
となる。これを代入すれば、
$$ M_{21}I_1={\mu_0I_1\over 4\pi}\int_{I_2} \int_{I_1} d...
となる。両辺を$I_1$で割って
$$M_{21}= {\mu_0\over 4\pi}\int_{I_2} \int_{I_1} d\vec x...
となる。面白いことにこの式を見ると、$M_{12}=M_{21}$である...
なお、自己インダクタンスについては、上で1,2としていた部分...
$$L_{11}= {\mu_0\over 4\pi}\int_{I_1} \int_{I_1} d\vec x...
と積分すればよいのだが、この計算だと$\vec x_1=\vec x'_1$...
なお、以上の計算はベクトルポテンシャルを使わずにビオ・サ...
#ref(trance.png)
相互誘導を利用して、交流の電圧を変化させることができる。...
&color(Red){このあたりの計算はざっとしか説明できなかった...
***6.4.2 同軸ケーブルの自己インダクタンス [#ie2bc4d2]
#ref(doujiku.png)
円柱状の導線と、円筒状の導線を中心軸を合わせて組み合わせ...
内部の導線の半径をa、外部の導線の内径をb、外径をcとしよう...
''r<aの時'' 内部を流れる電流が${I\over \pi a^2}\times \p...
''a<r<bの時'' 内部を流れる電流はI
''b<r<cの時'' 内部を流れる電流は$I-{I\over \pi(c^2-b^2)}...
''c<rの時''内部を流れる電流は0
である。以下では、導線が非常に細いとして、a<r<bの部分だけ...
#ref(selfCond.png)
磁束密度から磁束を計算する。この場合、磁束密度は一定でな...
$$ \Phi= \int_0^\ell dx \int_a^b dr B(r)={\mu_0 I\ell\ove...
となるから、自己インダクタンスはこれをIで割って、
$$ L={\mu_0 \ell\over 2\pi}\log \left({b\over a}\right)$$
となる（ただしこの量は長さ$\ell$あたりである）。
この自己インダクタンスにより、同軸ケーブルに流す電流を増...
*学生の感想・コメントから [#ec026459]
&color(Green){Sが変化しないと仮定して${\rm rot}\vec E=-{\...
&color(Red){BもSも変化する場合は、二つの変化によって起こ...
&color(Green){${\rm \rot}\vec E=-{\partial\vec B\over \pa...
&color(Red){正確に言うと$\vec E$の電場、ですね。後「変化...
&color(Green){発電所で作る電気が交流なのはなぜですか？};
&color(Red){交流の方が送電がしやすいのです。特に変圧が簡...
&color(Green){なぜコイルの磁束は自己インダクタンスと相互...
&color(Red){重ね合わせの原理です。自分の電流が作る磁場と...
&color(Green){単極誘導で円盤と回路のまわる速さが違ったら...
&color(Red){その場合は流れます。};
&color(Green){${\rm rot}\vec E=-{\partial\vec B\over\part...
&color(Red){宇宙は（宇宙的スケールで見れば）磁場はないに...
&color(Green){中性子を動かす時よりも陽子の方が動かしにく...
&color(Red){実際には中性子の方が質量が重いので、中性子の...
&color(Green){ローレンツ力は$q\vec v\times\vec B$ですが、...
&color(Red){二つのベクトルの外積の大きさは、二つのベクト...
&color(Green){単極誘導の装置に磁石を近づけたり遠ざけたり...
&color(Red){その場合、円盤にいわゆる「渦電流」が流れます...
&color(Green){磁石を動かして、その近くに導線がある場合で...
&color(Red){流れますよ。磁石が十分強力で十分速く動けば、...
&color(Green){磁石を動かした時に電場が発生するということ...
&color(Red){はい。磁石や電荷を動かす時には、周りに電場や...
&color(Green){磁石を回転させる時、回転する磁石の対称性が...
&color(Red){そのときはもちろん流れますが、直流じゃなく振...
&color(Green){磁石を回転させても磁束密度は変化しないとい...
&color(Red){とは限りませんよ。どっちの場合もありえます。};
&color(Green){↓のように走ると電場が見えるはずですが、その...
#ref(RunningMan.png)
&color(Red){人間から見ると↓のような電場ができることになり...
#ref(RunningMan2.png)
&color(Green){単極誘導面白い。目でみたい。};
&color(Red){ほんとですね。できたら実験してみたいところで...
&color(Green){ファラデーさんは自分で出した法則の反例を見...
&color(Red){実験してそういう答が出ちゃったらしょうがない...
&color(Green){自己誘導や相互誘導は日常でどのように使われ...
&color(Red){コイルの自己誘導の利用例は、波動論で話したラ...
終了行:
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**6.3 磁束密度の時間変化と電場 [#gdb934f5]
電磁誘導の法則は二つの物理現象をまとめて表現しているが、...
実験結果である$V=-{d\Phi\over dt}$を前提として、その新し...
回路が静止している場合を考える。起電力Vは回路を一周する電...
そこで、
$$ -\int_S d\vec S\cdot {\partial \vec B\over \partial t}...
という計算が成立する(($\Phi$に対する時間微分が常微分${d\o...
#ref(bishoBS.png,,60%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
あるいはストークスの定理
$$ \oint_{\partial S}d\vec x\cdot \vec A=\int_S d\vec S\c...
を使って
$$ -\int_S d\vec S\cdot {\partial \vec B\over \partial t}...
とした上で積分$\int_S d\vec S$をとっぱらってもいい((積分...
どちらにせよ、
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CENTER:電磁誘導の法則の微分形
$${\rm rot} \vec E= -{\partial \vec B\over \partial t}$$
----
という法則が作られる。こうして時間的に変動する場合の物理...
&color(Red){ここで、Φに対する時は全微分だったものがＢに対...
この法則は磁束密度の時間変化がない場合は${\rm rot} \vec E...
&color(Red){静電場における${\rm rot} \vec E=0$はエネルギ...
***6.3.1 単極誘導 [#j388c7ad]
#ref(tankyoku.png)
ここまでで、$V=-{d\Phi\over dt}$という法則の中にローレン...
その一つが単極誘導で、ファラデーが作った世界最初の発電機...
&color(Green){ファラデーって$V=-{d\Phi\over dt}$という法...
&color(Red){そういうことになりますね。まぁいろんな実験を...
右図がその装置の概念図である。磁石の極のそばで円盤を回転...
この時、円盤の速度$\vec v$で運動している部分の自由電子に...
この起電力は$V=-{d\Phi\over dt}$と言う形で記述することは...
ここで、円盤を回転させずに磁石の方を回転させたとすると、...
&color(Red){ついでに、「磁石は止めておいて、円盤とブラシ...
&color(Red){これは流れない。なぜなら、円盤の部分でも、検...
#ref(ugokukairo2.png)
&color(Red){という回路と同じになる。};
&color(Green){でも、上と下だと下の方が磁場が強いから、下...
&color(Red){するどい質問だ！ 確かにその通りで、上の電池...
#ref(ugokukairo3.png)
&color(Red){磁力線はこんなふうに横に広がるから、右の縦線...
#ref(ugokukairo4.png)
&color(Red){という感じ。で、弱い電池２個と強い電池１個で...
----
&color(Red){【よくある質問】''磁石がまわれば一緒に磁力線...
もともと、磁力線というのは磁場を表現するために便宜上導入...
軸対称な磁石が軸の周りにまわっているだけでは、各点各点の$...
&color(Red){そもそも、磁束密度というのは$\vec B(\vec x,t)...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
***6.3.2 時間変動する電磁場の場合の電位 [#z029467c]
静電場における${\rm rot}\vec E=0$は、電位が存在できるため...
もちろん静電場同様に考えたのでは電位は定義できない。電位...
実際、${\rm rot} \vec E= -{\partial \vec B\over \partial ...
----
CENTER:これは間違えた式！！
$$\begin{array}{rl} -{\partial ({\rm rot} A)\over \partia...
----
となってしまって矛盾する。しかしよく見ると、$\vec E=-{\rm...
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CENTER:時間変動する電場とポテンシャルの関係
$$ \vec E=-{\rm grad} V -{\partial\vec A\over \partial t}$$
RIGHT:(電場をVとAで表した式)
&aname(EVA);
----
と定義することにすれば、
$$\begin{array}{rl} -{\partial ({\rm rot} A)\over \partia...
となって無事成立する。
つまり、電場は電位の傾きで表現される部分と、ベクトルポテ...
([[電場をVとAで表した式>#EVA]])を図形的に表現すると、
#ref(dAdt.png)
の通りである。磁束密度が増加するということは、$\vec B={\r...
}
**6.4 自己誘導・相互誘導 [#z50c98ea]
コイルに電流を流すとその内部に磁場ができる。この磁場が変...
***6.4.1 自己インダクタンスと相互インダクタンス [#f5bf74ed]
#ref(inductance.png)
あるコイルの作る磁場の磁束密度は、どの場所でもコイルを流...
$$ \Phi_1=L_1 I_1 + M_{12}I_2+M_{13}I_3+\cdots$$
のように書ける。係数$L_1,M_{12},M_{13},\cdots$はコイルの...
以上のように考えていくと、
$$\begin{array}{rl} \Phi_1&=L_1 I_1 + M_{12}I_2+M_{13}I_3...
とコイルの数だけ式ができる。i番目のコイルに発生する起電力は
$$ V_i = -{d\Phi_i\over dt}=L_i {dI_i\over dt}+M_{i1}{dI...
となる。
#ref(inductance2.png)
具体的に相互インダクタンスを計算してみよう。
電流$I_1$が場所$\vec x$につくる磁束密度を$\vec B_1(\vec x...
電流
$I_2$が流れる回路の内部を通る磁束を$\int_{I_2回路} d\vec ...
と書くと、$\vec B={\rm rot}\vec A$であることとStokesの定...
$$M_{21}I_1=\int_{I_2回路} d\vec S\cdot\vec B_1=\int_{I_2...
となる。最後の積分$\int_{I_2}$は電流$I_2$が流れているとこ...
$$ \vec A_1(\vec x)= {\mu_0I_1\over 4\pi}\int_{I_1} d\ve...
となる。これを代入すれば、
$$ M_{21}I_1={\mu_0I_1\over 4\pi}\int_{I_2} \int_{I_1} d...
となる。両辺を$I_1$で割って
$$M_{21}= {\mu_0\over 4\pi}\int_{I_2} \int_{I_1} d\vec x...
となる。面白いことにこの式を見ると、$M_{12}=M_{21}$である...
なお、自己インダクタンスについては、上で1,2としていた部分...
$$L_{11}= {\mu_0\over 4\pi}\int_{I_1} \int_{I_1} d\vec x...
と積分すればよいのだが、この計算だと$\vec x_1=\vec x'_1$...
なお、以上の計算はベクトルポテンシャルを使わずにビオ・サ...
#ref(trance.png)
相互誘導を利用して、交流の電圧を変化させることができる。...
&color(Red){このあたりの計算はざっとしか説明できなかった...
***6.4.2 同軸ケーブルの自己インダクタンス [#ie2bc4d2]
#ref(doujiku.png)
円柱状の導線と、円筒状の導線を中心軸を合わせて組み合わせ...
内部の導線の半径をa、外部の導線の内径をb、外径をcとしよう...
''r<aの時'' 内部を流れる電流が${I\over \pi a^2}\times \p...
''a<r<bの時'' 内部を流れる電流はI
''b<r<cの時'' 内部を流れる電流は$I-{I\over \pi(c^2-b^2)}...
''c<rの時''内部を流れる電流は0
である。以下では、導線が非常に細いとして、a<r<bの部分だけ...
#ref(selfCond.png)
磁束密度から磁束を計算する。この場合、磁束密度は一定でな...
$$ \Phi= \int_0^\ell dx \int_a^b dr B(r)={\mu_0 I\ell\ove...
となるから、自己インダクタンスはこれをIで割って、
$$ L={\mu_0 \ell\over 2\pi}\log \left({b\over a}\right)$$
となる（ただしこの量は長さ$\ell$あたりである）。
この自己インダクタンスにより、同軸ケーブルに流す電流を増...
*学生の感想・コメントから [#ec026459]
&color(Green){Sが変化しないと仮定して${\rm rot}\vec E=-{\...
&color(Red){BもSも変化する場合は、二つの変化によって起こ...
&color(Green){${\rm \rot}\vec E=-{\partial\vec B\over \pa...
&color(Red){正確に言うと$\vec E$の電場、ですね。後「変化...
&color(Green){発電所で作る電気が交流なのはなぜですか？};
&color(Red){交流の方が送電がしやすいのです。特に変圧が簡...
&color(Green){なぜコイルの磁束は自己インダクタンスと相互...
&color(Red){重ね合わせの原理です。自分の電流が作る磁場と...
&color(Green){単極誘導で円盤と回路のまわる速さが違ったら...
&color(Red){その場合は流れます。};
&color(Green){${\rm rot}\vec E=-{\partial\vec B\over\part...
&color(Red){宇宙は（宇宙的スケールで見れば）磁場はないに...
&color(Green){中性子を動かす時よりも陽子の方が動かしにく...
&color(Red){実際には中性子の方が質量が重いので、中性子の...
&color(Green){ローレンツ力は$q\vec v\times\vec B$ですが、...
&color(Red){二つのベクトルの外積の大きさは、二つのベクト...
&color(Green){単極誘導の装置に磁石を近づけたり遠ざけたり...
&color(Red){その場合、円盤にいわゆる「渦電流」が流れます...
&color(Green){磁石を動かして、その近くに導線がある場合で...
&color(Red){流れますよ。磁石が十分強力で十分速く動けば、...
&color(Green){磁石を動かした時に電場が発生するということ...
&color(Red){はい。磁石や電荷を動かす時には、周りに電場や...
&color(Green){磁石を回転させる時、回転する磁石の対称性が...
&color(Red){そのときはもちろん流れますが、直流じゃなく振...
&color(Green){磁石を回転させても磁束密度は変化しないとい...
&color(Red){とは限りませんよ。どっちの場合もありえます。};
&color(Green){↓のように走ると電場が見えるはずですが、その...
#ref(RunningMan.png)
&color(Red){人間から見ると↓のような電場ができることになり...
#ref(RunningMan2.png)
&color(Green){単極誘導面白い。目でみたい。};
&color(Red){ほんとですね。できたら実験してみたいところで...
&color(Green){ファラデーさんは自分で出した法則の反例を見...
&color(Red){実験してそういう答が出ちゃったらしょうがない...
&color(Green){自己誘導や相互誘導は日常でどのように使われ...
&color(Red){コイルの自己誘導の利用例は、波動論で話したラ...
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