電磁気学II2007年度第13回
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CENTER:←[[第12回>電磁気学II2007年度第12回]] [[目次に戻る...
#hr
#contents
&color(Red){授業の最初に、磁性流体が磁石でスパイクのよう...
&color(Red){その後、復習をかねて「自己インダクタンスとは...
**6.5 コイルの蓄えるエネルギー [#sc2938c5]
#ref(coil.png)
自己インダクタンスLを持つコイルの両端の電位差は$L{dI\over...
$$ \int LI {dI\over dt}dt = {1\over 2}LI^2 + C$$
積分定数Cは通常0にとる。
相互インダクタンスに関係しても同じような計算ができる。相...
$$\int\left( MI_1{dI_2\over dt}+MI_2{dI_1\over dt}\right...
というエネルギーを持つことになる（積分定数は0とした）。
まとめると、
$$ {1\over 2}\sum_i L_i (I_i)^2 + {1\over 2}\sum_i\sum_{j...
RIGHT:(コイルの全エネルギー)&aname(totalcoilenergy);
となる（第２項に${1\over 2}$がついているのは、和を取ると$...
前節で説明したトランス（変圧器）の場合、電流は周期的に変...
このエネルギーの書き方は「エネルギーはコイルを流れる電流...
$$ {1\over 2}\sum_i \left(L_i (I_i)^2 + \sum_{j\neq i}M_{...
と書き直す。ここで、
$$\begin{array}{rll} \Phi_i =& \int_{回路iに囲まれた面} d...
という変形を行う。これで、&math({1\over 2}I_i\Phi_i={1\ov...
$$ {1\over 2}\int d^3 \vec x \vec j \cdot \vec A= {1\ove...
となる。ここで$\vec j={\rm rot}\vec H=\vec\nabla\times \v...
$${\rm div}(\vec V\times\vec W)=\vec V \cdot({\rm rot} \v...
を使うと、
$$\begin{array}{rl}{1\over 2}\int d^3 \vec x ({\rm rot}\...
を得る((「表面項」とは&math(\int d^3\vec x {\rm div} (な...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
このエネルギー密度が${1\over 2}\vec j\cdot\vec A$という形...
従って、上のような「電流を流す時に注ぎ込まなくてはいけな...
----
*第７章 マックスウェル方程式 [#i19c7835]
ここまで作った電磁気学の基本方程式を考えてきたが、実は最...
**7.1 変位電流 [#j9a8e39b]
***7.1.1 マックスウェルによる導入 [#v04c47df]
電磁誘導の法則は
$$ {\rm rot} \vec E=-{\partial \vec B\over \partial t}$$
と書け、アンペールの法則は
$$ {\rm rot} \vec H=\vec j$$
と書ける。また、電場と磁場に対するガウスの法則は
$$ {\rm div} \vec D=\rho,~~~~{\rm div} \vec B=0$$
であった。
1865年、マックスウェルは上の方程式が矛盾を含むことに気づ...
#ref(rotH.png)
マックスウェルが問題としたのは$ {\rm rot} \vec H=\vec j$...
この両辺の${\rm div}$を取る。特にz微分の項を図示すると以...
#ref(rotHj.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
${\rm div}$はx,y,zの３方向の微分の和であるが、そのうちz方...
#ref(rotHj2.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
&color(Red){このあたり、実際の授業ではボール紙で作った立...
rotのdivは0であるから${\rm div}({\rm rot}\vec H)=0$である...
つまり、電流密度のdivをとると、
$$ {\rm div} \vec j= -{\partial\rho\over \partial t}$$
でなくてはいけない。この式の左辺は「考えている微小体積か...
この数式上の矛盾点は、以下のような物理現象の考察にも現れ...
#ref(displaceCurrent.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
長い直線電流の一カ所をカットして、そこにコンデンサをはさ...
アンペールの法則は積分形で表現すると、「磁場$\vec H$の線...
そのため、同じループでも面積の取り方を変えると答が変わる...
&color(Red){なお、もう一つのrotが出てくる法則である${\rm ...
そこでこの法則を修正して、この状況でも適用できるようにし...
#ref(displC3.png)
極板間には確かに電流は流れていないが、そこにある電場（あ...
つまり、実際には極板間に電荷が動いているわけではないが、...
そこでマックスウェルはアンペールの法則${\rm rot}\vec H=\v...
マックスウェルは、$ {\rm rot} \vec H=\vec j$の右辺にdivを...
すなわちマックスウェルはアンペールの法則からくる方程式を
$$\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec H=& \vec j \\&\downarr...
と修正したのである。この付加項${\partial \vec D\over \par...
真空中の場合を考えて変位電流を導入しない場合の電磁気の法...
$$\begin{array}{rl}{\rm div}\vec D=0~~~~~~ & {\rm rot} \v...
となって、明らかに対称性が悪い。電場のrotに磁場の時間変化...
電磁場の基本法則は以上で完結し、
----
CENTER:マックスウェル方程式
$$\begin{array}{ll} {\rm div}\vec D=\rho&{\rm div} \vec B...
----
が電磁気学の基本法則となる((既に述べたように、これらの式...
これに、物質中での関係式である$\vec D=\varepsilon_0\vec E...
&color(Green){ローレンツ力の式はマックスウェル方程式から...
&color(Red){電磁場のエネルギーの式がちゃんと出せればそこ...
本質的な電磁場は$\vec E,\vec B$であり、$\vec D,\vec H$は...
----
CENTER:$\vec E,\vec B,\vec P,\vec M$で書いたマックスウェ...
$$ \begin{array}{ll} \varepsilon_0{\rm div}\vec E=\rho -{...
----
と書ける。$\rho-{\rm div}\vec P$は分極によって生じた電荷...
#hr
*学生の感想・コメントから [#u797725f]
&color(Green){磁性流体はどこで手に入りますか？};
&color(Red){例によって辺土先生に借りたので、辺土先生に聞...
&color(Green){相互インダクタンスが互いに等しいのは、作用...
&color(Red){作用・反作用というより、エネルギー保存則です...
&color(Green){相互インダクタンスは何で全部一緒なんですか...
&color(Red){全部一緒なんじゃなくて、２個のコイルの「A→B」...
&color(Green){トランスの話（交流で高圧で送電して家庭で電...
&color(Red){でも、あまり高圧だと危ないですからね。};
&color(Green){相互誘導は、永遠に相互誘導を繰り返すのです...
&color(Red){相互誘導の式は、互いの影響を考えて落ち着いた...
&color(Green){相互誘導はいつか減衰して止まりますか？};
&color(Red){エネルギーはいろんなロスがあるので、エネルギ...
&color(Green){電線のボルト数は、長さが一緒だったらどの電...
&color(Red){うーん、「電線のボルト数」って何のことだろう...
&color(Green){${\rm div}({\rm rot}\vec A)=0$ってのは３次...
&color(Red){そうです。例えば２次元なら、rotの結果はスカラ...
&color(Green){今までの式${\rm rot}\vec H=\vec j$は、嘘の...
&color(Red){今までは静電場を考えていたのですが、今後は時...
&color(Green){Stokesの定理忘れてた。};
&color(Red){よく使いますよ〜〜};
&color(Green){前にやってた強力磁石がトマトを反発する実験...
&color(Red){人間にも浮く力が働くでしょうね。。。};
&color(Green){授業で先生が説明してくれている時は「わかっ...
&color(Red){何事も、自分でこんがらがりながら考えていかな...
&color(Green){マックスウェル方程式を覚えよう！（多数）};
&color(Red){覚えるのはもちろん。さらに概念を理解して使い...
&color(Green){方程式の矛盾に気づいたマックスウェルはすご...
&color(Red){いろいろ考えた末のことだと思います。};
&color(Green){マックスウェル方程式があればだいたいの電磁...
&color(Red){はい。全てはここから出てきます。};
&color(Green){マックスウェル方程式を出す時、先生が一番興...
&color(Red){おー、感動してくれたことに感動した。私は電磁...
&color(Green){電場と磁場が同時に変化しているのは近接作用...
&color(Red){${\rm rot}\vec E=-{\partial \over\partial t}\...
&color(Green){力が宇宙が冷えるに従って分離していったなら...
&color(Red){電磁力というのはある意味「一つ」（電場と磁場...
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#contents
&color(Red){授業の最初に、磁性流体が磁石でスパイクのよう...
&color(Red){その後、復習をかねて「自己インダクタンスとは...
**6.5 コイルの蓄えるエネルギー [#sc2938c5]
#ref(coil.png)
自己インダクタンスLを持つコイルの両端の電位差は$L{dI\over...
$$ \int LI {dI\over dt}dt = {1\over 2}LI^2 + C$$
積分定数Cは通常0にとる。
相互インダクタンスに関係しても同じような計算ができる。相...
$$\int\left( MI_1{dI_2\over dt}+MI_2{dI_1\over dt}\right...
というエネルギーを持つことになる（積分定数は0とした）。
まとめると、
$$ {1\over 2}\sum_i L_i (I_i)^2 + {1\over 2}\sum_i\sum_{j...
RIGHT:(コイルの全エネルギー)&aname(totalcoilenergy);
となる（第２項に${1\over 2}$がついているのは、和を取ると$...
前節で説明したトランス（変圧器）の場合、電流は周期的に変...
このエネルギーの書き方は「エネルギーはコイルを流れる電流...
$$ {1\over 2}\sum_i \left(L_i (I_i)^2 + \sum_{j\neq i}M_{...
と書き直す。ここで、
$$\begin{array}{rll} \Phi_i =& \int_{回路iに囲まれた面} d...
という変形を行う。これで、&math({1\over 2}I_i\Phi_i={1\ov...
$$ {1\over 2}\int d^3 \vec x \vec j \cdot \vec A= {1\ove...
となる。ここで$\vec j={\rm rot}\vec H=\vec\nabla\times \v...
$${\rm div}(\vec V\times\vec W)=\vec V \cdot({\rm rot} \v...
を使うと、
$$\begin{array}{rl}{1\over 2}\int d^3 \vec x ({\rm rot}\...
を得る((「表面項」とは&math(\int d^3\vec x {\rm div} (な...
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&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
このエネルギー密度が${1\over 2}\vec j\cdot\vec A$という形...
従って、上のような「電流を流す時に注ぎ込まなくてはいけな...
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*第７章 マックスウェル方程式 [#i19c7835]
ここまで作った電磁気学の基本方程式を考えてきたが、実は最...
**7.1 変位電流 [#j9a8e39b]
***7.1.1 マックスウェルによる導入 [#v04c47df]
電磁誘導の法則は
$$ {\rm rot} \vec E=-{\partial \vec B\over \partial t}$$
と書け、アンペールの法則は
$$ {\rm rot} \vec H=\vec j$$
と書ける。また、電場と磁場に対するガウスの法則は
$$ {\rm div} \vec D=\rho,~~~~{\rm div} \vec B=0$$
であった。
1865年、マックスウェルは上の方程式が矛盾を含むことに気づ...
#ref(rotH.png)
マックスウェルが問題としたのは$ {\rm rot} \vec H=\vec j$...
この両辺の${\rm div}$を取る。特にz微分の項を図示すると以...
#ref(rotHj.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
${\rm div}$はx,y,zの３方向の微分の和であるが、そのうちz方...
#ref(rotHj2.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
&color(Red){このあたり、実際の授業ではボール紙で作った立...
rotのdivは0であるから${\rm div}({\rm rot}\vec H)=0$である...
つまり、電流密度のdivをとると、
$$ {\rm div} \vec j= -{\partial\rho\over \partial t}$$
でなくてはいけない。この式の左辺は「考えている微小体積か...
この数式上の矛盾点は、以下のような物理現象の考察にも現れ...
#ref(displaceCurrent.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
長い直線電流の一カ所をカットして、そこにコンデンサをはさ...
アンペールの法則は積分形で表現すると、「磁場$\vec H$の線...
そのため、同じループでも面積の取り方を変えると答が変わる...
&color(Red){なお、もう一つのrotが出てくる法則である${\rm ...
そこでこの法則を修正して、この状況でも適用できるようにし...
#ref(displC3.png)
極板間には確かに電流は流れていないが、そこにある電場（あ...
つまり、実際には極板間に電荷が動いているわけではないが、...
そこでマックスウェルはアンペールの法則${\rm rot}\vec H=\v...
マックスウェルは、$ {\rm rot} \vec H=\vec j$の右辺にdivを...
すなわちマックスウェルはアンペールの法則からくる方程式を
$$\begin{array}{rl} {\rm rot} \vec H=& \vec j \\&\downarr...
と修正したのである。この付加項${\partial \vec D\over \par...
真空中の場合を考えて変位電流を導入しない場合の電磁気の法...
$$\begin{array}{rl}{\rm div}\vec D=0~~~~~~ & {\rm rot} \v...
となって、明らかに対称性が悪い。電場のrotに磁場の時間変化...
電磁場の基本法則は以上で完結し、
----
CENTER:マックスウェル方程式
$$\begin{array}{ll} {\rm div}\vec D=\rho&{\rm div} \vec B...
----
が電磁気学の基本法則となる((既に述べたように、これらの式...
これに、物質中での関係式である$\vec D=\varepsilon_0\vec E...
&color(Green){ローレンツ力の式はマックスウェル方程式から...
&color(Red){電磁場のエネルギーの式がちゃんと出せればそこ...
本質的な電磁場は$\vec E,\vec B$であり、$\vec D,\vec H$は...
----
CENTER:$\vec E,\vec B,\vec P,\vec M$で書いたマックスウェ...
$$ \begin{array}{ll} \varepsilon_0{\rm div}\vec E=\rho -{...
----
と書ける。$\rho-{\rm div}\vec P$は分極によって生じた電荷...
#hr
*学生の感想・コメントから [#u797725f]
&color(Green){磁性流体はどこで手に入りますか？};
&color(Red){例によって辺土先生に借りたので、辺土先生に聞...
&color(Green){相互インダクタンスが互いに等しいのは、作用...
&color(Red){作用・反作用というより、エネルギー保存則です...
&color(Green){相互インダクタンスは何で全部一緒なんですか...
&color(Red){全部一緒なんじゃなくて、２個のコイルの「A→B」...
&color(Green){トランスの話（交流で高圧で送電して家庭で電...
&color(Red){でも、あまり高圧だと危ないですからね。};
&color(Green){相互誘導は、永遠に相互誘導を繰り返すのです...
&color(Red){相互誘導の式は、互いの影響を考えて落ち着いた...
&color(Green){相互誘導はいつか減衰して止まりますか？};
&color(Red){エネルギーはいろんなロスがあるので、エネルギ...
&color(Green){電線のボルト数は、長さが一緒だったらどの電...
&color(Red){うーん、「電線のボルト数」って何のことだろう...
&color(Green){${\rm div}({\rm rot}\vec A)=0$ってのは３次...
&color(Red){そうです。例えば２次元なら、rotの結果はスカラ...
&color(Green){今までの式${\rm rot}\vec H=\vec j$は、嘘の...
&color(Red){今までは静電場を考えていたのですが、今後は時...
&color(Green){Stokesの定理忘れてた。};
&color(Red){よく使いますよ〜〜};
&color(Green){前にやってた強力磁石がトマトを反発する実験...
&color(Red){人間にも浮く力が働くでしょうね。。。};
&color(Green){授業で先生が説明してくれている時は「わかっ...
&color(Red){何事も、自分でこんがらがりながら考えていかな...
&color(Green){マックスウェル方程式を覚えよう！（多数）};
&color(Red){覚えるのはもちろん。さらに概念を理解して使い...
&color(Green){方程式の矛盾に気づいたマックスウェルはすご...
&color(Red){いろいろ考えた末のことだと思います。};
&color(Green){マックスウェル方程式があればだいたいの電磁...
&color(Red){はい。全てはここから出てきます。};
&color(Green){マックスウェル方程式を出す時、先生が一番興...
&color(Red){おー、感動してくれたことに感動した。私は電磁...
&color(Green){電場と磁場が同時に変化しているのは近接作用...
&color(Red){${\rm rot}\vec E=-{\partial \over\partial t}\...
&color(Green){力が宇宙が冷えるに従って分離していったなら...
&color(Red){電磁力というのはある意味「一つ」（電場と磁場...
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