電磁気学II2007年度第14回
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CENTER:←[[第13回>電磁気学II2007年度第13回]] [[目次に戻る...
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***7.1.2 変位電流は磁場を作るか？ [#g96a20c9]
&aname(MakeB);
変位電流はアンペールの法則がどのような状況でも満足される...
ここで一つ注意しておかなくてはいけないことは、ビオ・サバ...
電束密度&mimetex(\vec D);は変化してもよい。しかし、その時...
結論を言うと、ビオ・サバールの法則の中に変位電流の項を付...
#ref(stopI.png)
&mimetex(z=-\infty);からz=0まで、z軸上を正の方向に電流Iが...
#mimetex( \vec D= {It\over 4\pi r^2}\vec e_r)
である。
ここで、厳密には時刻tにおいて電荷がItだからと言って、距離...
$${\partial\over \partial t} \vec D= {I\over 4\pi r^2}\v...
が空間に分布していると考える。もし、ビオ・サバールの法則...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0\over 4\pi}\int d^3\vec x' {(\vec...
という形になるだろう。しかし、この変位電流の項は常に0にな...
以上はビオ・サバールの法則を使った計算であり、この計算に...
では、アンペールの法則で考えるとどうなるか。たとえばz軸か...
$$H(r,\theta)\times 2\pi r\sin\theta = \int_{ループ内} d\...
という計算になる（今考えているループ内には真電流はない）...
詳しい計算は章末演習問題とするが、こうやって計算した磁場...
**7.2 電磁波 [#of8e0f19]
マックスウェル方程式で表される物理現象を組み合わせていく...
#ref(denjihahassei.png)
(1)ある場所に振動する電流または電束密度が発生する（たとえ...
(2)「電流」もしくは「電束密度の時間変化」は、周囲に渦をま...
(3)周囲の空間の磁場の時間変動には、さらにその周囲に渦をま...
以上がくりかえされることにより、空間の中を電場と磁場の振...
#ref(DenbaGensui.png)
電磁場の復元力もちゃんと電磁気の法則に含まれている。もし...
つまり、マックスウェル方程式の中には、一部分だけ電場が強...
電場と磁場が波となる可能性に気づいたのはファラデーであり...
***7.2.1 電磁波の方程式 [#k0f8d504]
電磁波の方程式を出す。目標は、真空中のマックスウェル方程...
$$ {\rm div} \vec E=0,~~~ {\rm div} \vec B=0,~~~{1\over\m...
真空中であるから、$\vec B=\mu_0\vec H$と$\vec D=\varepsil...
ここで、&mimetex(\vec E);のみ、もしくは$\vec B$のみの式を...
$$\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec E\right)&...
という式が出る（&mimetex({\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\r...
この式は$ \left( \varepsilon_0\mu_0{\partial^2\over \part...
#mimetex(\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec B\...
となって、同じ速さで伝播する波となる。
この速さを計算してみると、
${1\over \sqrt{8.854187817\cdots\times10^{-12}\times {4\p...
である。これは光速度である。つまり、マックスウェルは「電...
&color(Red){４月に、クーロンの法則の比例定数の『kの値は、...
なお、ここではあくまで「波」としての電磁波を求めたが、波...
ここで、いわゆる平面波解を求めてみよう。簡単のため、z方向...
#mimetex(\begin{array}{rl} \left({1\over c^2}{\partial^2\...
となって、これは解である。よって、まず&mimetex(\vec E(z-c...
${\rm div}\vec E(z-ct)={\partial\over \partial z}E_z(z-ct...
であるから、この場合、電場のz成分は定数でなくてはいけない...
簡単のため、電場はみなx方向を向いているとしよう（&mimetex...
-x成分 &mimetex({\partial\over \partial y}E_z-{\partial ...
CENTER:$0=-{\partial\over \partial t}B_x$
-y成分 &mimetex({\partial\over \partial z}E_x-{\partial ...
CENTER:$E'_x(z-ct)=-{\partial\over \partial t}B_y $
-z成分 &mimetex({\partial\over \partial x}E_y-{\partial ...
CENTER:$0=-{\partial\over \partial t}B_z$
となって、$B_x,B_z$は定数でなくてはいけない。ここでは電磁...
#mimetex(\vec E=(E_x(z-ct),0,0),~~~~\vec B=(0,{1\over c}E...
となる。この解は&mimetex({\rm rot}\vec B=\varepsilon_0\mu...
以上から、電磁波を構成する電場・磁場は進行方向と垂直で、...
#ref(denjiha.png)
&color(Red){この絵の動くアニメーションは[[ここ>http://www...
電磁波の進行の様子は上の図の通りである。各場所各場所でマ...
&color(Green){磁場の中に電磁波が来ると、影響受けますか？};
&color(Red){重ね合わせの原理ってのがありましたね。つまり...
&color(Green){物質中の電磁波はどうなるんですか？};
&color(Red){たとえば水中だと、水分子がこの電場の影響を受...
&color(Green){電磁波が来るところに方位磁石をおいたら振動...
&color(Red){電磁波とか光とかって、振動数がめちゃくちゃで...
&color(Green){じゃあ、電磁波の来るところに電子がいたら、...
&color(Red){金属に電磁波があたった時なんかは、まさにそう...
なお、ファラデーが電磁波を予言したのは1846年（この時、光...
**7.3 章末演習問題 [#o79b2ee9]
''[演習問題7-1]''[[7.1.2>#MakeB]]節で考えた、&mimetex(z=-...
''[演習問題7-2]''図のように、原点にから放射状に四方八方に...
全部でIの電流が流れているものとすれば、原点から距離rの場...
#ref(houshakyu.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
ところが、全く同じことを南極側に抜ける電流に関して考える...
どっちが正しいかというと、どっちも正しくない。正しい答はH...
''[演習問題7-3]''電磁波によって荷電粒子が跳ね飛ばされると...
「電子は電磁波によって跳ね飛ばされるらしい。電子はマイナ...
#ref(tobasi.png)
疑問を持ったA君は電磁波が進行して正電荷や負電荷に当たると...
「電子が静止していると考えると、働く力は電場によるものの...
実際には、正電荷であろうが負電荷であろうが、飛ばされる方...
なお、このことは電磁波が進行方向向きの運動量を持っている...
*学生の感想・コメントから [#a8f67faf]
&color(Red){今日は理学部が行っている授業評価アンケートの...
&color(Green){おもしろい講義でした。};
&color(Red){ありがとうございます。私も楽しかった。};
&color(Green){途中計算や、コンピュータで視覚的に捉えるこ...
&color(Red){プログラムとかテキストとか作ったかいがありま...
&color(Green){&mimetex({1\over\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}})...
&color(Red){ちょっとびっくりしますよね。};
&color(Green){アンテナはエネルギーを集めるこｔもできるの...
&color(Red){自分のところにやってきた電磁波のエネルギーを...
&color(Green){&mimetex({\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\rm ...
&color(Red){なかなか皆さん公式覚えてくれませんねぇ。。。...
&color(Green){マックスウェルの公式にも意味があったんです...
&color(Red){物理の公式にはみんな意味がありますよ。};
&color(Green){マックスウェル方程式、まだよくわからないの...
&color(Red){うーん、まだですか。テスト来週ですけど。};
&color(Green){電磁波の速度が光速度であることを見つけたマ...
&color(Red){すごいですね。発見した時はすごく嬉しかっただ...
&color(Green){先生が４月に言った『電磁気をちゃんと勉強す...
&color(Red){今日、発見できましたか？？};
&color(Green){１年間ありがとうございました。たいへんわか...
&color(Red){この１年の授業が実りのあるものになってくれた...
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***7.1.2 変位電流は磁場を作るか？ [#g96a20c9]
&aname(MakeB);
変位電流はアンペールの法則がどのような状況でも満足される...
ここで一つ注意しておかなくてはいけないことは、ビオ・サバ...
電束密度&mimetex(\vec D);は変化してもよい。しかし、その時...
結論を言うと、ビオ・サバールの法則の中に変位電流の項を付...
#ref(stopI.png)
&mimetex(z=-\infty);からz=0まで、z軸上を正の方向に電流Iが...
#mimetex( \vec D= {It\over 4\pi r^2}\vec e_r)
である。
ここで、厳密には時刻tにおいて電荷がItだからと言って、距離...
$${\partial\over \partial t} \vec D= {I\over 4\pi r^2}\v...
が空間に分布していると考える。もし、ビオ・サバールの法則...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0\over 4\pi}\int d^3\vec x' {(\vec...
という形になるだろう。しかし、この変位電流の項は常に0にな...
以上はビオ・サバールの法則を使った計算であり、この計算に...
では、アンペールの法則で考えるとどうなるか。たとえばz軸か...
$$H(r,\theta)\times 2\pi r\sin\theta = \int_{ループ内} d\...
という計算になる（今考えているループ内には真電流はない）...
詳しい計算は章末演習問題とするが、こうやって計算した磁場...
**7.2 電磁波 [#of8e0f19]
マックスウェル方程式で表される物理現象を組み合わせていく...
#ref(denjihahassei.png)
(1)ある場所に振動する電流または電束密度が発生する（たとえ...
(2)「電流」もしくは「電束密度の時間変化」は、周囲に渦をま...
(3)周囲の空間の磁場の時間変動には、さらにその周囲に渦をま...
以上がくりかえされることにより、空間の中を電場と磁場の振...
#ref(DenbaGensui.png)
電磁場の復元力もちゃんと電磁気の法則に含まれている。もし...
つまり、マックスウェル方程式の中には、一部分だけ電場が強...
電場と磁場が波となる可能性に気づいたのはファラデーであり...
***7.2.1 電磁波の方程式 [#k0f8d504]
電磁波の方程式を出す。目標は、真空中のマックスウェル方程...
$$ {\rm div} \vec E=0,~~~ {\rm div} \vec B=0,~~~{1\over\m...
真空中であるから、$\vec B=\mu_0\vec H$と$\vec D=\varepsil...
ここで、&mimetex(\vec E);のみ、もしくは$\vec B$のみの式を...
$$\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec E\right)&...
という式が出る（&mimetex({\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\r...
この式は$ \left( \varepsilon_0\mu_0{\partial^2\over \part...
#mimetex(\begin{array}{rl}{\rm rot}\left({\rm rot}\vec B\...
となって、同じ速さで伝播する波となる。
この速さを計算してみると、
${1\over \sqrt{8.854187817\cdots\times10^{-12}\times {4\p...
である。これは光速度である。つまり、マックスウェルは「電...
&color(Red){４月に、クーロンの法則の比例定数の『kの値は、...
なお、ここではあくまで「波」としての電磁波を求めたが、波...
ここで、いわゆる平面波解を求めてみよう。簡単のため、z方向...
#mimetex(\begin{array}{rl} \left({1\over c^2}{\partial^2\...
となって、これは解である。よって、まず&mimetex(\vec E(z-c...
${\rm div}\vec E(z-ct)={\partial\over \partial z}E_z(z-ct...
であるから、この場合、電場のz成分は定数でなくてはいけない...
簡単のため、電場はみなx方向を向いているとしよう（&mimetex...
-x成分 &mimetex({\partial\over \partial y}E_z-{\partial ...
CENTER:$0=-{\partial\over \partial t}B_x$
-y成分 &mimetex({\partial\over \partial z}E_x-{\partial ...
CENTER:$E'_x(z-ct)=-{\partial\over \partial t}B_y $
-z成分 &mimetex({\partial\over \partial x}E_y-{\partial ...
CENTER:$0=-{\partial\over \partial t}B_z$
となって、$B_x,B_z$は定数でなくてはいけない。ここでは電磁...
#mimetex(\vec E=(E_x(z-ct),0,0),~~~~\vec B=(0,{1\over c}E...
となる。この解は&mimetex({\rm rot}\vec B=\varepsilon_0\mu...
以上から、電磁波を構成する電場・磁場は進行方向と垂直で、...
#ref(denjiha.png)
&color(Red){この絵の動くアニメーションは[[ここ>http://www...
電磁波の進行の様子は上の図の通りである。各場所各場所でマ...
&color(Green){磁場の中に電磁波が来ると、影響受けますか？};
&color(Red){重ね合わせの原理ってのがありましたね。つまり...
&color(Green){物質中の電磁波はどうなるんですか？};
&color(Red){たとえば水中だと、水分子がこの電場の影響を受...
&color(Green){電磁波が来るところに方位磁石をおいたら振動...
&color(Red){電磁波とか光とかって、振動数がめちゃくちゃで...
&color(Green){じゃあ、電磁波の来るところに電子がいたら、...
&color(Red){金属に電磁波があたった時なんかは、まさにそう...
なお、ファラデーが電磁波を予言したのは1846年（この時、光...
**7.3 章末演習問題 [#o79b2ee9]
''[演習問題7-1]''[[7.1.2>#MakeB]]節で考えた、&mimetex(z=-...
''[演習問題7-2]''図のように、原点にから放射状に四方八方に...
全部でIの電流が流れているものとすれば、原点から距離rの場...
#ref(houshakyu.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするとフルサイズで見ることができます...
ところが、全く同じことを南極側に抜ける電流に関して考える...
どっちが正しいかというと、どっちも正しくない。正しい答はH...
''[演習問題7-3]''電磁波によって荷電粒子が跳ね飛ばされると...
「電子は電磁波によって跳ね飛ばされるらしい。電子はマイナ...
#ref(tobasi.png)
疑問を持ったA君は電磁波が進行して正電荷や負電荷に当たると...
「電子が静止していると考えると、働く力は電場によるものの...
実際には、正電荷であろうが負電荷であろうが、飛ばされる方...
なお、このことは電磁波が進行方向向きの運動量を持っている...
*学生の感想・コメントから [#a8f67faf]
&color(Red){今日は理学部が行っている授業評価アンケートの...
&color(Green){おもしろい講義でした。};
&color(Red){ありがとうございます。私も楽しかった。};
&color(Green){途中計算や、コンピュータで視覚的に捉えるこ...
&color(Red){プログラムとかテキストとか作ったかいがありま...
&color(Green){&mimetex({1\over\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}})...
&color(Red){ちょっとびっくりしますよね。};
&color(Green){アンテナはエネルギーを集めるこｔもできるの...
&color(Red){自分のところにやってきた電磁波のエネルギーを...
&color(Green){&mimetex({\rm rot} ({\rm rot} \vec A)={\rm ...
&color(Red){なかなか皆さん公式覚えてくれませんねぇ。。。...
&color(Green){マックスウェルの公式にも意味があったんです...
&color(Red){物理の公式にはみんな意味がありますよ。};
&color(Green){マックスウェル方程式、まだよくわからないの...
&color(Red){うーん、まだですか。テスト来週ですけど。};
&color(Green){電磁波の速度が光速度であることを見つけたマ...
&color(Red){すごいですね。発見した時はすごく嬉しかっただ...
&color(Green){先生が４月に言った『電磁気をちゃんと勉強す...
&color(Red){今日、発見できましたか？？};
&color(Green){１年間ありがとうございました。たいへんわか...
&color(Red){この１年の授業が実りのあるものになってくれた...
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