電磁気学II2007年度第4回
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#mathjax
#hr
CENTER:←[[第3回>電磁気学II2007年度第3回]] [[目次に戻る>...
#hr
#contents
&color(Red){最初にちょっとベクトルポテンシャルについて話...
#ref(anteifuantei.png)
&color(Red){上の図のように磁石の上に円電流を置くと、左の...
&color(Red){などと説明しつつ、周りから押されているという...
&color(Red){液晶にひびが入って気持ちは半泣きの状態で授業...
*第2章 静磁場の法則その２---ビオ・サバールの法則 [#x3366...
アンペールの法則はきれいにまとめられているが、実際の状況...
**2.1 ビオ・サバールの法則 [#t85989b0]
ガウスの法則${\rm div} \vec D=\rho$にせよアンペールの法則...
$$ \vec E(\vec x)= \int d^3 \vec x' {\rho(\vec x')\over 4...
という積分をすることで電場を計算できた。この式と${\rm div...
#ref(gaussBioS.png,,75%)
&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます。};
#ref(jxr.png)
磁場の場合でこれに対応する法則を作ろう。つまり、
$$ \vec B(\vec x)=\int d^3 \vec x'\left(\vec j(\vec x')と...
という法則を作り、各点における電流密度$\vec j(\vec x')$が...
まず最初に「どんな向きの磁場ができるのか」を考えよう。そ...
#ref(BS.png)
こうして、各点各点にある微小電流素辺が作る微小磁場を足し...
ではある程度この形を予想しよう。まず、
$$ \vec B(\vec x)=K \int d^3 \vec x' {\vec j(\vec x')\tim...
としてみる。Kは比例定数であり、nは距離によってどの程度磁...
磁場と電場の法則がよく似ていることから考えて「電流の作る...
とりあえずn=3とおいて、この式で計算した磁場が無限に長い直...
#ref(jdxdy.png)電流をz軸に沿って置く。
電流密度は$j_z$しかない。よって$\int dx'dy'dz' j_z$という...
$\vec x=r\vec e_r+z\vec e_z$として、
$$ \vec x-\vec x'=r\vec e_r+(z-z')\vec e_z$$
である。電流は$I\vec e_z$であるから、外積を取ることで$\ve...
これを使うと、
$$ \vec B(r)=K \int_{-\infty}^\infty dz' {Ir \over (r^2+(...
となる。
#ref(jxr2.png)
答はzによらないことは明らかなので、z=0の場合を計算するこ...
$$ \vec B(r)=K \int_{-\infty}^\infty dz' {Ir \over (r^2+(...
を計算しよう。この積分は前に帯電した棒の場合にした計算と...
$$ \vec B(r)={KI\over r} \int_{-{\pi\over2}}^{\pi\over2} ...
となる。
この答が$\vec B={\mu_0I\over 4\pi r}$と一致しなくてはいけ...
以上から、体積積分の形で書いたビオ・サバール（Biot-Savart...
----
CENTER:ビオ・サバールの法則（体積積分形）
電流密度$\vec j(\vec x)$が空間に存在している時、$\vec x$...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0\over 4\pi} \int d^3 \vec x' {\ve...
である。
----
今は無限に長い直線電流の場合でのみ式を合わせたので、実際...
#ref(Ids.png)
さて、電流密度が与えられている時の式は以上の通りだが、実...
電流がx方向を向いている時であれば、
$$ \int dx \int dy \int dz~~ j_x \vec e_x\times(\cdots)$$
という計算をしなくてはいけないわけだが、$\int dy \int dz ...
#ref(Ids2.png)
つまり積分は
$$ \int dx ~~I \vec e_x\times(\cdots)$$
に変わるわけである。今は電流がx方向を向いているという特殊...
$$\int \left(Idx\vec e_x+Idy\vec e_y+Idz\vec e_z\right)\t...
という計算をしなさい、ということである。
結果をまとめると、
$$ \int dx \int dy \int dz \vec j \times(\cdots)\to I\in...
と積分が書き換わる。$d\vec x$は(dx,dy,dz)という成分を持つ...
$$ \int d\vec x\times \vec A$$
のように書くと、この積分結果はベクトルであり、
$$\begin{array}{l}\left( \int d\vec x\times \vec A \right...
Iが定数なので積分の外に出てしまったことに注意。この積分の...
----
CENTER:ビオ・サバールの法則（線積分形）
電流Iが空間を流れている時、$\vec x$における磁束密度$\vec ...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0I\over 4\pi} \int {d\vec x'\times...
である。積分は、存在している電流の経路全体について行う。
----
&color(Red){と、ここまで話したところで、円電流の場合のビ...
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
***2.1.1 ビオ・サバールの法則のもう一つの導出 [#c66d724b]
#ref(BS2.png)
少しだけ楽な導出方法をもう一つ紹介しておく。ただしこの導...
今、場所$\vec x$に磁極mを置く。この磁極は場所$\vec x'$には
$$ \vec B= m{\vec x'-\vec x\over 4\pi |\vec x'-\vec x|^3}...
という磁束密度ができる（磁場に関するクーロンの法則）。
この場所にIという大きさで、$d\vec x$なる長さと方向を持つ...
$$ \vec F= mI {d\vec x \times (\vec x'-\vec x)\over 4\pi...
となる。さて、今計算したのは「磁極が電流に及ぼす力」であ...
$$ \vec F= -mI {d\vec x \times (\vec x'-\vec x)\over 4\p...
である。これを磁極の大きさmで割れば「電流によって作られる...
}
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
電場を求める積分と磁場を求める積分の決定的な違いを一つ述...
「''孤立した電荷は存在するが、孤立した電流は存在しない''」
#ref(BS3.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするフルサイズで見れます。};
ということである。電荷はある一点にだけ存在することが有り...
数式で表現するならば、${\rm div}\vec j=0$でなくてはいけな...
なお、正電荷の溜まる場所と負電荷の溜まる場所があって、そ...
時間変動する電場は、磁場にある影響を与えるのである。した...
*学生の感想・コメントから [#cadcfc32]
&color(Green){今日のは難しかった（多数）};
&color(Red){うーん、ちょっとやることが多すぎたか。でも後...
&color(Green){ビオ・サバールの法則が使えない時ってありま...
&color(Red){電流が時間的に変化しているような場合には使え...
&color(Green){ビオ・サバールの法則の線積分形が便利だと思...
&color(Red){実際にはこっちを使うことの方が多いです。};
&color(Green){動画を見てやっとイメージできました（という...
&color(Red){立体的な外積のイメージって、なかなかできない...
&color(Green){HとBの違いがわかりません。どんな場合にHを使...
&color(Red){今は真空中の話をしているので、どっちでも同じ...
&color(Green){等電位面みたいに等磁力線面を考えることはで...
&color(Red){名前としては「等磁位面」でしょうね。考えるこ...
&color(Green){ビオ・サバールの法則の計算ってめっちゃめん...
&color(Red){まぁ似たようなものです。現実的に意味のある量...
&color(Green){距離の自乗に反比例すると仮定したけど、３乗...
&color(Red){いきません。実際にうまくいく奴だけを説明した...
&color(Green){パソコン大丈夫ですか？（多数）};
&color(Red){今このページも打ってますから、一応動くんです...
&color(Green){力の向きがややこしくてなかなか頭の中で想像...
&color(Red){なるべく作りますが、いっそ想像するのをやめて...
&color(Green){次はポテンシャルのgradですね。};
&color(Red){いやたぶん次の次。それに、実はポテンシャルのr...
&color(Green){アニメーションがわかりやすかった（多数）};
&color(Red){あれでイメージつかんでくださいね。};
&color(Green){アニメーションを見ていると、積分がたいへん...
&color(Red){そうなんです。計算はけっこうたいへんです。};
&color(Green){アニメーションは先生が作っているんですか？};
&color(Red){そうですよ。今日のは昨日の夜作りました。};
&color(Green){ビオ・サバールの法則は体積積分より線積分の...
&color(Red){どちらかというと線積分の方がよく使う公式なの...
&color(Green){ビオ・サバールの法則を最初に作った人も電場...
&color(Red){いいえ。電流と磁極の間に働く力の実験事実から...
&color(Green){外積取るとsinとか出てくるけど大丈夫ですか？};
&color(Red){出てきたら、それつかってちゃんと計算すればい...
&color(Green){ガウスの法則やアンペールの法則を一つにまと...
&color(Red){相対論を勉強すると出てきます。};
&color(Green){$\vec I$と$\vec r$が真逆を向いている時は磁...
&color(Red){真逆の時も、同方向の時も、磁場はなくなります...
終了行:
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&color(Red){最初にちょっとベクトルポテンシャルについて話...
#ref(anteifuantei.png)
&color(Red){上の図のように磁石の上に円電流を置くと、左の...
&color(Red){などと説明しつつ、周りから押されているという...
&color(Red){液晶にひびが入って気持ちは半泣きの状態で授業...
*第2章 静磁場の法則その２---ビオ・サバールの法則 [#x3366...
アンペールの法則はきれいにまとめられているが、実際の状況...
**2.1 ビオ・サバールの法則 [#t85989b0]
ガウスの法則${\rm div} \vec D=\rho$にせよアンペールの法則...
$$ \vec E(\vec x)= \int d^3 \vec x' {\rho(\vec x')\over 4...
という積分をすることで電場を計算できた。この式と${\rm div...
#ref(gaussBioS.png,,75%)
&color(Red){クリックするとフルサイズで見れます。};
#ref(jxr.png)
磁場の場合でこれに対応する法則を作ろう。つまり、
$$ \vec B(\vec x)=\int d^3 \vec x'\left(\vec j(\vec x')と...
という法則を作り、各点における電流密度$\vec j(\vec x')$が...
まず最初に「どんな向きの磁場ができるのか」を考えよう。そ...
#ref(BS.png)
こうして、各点各点にある微小電流素辺が作る微小磁場を足し...
ではある程度この形を予想しよう。まず、
$$ \vec B(\vec x)=K \int d^3 \vec x' {\vec j(\vec x')\tim...
としてみる。Kは比例定数であり、nは距離によってどの程度磁...
磁場と電場の法則がよく似ていることから考えて「電流の作る...
とりあえずn=3とおいて、この式で計算した磁場が無限に長い直...
#ref(jdxdy.png)電流をz軸に沿って置く。
電流密度は$j_z$しかない。よって$\int dx'dy'dz' j_z$という...
$\vec x=r\vec e_r+z\vec e_z$として、
$$ \vec x-\vec x'=r\vec e_r+(z-z')\vec e_z$$
である。電流は$I\vec e_z$であるから、外積を取ることで$\ve...
これを使うと、
$$ \vec B(r)=K \int_{-\infty}^\infty dz' {Ir \over (r^2+(...
となる。
#ref(jxr2.png)
答はzによらないことは明らかなので、z=0の場合を計算するこ...
$$ \vec B(r)=K \int_{-\infty}^\infty dz' {Ir \over (r^2+(...
を計算しよう。この積分は前に帯電した棒の場合にした計算と...
$$ \vec B(r)={KI\over r} \int_{-{\pi\over2}}^{\pi\over2} ...
となる。
この答が$\vec B={\mu_0I\over 4\pi r}$と一致しなくてはいけ...
以上から、体積積分の形で書いたビオ・サバール（Biot-Savart...
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CENTER:ビオ・サバールの法則（体積積分形）
電流密度$\vec j(\vec x)$が空間に存在している時、$\vec x$...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0\over 4\pi} \int d^3 \vec x' {\ve...
である。
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今は無限に長い直線電流の場合でのみ式を合わせたので、実際...
#ref(Ids.png)
さて、電流密度が与えられている時の式は以上の通りだが、実...
電流がx方向を向いている時であれば、
$$ \int dx \int dy \int dz~~ j_x \vec e_x\times(\cdots)$$
という計算をしなくてはいけないわけだが、$\int dy \int dz ...
#ref(Ids2.png)
つまり積分は
$$ \int dx ~~I \vec e_x\times(\cdots)$$
に変わるわけである。今は電流がx方向を向いているという特殊...
$$\int \left(Idx\vec e_x+Idy\vec e_y+Idz\vec e_z\right)\t...
という計算をしなさい、ということである。
結果をまとめると、
$$ \int dx \int dy \int dz \vec j \times(\cdots)\to I\in...
と積分が書き換わる。$d\vec x$は(dx,dy,dz)という成分を持つ...
$$ \int d\vec x\times \vec A$$
のように書くと、この積分結果はベクトルであり、
$$\begin{array}{l}\left( \int d\vec x\times \vec A \right...
Iが定数なので積分の外に出てしまったことに注意。この積分の...
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CENTER:ビオ・サバールの法則（線積分形）
電流Iが空間を流れている時、$\vec x$における磁束密度$\vec ...
$$ \vec B(\vec x)={\mu_0I\over 4\pi} \int {d\vec x'\times...
である。積分は、存在している電流の経路全体について行う。
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&color(Red){と、ここまで話したところで、円電流の場合のビ...
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&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
***2.1.1 ビオ・サバールの法則のもう一つの導出 [#c66d724b]
#ref(BS2.png)
少しだけ楽な導出方法をもう一つ紹介しておく。ただしこの導...
今、場所$\vec x$に磁極mを置く。この磁極は場所$\vec x'$には
$$ \vec B= m{\vec x'-\vec x\over 4\pi |\vec x'-\vec x|^3}...
という磁束密度ができる（磁場に関するクーロンの法則）。
この場所にIという大きさで、$d\vec x$なる長さと方向を持つ...
$$ \vec F= mI {d\vec x \times (\vec x'-\vec x)\over 4\pi...
となる。さて、今計算したのは「磁極が電流に及ぼす力」であ...
$$ \vec F= -mI {d\vec x \times (\vec x'-\vec x)\over 4\p...
である。これを磁極の大きさmで割れば「電流によって作られる...
}
----
&color(Red){この部分は授業では話さない可能性もあるが、そ...
電場を求める積分と磁場を求める積分の決定的な違いを一つ述...
「''孤立した電荷は存在するが、孤立した電流は存在しない''」
#ref(BS3.png,,75%)
&color(Red){↑クリックするフルサイズで見れます。};
ということである。電荷はある一点にだけ存在することが有り...
数式で表現するならば、${\rm div}\vec j=0$でなくてはいけな...
なお、正電荷の溜まる場所と負電荷の溜まる場所があって、そ...
時間変動する電場は、磁場にある影響を与えるのである。した...
*学生の感想・コメントから [#cadcfc32]
&color(Green){今日のは難しかった（多数）};
&color(Red){うーん、ちょっとやることが多すぎたか。でも後...
&color(Green){ビオ・サバールの法則が使えない時ってありま...
&color(Red){電流が時間的に変化しているような場合には使え...
&color(Green){ビオ・サバールの法則の線積分形が便利だと思...
&color(Red){実際にはこっちを使うことの方が多いです。};
&color(Green){動画を見てやっとイメージできました（という...
&color(Red){立体的な外積のイメージって、なかなかできない...
&color(Green){HとBの違いがわかりません。どんな場合にHを使...
&color(Red){今は真空中の話をしているので、どっちでも同じ...
&color(Green){等電位面みたいに等磁力線面を考えることはで...
&color(Red){名前としては「等磁位面」でしょうね。考えるこ...
&color(Green){ビオ・サバールの法則の計算ってめっちゃめん...
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&color(Green){距離の自乗に反比例すると仮定したけど、３乗...
&color(Red){いきません。実際にうまくいく奴だけを説明した...
&color(Green){パソコン大丈夫ですか？（多数）};
&color(Red){今このページも打ってますから、一応動くんです...
&color(Green){力の向きがややこしくてなかなか頭の中で想像...
&color(Red){なるべく作りますが、いっそ想像するのをやめて...
&color(Green){次はポテンシャルのgradですね。};
&color(Red){いやたぶん次の次。それに、実はポテンシャルのr...
&color(Green){アニメーションがわかりやすかった（多数）};
&color(Red){あれでイメージつかんでくださいね。};
&color(Green){アニメーションを見ていると、積分がたいへん...
&color(Red){そうなんです。計算はけっこうたいへんです。};
&color(Green){アニメーションは先生が作っているんですか？};
&color(Red){そうですよ。今日のは昨日の夜作りました。};
&color(Green){ビオ・サバールの法則は体積積分より線積分の...
&color(Red){どちらかというと線積分の方がよく使う公式なの...
&color(Green){ビオ・サバールの法則を最初に作った人も電場...
&color(Red){いいえ。電流と磁極の間に働く力の実験事実から...
&color(Green){外積取るとsinとか出てくるけど大丈夫ですか？};
&color(Red){出てきたら、それつかってちゃんと計算すればい...
&color(Green){ガウスの法則やアンペールの法則を一つにまと...
&color(Red){相対論を勉強すると出てきます。};
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&color(Red){真逆の時も、同方向の時も、磁場はなくなります...
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