前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

　テキストには「演算子の積とKer」という節がありますが、そこは省略します。

内積の公理

内積の公理:実ベクトル

　「ベクトル」の抽象化が目標なので、ベクトルの演算である「内積」も抽象化しよう。

　以下の公理を満たす演算を「内積」と呼ぶ。

　これらは、これまでやってきたベクトルの内積に関しては普通に成り立つ。

　(1)は内積の交換法則である。(2)は内積の双線形性の片方である（もう片方は交換法則により成り立つ）。(3)は内積の「正定値性」と呼ばれる性質である。自分自身との内積は非負になるが、$\sqrt{\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}}$はベクトルの「ノルム(norm)」と呼ばれる量である（通常のベクトルでは「長さ」になる）。

そして、「これまでの内積」とは違う「内積」を（上の公理を満たすようなものを）考えることができる。

　一例を示すと、2次元実ベクトル$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$と$\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$の内積を $$\begin{array}{r}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\lambda }_1{a}_1{b}_1+{\lambda }_2{a}_2{b}_2\end{array}$$ で定義する。${\lambda }_1>0,{\lambda }_2>0$ならば、この内積の定義は上の公理をすべて満たす。

内積の公理:複素ベクトル

　公理は変更されないが、(2)についても注意が必要で、複素ベクトル空間の内積は $$\begin{array}{rl}\mathbf{x}\cdot ({\lambda }_1{\mathbf{y}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{y}}_2)=& {\lambda }_1\mathbf{x}\cdot {\mathbf{y}}_1+{\lambda }_2\mathbf{x}\cdot {\mathbf{y}}_2\\ ({\lambda }_1{\mathbf{y}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{y}}_2)\cdot \mathbf{x}=& {\lambda }_1^{\ast }{\mathbf{y}}_1\cdot \mathbf{x}+{\lambda }_2^{\ast }{\mathbf{y}}_2\cdot \mathbf{x}\end{array}$$ を満たす（下の式は上の式の複素共役である）。つまり、内積の「前」からスカラーを出すときには、そのスカラーの複素共役を取ることが必要である。

行列の内積

　行列もベクトルと見ることができるので、行列の「内積」を考えることももちろんできる。シンプルな拡張としては、 $$\begin{array}{r}\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\sum _{i,j}{A}_{\lceil i\lceil j}{B}_{i\rfloor j\rfloor }\end{array}$$ のようにベクトルの内積同様（成分ごとの掛け算の和）とすればよい。この式は実は、後で使う「トレース」$\mathrm{t}\mathrm{r}$を使うと、 $$\begin{array}{r}\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({\mathbf{A}}^{\mathbf{t}}\mathbf{B}\right)\end{array}$$ と書くことができる。

関数の内積

　関数もベクトルと見ることができるという話はしたが、関数の世界に「内積」を考えることももちろんできる。

　実関数の場合、関数$f\left(x\right)$と関数$g\left(x\right)$の内積を $$\begin{array}{r}f\cdot g={\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$ で定義することができる。この内積は対称だし双線形だし、ノルム${\int }_a^b{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{d}x$は正定値である。