前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

固有ベクトル

　行列で表現できる線形変換では、ベクトルが別のベクトルへと「変換」される。以下では、変換前のベクトルのいる空間と変換後のベクトルのいる空間が同じ$V$である場合を考えよう。つまり、今から考える写像（変換）は同じベクトル空間の間の演算（$V\to V$）だ（行列で表現すれば正方行列だ）とする。よってこの章で登場する行列はすべて正方行列である。

　正方行列による変換の様子を見ていると、多くの線形変換に対して「大きさは変わるが向きが変わらないベクトル」があることに気づく。

　↑の図は、行列$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$による写像による点の移動を矢印で表現したものだが、これを見ていると赤矢印で示した二つの方向については変換による点の移動が「原点にから離れる向き」になっている（つまり、ベクトルの向きが変わらない）ことがわかる。

固有ベクトルの定義

　一般に、ある演算子$\hat{\mathcal{O}}$（行列で表現されていてもいいし、微分演算子などでもよい）を$\mathbf{0}$ではない、あるベクトル$\mathbf{v}$に掛けたときに元のベクトルのスカラー倍になるのは特別なベクトルの場合に限る。この特別なベクトルに名前をつけよう。つまり

　

　「$\lambda$は$\hat{\mathcal{O}}$の（${\mathbf{v}}_{\lambda }$に対する）固有値である」とか、「${\mathbf{v}}_{\lambda }$は固有値$\lambda$の$\hat{\mathcal{O}}$の固有ベクトルである」のように表現する。 このことは、

ことを意味する。演算子がスカラーに「化ける」のだから、計算をかなり簡単にしてくれる。

　シンプルな例をいくつか示しておこう。行列$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$のような簡単な行列なら、固有ベクトルは$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$と$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$であり、固有値はそれぞれ$a$と$b$である。

　行列$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$は「上下成分を入れ替える$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1\end{array}\right)$行列」だから、固有ベクトルは$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$（入れ替えても同じ）と$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$（入れ替えると逆符号）である。固有値はそれぞれ1と$-1$となる。

　行列でない演算子に対しても固有値・固有ベクトルは定義できる。もっとも簡単な例は微分演算子$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$に対する固有ベクトルである指数関数${\mathrm{e}}^{Kx}$である（固有値は$K$）。$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}}^{Kx}=K{\mathrm{e}}^{Kx}$という式を見るとわかる。

　なお、固有値が0の固有ベクトル（$\hat{\mathcal{O}}{\mathbf{v}}_0=0$を満たすベクトル）が存在することは$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\hat{\mathcal{O}}$が$\{\mathbf{0}\}$ではないことを意味する。

　以下では${\mathbf{v}}_{\lambda }$が複素数$N$成分のベクトル（${\mathbb{C}}^N$）であり、$\hat{\mathcal{O}}$が$N\times N$行列$\mathbf{M}$である場合を考えよう。なお、行列を掛けるときは、

のように行列を左から、右にある列ベクトルに掛ける場合と

のように左にある行ベクトルに行列を右から掛ける場合が考えられるので、この二つの固有ベクトルを「右固有ベクトル」と「左固有ベクトル」と呼んで区別する（$\lambda$の横につけた$⟨$または$⟩$は「開いている方の方向から行列を掛けてね」という向きを表す）。後で示すが、これらの固有値の組は同じになるが、右固有ベクトルと左固有ベクトルは一般には一致しない。

　行列が対称行列ならばスカラー倍をのぞいて一致し、${\overrightarrow{v}}_{\lambda ⟨}={\alpha }_{\lambda }{\overrightarrow{v}}_{⟩\lambda }$（${\alpha }_{\lambda }$は任意のスカラー）となる。また、行列がエルミート行列なら、$({\overrightarrow{v}}_{\lambda ⟨}{)}^{\ast }={\alpha }_{\lambda }{\overrightarrow{v}}_{⟩\lambda }$となる（$\ast$が必要、ただしここで固有値には$\ast$は不要である。後で説明する）。