前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

行列の微分

行列の微分の計算則

　行列の微分にも、

が成立する。では実数関数の微分でおなじみの$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^n=n{x}^{n-1}$に対応する、

は成立するかというと、

　成立するのは $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\mathbf{A}\left(t\right)\right)}^n=& \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right){\left(\mathbf{A}\left(t\right)\right)}^{n-1}+\mathbf{A}\left(t\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right){\left(\mathbf{A}\left(t\right)\right)}^{n-2}+\cdots \\ & +{\left(\mathbf{A}\left(t\right)\right)}^{n-2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right)\mathbf{A}\left(\mathbf{t}\right)+{\left(\mathbf{A}\left(t\right)\right)}^{n-1}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right)\end{array}$$ という（少々面倒な）式である。

逆行列の微分

　${\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\mathbf{A}\left(t\right)=\mathbf{I}$の両辺を微分すると（右辺は定数だから微分すると0）、 $$\begin{array}{rl}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\right)\mathbf{A}\left(t\right)+{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right)=& 0\\ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\right)\mathbf{A}\left(t\right)=& -{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)=& -{\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}\left(t\right)\right){\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(t\right)\end{array}$$ を得る。すなわち、逆行列の微分は元の行列の微分の前後に逆行列を掛けて、さらにマイナス符号をつける。この式を$1\times 1$行列で考えれば分数関数の微分 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{f\left(t\right)}\right)=-\frac{f^{\prime }\left(t\right)}{{\left(f\left(t\right)\right)}^2}$$ の式になる（数なら$\frac{1}{f\left(t\right)}$の位置を変えてもいいが、行列である${\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$はそうはいかないことに注意しよう。

行列式の微分

　行列が$x$の関数である場合、行列式もまた$x$の関数となる。これを微分するとまず余因子の式${\tilde{A}}_{pq}=\frac{\partial (det\mathbf{A})}{\partial A_{qp}}$から、 $$\begin{array}{r}\frac{\partial }{\partial x}det\mathbf{A}\left(x\right)=\sum _{p,q}{\tilde{A}}_{\lceil p\lceil q}\left(x\right)\frac{\partial A_{q\rfloor p\rfloor }\left(x\right)}{\partial x}=det\mathbf{A}\left(x\right)\sum _{p,q}({\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{)}_{\lceil p\lceil q}\left(x\right)\frac{\partial A_{q\rfloor p\rfloor }\left(x\right)}{\partial x}\end{array}$$ という式を作ることができる（余因子と逆行列の関係${\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}=\frac{1}{det\mathbf{A}}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{A}}$を使った）。また、行列式を$det\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{v}}_N\right)$と表現した場合、その微分は $$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}det\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{v}}_N\right)\\ =& det\left(\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{d}x},{\overrightarrow{v}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{v}}_N\right)+det\left({\overrightarrow{v}}_1,\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_2}{\mathrm{d}x},\cdots ,{\overrightarrow{v}}_N\right)+\cdots +det\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\cdots ,\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_N}{\mathrm{d}x}\right)\end{array}$$ のように「列ごとの微分」を足しあげることで計算できる（行ごとにしても可）。