前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、
にありますので見ておいてください。
行列の微分にも、
が成立する。では実数関数の微分でおなじみの$\opcol{\diff \over \kidx}x^n = nx^{n-1}$に対応する、
は成立するかというと、
成立するのは \begin{align} \ddt\left(\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)^n=& \left(\ddt\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)\left(\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)^{n-1} +\mt{A}\kakko{\tcol{t}} \left(\ddt\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)\left(\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)^{n-2} +\cdots\nonumber\\ & +\left(\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)^{n-2}\left(\ddt\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)\mt{A\kakko{\tcol{t}}} +\left(\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)^{n-1}\left(\ddt\mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right) \end{align} という（少々面倒な）式である。
$\mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}}\mt{A}\kakko{\tcol{t}}=\mt{I}$の両辺を微分すると（右辺は定数だから微分すると0）、 \begin{align} \left( \ddt \mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}} \right) \mt{A}\kakko{\tcol{t}} +\mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}}\left(\ddt \mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)=&0\nonumber\\ \left( \ddt \mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}} \right) \mt{A}\kakko{\tcol{t}} =&-\mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}}\left(\ddt \mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)\nonumber\\ \ddt \mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}} =&-\mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}}\left(\ddt \mt{A}\kakko{\tcol{t}}\right)\mt{A^{-1}}\kakko{\tcol{t}} \end{align} を得る。すなわち、逆行列の微分は元の行列の微分の前後に逆行列を掛けて、さらにマイナス符号をつける。この式を$1\times1$行列で考えれば分数関数の微分 \begin{equation} \ddt\left({1\over f\kakko{\tcol{t}}}\right)=-{f'\kakko{\tcol{t}}\over \left(f\kakko{\tcol{t}}\right)^2} \end{equation} の式になる（数なら${1\over f\kakko{\tcol{t}}}$の位置を変えてもいいが、行列である$\mt{A^{-1}}$はそうはいかないことに注意しよう。
行列が$\xcol{x}$の関数である場合、行列式もまた$\xcol{x}$の関数となる。これを微分するとまず余因子の式$\tilde A_{pq}={\partial \left(\det~\mt{A}\right)\over \partial {A_{qp}}}$から、 \begin{align} {\partial\over \partial x}\det\mt{A}\kakko{\xcol{x}} =\sum_{\dum{p},\dum[ycolor]{q}}\tilde A_{\dml{p}\dml[ycolor]{q}}\kakko{\xcol{x}}{\partial A_{\dmr[ycolor]{q}\dmr{p}}\kakko{\xcol{x}}\over \partial x} =\det\mt{A}\kakko{\xcol{x}}\sum_{\dum{p},\dum[ycolor]{q}}(\mt{A^{-1}})_{\dml{p}\dml[ycolor]{q}}\kakko{\xcol{x}}{\partial A_{\dmr[ycolor]{q}\dmr{p}}\kakko{\xcol{x}}\over \partial x} \end{align} という式を作ることができる（余因子と逆行列の関係$\mt{A^{-1}}={1\over \det\mt{A}}\mt{\tilde A}$を使った）。また、行列式を$\det\kakko{\vec v_1,\vec v_2,\cdots,\vec v_\sN}$と表現した場合、その微分は \begin{align} & \opcol{\diff \over \kidx}\det\kakko{\vec v_1,\vec v_2,\cdots,\vec v_\sN} \nonumber\\ =& \det\kakko{\opcol{\diff \kuro{\vec v_1}\over \kidx},\vec v_2,\cdots,\vec v_\sN} +\det\kakko{\vec v_1,\opcol{\diff \kuro{\vec v_2}\over \kidx},\cdots,\vec v_\sN} +\cdots+\det\kakko{\vec v_1,\vec v_2,\cdots,\opcol{\diff \kuro{\vec v_\sN}\over \kidx}} \end{align} のように「列ごとの微分」を足しあげることで計算できる（行ごとにしても可）。
指数関数$\exp\kakko{\xcol{x}}$は \begin{align} \exp\kakko{\xcol{x}}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\xcol{x}^n \end{align} とテイラー展開することができた。これの真似をして、行列の指数関数を \begin{align} \exp\kakko{\mt{X}}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\mt{X}^n \end{align} で定義しよう。行列の指数関数は何の役に立つかというと、通常の指数関数が
であったのと同様に、
が成り立つのである。
行列の指数関数を$\exp\kakko{\mt{X}}=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\mt{X}^n$で定義するとは言っても、これが計算不可能（級数が収束しないなど）であったら意味がない。計算するためには、対角化を使う。行列$\mt{P}$を使って$\mt{P^{-1}XP}$が対角行列$\mtx[ccc]{\lambda_1&0&\cdots\\0&\lambda_2&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}$になったとする。この対角行列の$\exp$を考えると、 \begin{align} \exp\kakko{\mt{P^{-1}XP}}=&\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\left( \mt{P^{-1}XP}\right)^n\nonumber\\ \exp{\mtx[ccc]{\lambda_1&0&\cdots\\0&\lambda_2&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}}=&\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\goverbrace{ \mt{P^{-1}X}\gunderbrace{\mt{PP^{-1}}}_{\mt{I}}\mt{XP}\cdots\mt{P^{-1}XP}}^{n個} \nonumber\\ {\mtx[ccc]{\exp\kakko{\lambda_1}&0&\cdots\\0&\exp\kakko{\lambda_2}&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}}=&\mt{P^{-1}}\gunderbrace{\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\left(\mt{X}\right)^n}_{\exp\kakko{\mt{X}}} \mt{P} \nonumber\\ \mt{P}{\mtx[ccc]{\exp\kakko{\lambda_1}&0&\cdots\\0&\exp\kakko{\lambda_2}&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}}\mt{P^{-1}}=&{\exp\kakko{\mt{X}}} \end{align} となることから、$\exp\kakko{\mt{X}}$が計算できる。指数関数は収束半径が$\infty$なので、「級数が収束するか」という心配は不要である。
対角化できない場合もJordan標準形に持っていくと$\exp$が計算できる。Jordan細胞の一つである$\mtx{a&1\\0&a}$に変数$\tcol{t}$を掛けた行列の指数関数を計算してみる。まず行列の$n$乗を計算しよう。 \begin{align} \mtxn{a&1\\0&a}{2}=\mtx{a^2&2a\\0&a^2}, \mtxn{a&1\\0&a}{3}=\mtx{a^3&3a^2\\0&a^3},\cdots \end{align} となるので、\begin{align} \mtxn{a&1\\0&a}{n}=\mtx{a^n&na^{n-1}\\0&a^n} \end{align} と予想できる。\begin{align} \mtxn{a&1\\0&a}{n+1}=\mtx{a^n&na^{n-1}\\0&a^n}\mtx{a&1\\0&a}=\mtx{a^{n+1}&(n+1)a^n\\ 0&a^{n+1}} \end{align} と確認できるので、0以上の整数$n$についてこの予想は正しい。
ということは、 \begin{align} \exp\kakko{\tcol{t}\mtx{a&1\\0&a}}=\sum_{n=0}^\infty {{\tcol{t}^n}\over n!}\mtx{a^{n}&na^{n-1}\\ 0&a^{n}} =\mtx{\E^{a\tcol{t}} &\tcol{t}\E^{a\tcol{t}}\\ 0&\E^{a\tcol{t}}} \end{align} となる。対角成分が$\sum_{n=0}^\infty{1\over n!}\left(a\tcol{t}\right)^n=e^{a\tcol{t}}$なのはすぐにわかる。右上成分についても、 \begin{align} \sum_{n=0}^\infty {\tcol{t}^n\over n!}na^{n-1} = \tcol{t}\sum_{n=1}^\infty {1\over (n-1)!}(a\tcol{t})^{n-1} \end{align} となって、$n\to n+1$とずらせばこの式は$\tcol{t}$に$\E^{a\tcol{t}}$を掛けた式になる。これで、相似変換して$\mt{J_2}$になる行列の指数関数も計算できるようになった。
対数関数には \begin{align} \log\kakko{\xcol{x}}=&\log c -\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n}\left({\xcol{x}-c\over c}\right)^n\nonumber\\ =&\log c +\left({\xcol{x}-c\over c}\right)-{1\over 2}\left({\xcol{x}-c\over c}\right)^2+{1\over 3}\left({\xcol{x}-c\over c}\right)^3+\cdots \end{align} というテイラー展開がある。$c$は定数である（どのような条件を満たすべきかは後で決める）。この式の右辺を微分すると、\begin{align} -\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {1\over c}\left({\xcol{x}-c\over c}\right)^{n-1}={1\over c} -{1\over c}\left({\xcol{x}-c\over c}\right) +{1\over c}\left({\xcol{x}-c\over c}\right)^2+\cdots \end{align} となるが、左辺は初項が${1\over c}$で公比が$-{\xcol{x}-c\over c}$の等比級数なので、その和は\begin{align} {{1\over c}\over 1-{c-\xcol{x}\over c}}={1\over c-c+\xcol{x}}={1\over \xcol{x}} \end{align} となる。この式が正しい（級数が収束する）ためには、$\left|{c-\xcol{x}\over c}\right|< 1$でなくてはいけない。この不等式は$-1< {\xcol{x}-c\over c}< 1$となるので、「$c>0$なら、$-c< \xcol{x}-c< c$すなわち$0< \xcol{x}< 2c$」または「$c< 0$なら、$-c>\xcol{x}-c>c$すなわち$2c< \xcol{x}< 0$」という意味になる。$\xcol{x}=0$は$\log\xcol{x}$が定義されていない場所なので、その場所を超えてテイラー展開はできないので、$c$と$\xcol{x}$は同符号でなくてはいけない。
これの真似をして、以下のように定義しよう。
\begin{align} \log\kakko{\mt{X}}=&\log c \mt{I} -\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n }\left({\mt{X}-c\mt{I}\over c}\right)^n\nonumber\\ =&\log c\mt{I}+{\mt{X}-c\mt{I}\over c}-{1\over 2}\left({\mt{X}-c\mt{I}\over c}\right)^2+{1\over 3}\left({\mt{X}-c\mt{I}\over c}\right)^3+\cdots\label{matlog} \end{align}
この定義による対数関数は期待される通り、$\exp\kakko{\log\kakko{\mt{X}}}=\mt{X}$と$\log\kakko{\exp\kakko{\mt{X}}}=\mt{X}$を満たすであろうか？---$\mt{X}$が対角化可能な場合をまず考えよう。 \begin{align} \mt{P^{-1}} \log\kakko{\mt{X}}\mt{P} =& \log c \mt{P^{-1}I\mt{P}} -\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n c^n}\left( \mt{P^{-1}}\left(\mt{X}-c\mt{I}\right)\mt{P} \right)^n \nonumber\\ =& \log c \mt{I} -\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n c^n}\left( \mt{P^{-1}XP}-c\mt{I} \right)^n \nonumber\\ =&\mtx[ccc]{\log c&0&\cdots\\0&\log c \cdots\\\vdots&\vdots&\ddots} -\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over nc^n}\mtxn[ccc]{\lambda_1-c&0&\cdots\\0&{\lambda_2-c} \cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}{n} \nonumber\\ =&\mtx[ccc]{\log \lambda_1&0&\cdots\\0&\log \lambda_2& \cdots\\\vdots&\vdots&\ddots} \end{align} となるから、\begin{align} \underbrace{\exp\kakko{\mt{P^{-1}}\log\kakko{\mt{X}}\mt{P}}}_{\mt{P^{-1}\exp\kakko{\log\kakko{\mt{X}}}}\mt{P}} = \exp\mtx[ccc]{\log \lambda_1&0&\cdots\\0&\log \lambda_2& \cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}= \gunderbrace{ \mtx[ccc]{\lambda_1&0&\cdots\\0&\lambda_2& \cdots\\\vdots&\vdots&\ddots}}_{\mt{P^{-1}XP}} \end{align} となって、$\exp\kakko{\log\kakko{\mt{X}}}=\mt{X}$が結論できる。
ただし、ここで固有値の中に0があると$\log\lambda$が計算できない。よってこの式が成立するのは$\mt{X}$が正則なときだけである（実数の対数関数だって、「$\log\kakko{0}$を計算しろ」と言われても無理なので仕方ない）。
行列の指数関数を使う公式についてまとめておく。
証明は相似変換による三角行列化を使う。\begin{align} \det\kakko{\exp\mt{M}}= \det\kakko{\mt{P^{-1}}\left(\exp\mt{M}\right)\mt{P}}=\det\kakko{\exp\kakko{\mt{P^{-1}}\mt{M}\mt{P}}} \end{align} として、$\mt{P^{-1}}\mt{M}\mt{P}$が三角行列化されていれば、$\mt{P^{-1}MP}$の対角成分には固有値$\lambda_1,\lambda_2,\cdots$が並ぶので、$\exp\kakko{\mt{P^{-1}MP}}$の対角成分には$\E^{\lambda_1},\E^{\lambda_2},\cdots$が並ぶことになる。三角行列の行列式は対角成分の積なので、\begin{align} \det\kakko{\exp\kakko{\mt{P^{-1}}\mt{M}\mt{P}}}=\E^{\lambda_1}\E^{\lambda_2}\cdots=\E^{\lambda_1+\lambda_2+\cdots} \end{align} となる。固有値の和はトレースだから、$\det\kakko{\exp\mt{P^{-1}MP}}=\exp\kakko{\tr\mt{P^{-1}MP}}$がわかる。相似変換は行列式もトレースも変えないから、これで証明できた。
このことから$\mt{M}$がどんな行列であっても$\exp\mt{M}$は正則行列であることがわかる。
下の式の方は、$\mt{M}\to \log\mt{M}$と置き換えればすぐに出る。
を証明しよう（ここで$\mt{P}=\exp\kakko{-\mt{A}},\mt{P^{-1}}=\exp\kakko{\mt{A}}$としている。$\exp\kakko{-\mt{A}}$の逆行列は$\exp\kakko{-\mt{A^{-1}}}$ではなく、$\exp\kakko{\mt{A}}$である）。この式は \begin{align} \exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right)\mt{B}\exp\left(-\mt{A}\tcol{t}\right) =\mt{B} +\tcol{t}\left[\mt{A},\mt{B}\right] +{\tcol{t}^2\over 2}\left[\mt{A},\left[\mt{A},\mt{B}\right]\right] +{\tcol{t}^3\over 3!}\left[\mt{A}, \left[\mt{A},\left[\mt{A},\mt{B}\right]\right]\right]+\cdots\label{BHt} \end{align} の$\tcol{t}=1$とした式なのだが、この式の右辺を$\tcol{t}$によるテイラー展開と解釈すれば\begin{align} \left(\opcol{\diff\over \kidt} \right)^n \left( \exp\kakko{ {\mt{A}\tcol{t}}}\mt{B}\exp\kakko{-\mt{A}\tcol{t}}\right)\bigg|_{\tcol{t}=0} =\goverbrace{ \bigl[\mt{A},\bigl[\mt{A},\bigl[\mt{A},\cdots,\bigl[\mt{A},}^{n回の繰り返し} \mt{B}\bigr]\bigr]\bigr]\bigr] \end{align} が示せればこの等式が示せたことになる。$n=0$は$\exp\kakko{\mt{A}\tcol{t}}\mt{B}\exp\kakko{-\mt{A}\tcol{t}}\bigg|_{\tcol{t}=0}=\mt{B}$となって、自明である。$n=1$をまず示そう。 \begin{align} &\opcol{\diff\over \kidt} \bigl( \exp\kakko{{\mt{A}\tcol{t}}}\mt{B}\exp\kakko{-\mt{A}\tcol{t}}\bigr)\bigg|_{\tcol{t}=0} \nonumber\\ =&\bigl( \goverbrace{\exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right)\mt{A}}^{\opcol{\diff \over \kidt}\left(\exp\left(\mt{A}\tcol{t}\right)\right)}\mt{B}\exp\left(-\mt{A}\tcol{t}\right) +\exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right)\mt{B}\goverbrace{\left(-\mt{A}\exp\left(-\mt{A}\tcol{t}\right)\right)}^{\ope{\diff \over \kidt}\left(\exp\left(-\mt{A}\tcol{t}\right)\right)} \bigr)\bigg|_{\tcol{t}=0} \nonumber\\ =& \exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right) \left( \mt{A}\mt{B} -\mt{B}\mt{A} \right) \exp\left(-\mt{A}\tcol{t}\right) \end{align} 上で$\ope{\diff \over \kidt}\left(\exp\left(\mt{A}\tcol{t}\right)\right)=\exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right)\mt{A}$としているが、この微分により$\mt{A}$はこのように後ろに出ても、$\ope{\diff \over \kidt}\left(\exp\left(\mt{A}\tcol{t}\right)\right)=\mt{A}\exp\left({\mt{A}\tcol{t}}\right)$のように前に出てもよい（$\mt{A}$と$\exp\left(\mt{A}\tcol{t}\right)$は可換である）。
以上を繰り返していくと、微分をするたびに交換関係$\left[\mt{A},*\right]$の数が増えていくことがわかる。よって\begin{align} \exp\kakko{{\mt{A}\tcol{t}}}\mt{B}\exp\kakko{-\mt{A}\tcol{t}}= \sum_{n=0}^\infty {\tcol{t}^n\over n!}\goverbrace{ \bigl[\mt{A},\bigl[\mt{A},\bigl[\mt{A},\cdots,\bigl[\mt{A},}^{n回の繰り返し} \mt{B}\bigr]\bigr]\bigr]\bigr] \end{align} がわかった。この式を、\begin{align} \exp\kakko{{\mt{A}\tcol{t}}}\mt{B}\exp\kakko{-\mt{A}\tcol{t}}=\exp\kakko{\tcol{t}\left[\mt{A},*\right]}\mt{B} \end{align} と略記する。
実数または複素数の指数関数については$\E^\xcol{x}\E^\ycol{y}=\E^{\xcol{x}+\ycol{y}}$であるが、行列については以下のような式が知られている。
$c=1$にした場合の式を使って、\begin{align} \log\kakko{\exp{\mt{A}}\exp\mt{B}}=& \exp\mt{A}\exp\mt{B}-\mt{I}-{1\over 2}\left(\exp\mt{A}\exp\mt{B}-\mt{I}\right)^2 +{1\over 3}\left(\exp\mt{A}\exp\mt{B}-\mt{I}\right)^3+\cdots \end{align} となるが、\begin{align} \exp\mt{A}\exp{\mt{B}}-\mt{I} =& \left(\mt{I}+\mt{A}+{1\over 2}\mt{A^2}+{1\over 3!}\mt{A^3}+\cdots\right) \left(\mt{I}+\mt{B}+{1\over 2}\mt{B^2}+{1\over 3!}\mt{B^3}+\cdots\right)-\mt{I}\nonumber\\ =&\goverbrace{\mt{A}+\mt{B}}^{1次の項}+\goverbrace{{1\over 2}\mt{A^2}+\mt{A}\mt{B}+{1\over 2}\mt{B^2}}^{2次の項} +\goverbrace{{1\over 3!}\mt{A^3} +{1\over 2}\mt{A^2B} +{1\over 2}\mt{AB^2} +{1\over 3!}\mt{B^3}}^{3次の項}+\cdots \end{align} であるから、\begin{align} 1次の項:&\mt{A}+\mt{B}\\ 2次の項:&{1\over 2}\mt{A^2}+\mt{A}\mt{B}+{1\over 2}\mt{B^2}-{1\over 2}\left(\mt{A}+\mt{B}\right)^2={1\over 2}\left[\mt{A},\mt{B}\right] \end{align} のように順に計算していくことができる。3次の項まで計算しておくと、\begin{align} =& {1\over 3!}\mt{A^3} +{1\over 2}\mt{A^2B} +{1\over 2}\mt{AB^2} +{1\over 3!}\mt{B^3}\nonumber\\ &-{1\over 2}(\mt{A}+\mt{B})\left({1\over 2}\mt{A^2}+\mt{A}\mt{B}+{1\over 2}\mt{B^2}\right) -{1\over 2}\left({1\over 2}\mt{A^2}+\mt{A}\mt{B}+{1\over 2}\mt{B^2}\right)(\mt{A}+\mt{B}) \nonumber\\ &+{1\over 3}\left( \mt{A^3}+\mt{A^2B}+\mt{ABA}+\mt{BA^2} +\mt{AB^2}+\mt{BAB}+\mt{B^2A}+\mt{B^3} \right) \nonumber\\ =& \left({1\over 2}-{1\over 2}-{1\over 4}+{1\over 3}\right)\mt{A^2B} +\left(-{1\over 2}+{1\over 3}\right)\mt{ABA} +\left(-{1\over 4}+{1\over 3}\right)\mt{BA^2}\nonumber\\ &+\left({1\over 2}-{1\over 4}-{1\over 2}+{1\over 3}\right)\mt{AB^2} +\left(-{1\over 2}+{1\over 3}\right)\mt{BAB} +\left(-{1\over 4}+{1\over 3}\right)\mt{B^2A} \nonumber\\ =& {1\over 12}\mt{A^2B} -{1\over 6}\mt{ABA} +{1\over 12}\mt{BA^2}+{1\over 12}\mt{AB^2} -{1\over 6}\mt{BAB} +{1\over 12}\mt{B^2A} \nonumber\\ =&{1\over 12}\mt{A}\left[\mt{A},\mt{B}\right] -{1\over 12}\left[\mt{A},\mt{B}\right]\mt{A} +{1\over 12}\left[\mt{A},\mt{B}\right]\mt{B} -{1\over 12}\mt{B}\left[\mt{A},\mt{B}\right] \nonumber\\ =& {1\over 12}\left[\mt{A},\left[\mt{A},\mt{B}\right]\right] +{1\over 12}\left[\left[\mt{A},\mt{B}\right],\mt{B}\right] \end{align} のようになる。ここから先も、交換関係の形にまとまっていく。
試験を行う予定でしたが、コロナの状況が悪くて不安だという声がありましたので、最終レポートの提出に変えます。最終レポートの課題は、webClassにあがっています。
以上で第15回の授業は終わりです。webClassに行って、アンケートに答えてください。
物理数学I webclassなお、webClassに情報を載せていますが、木と金の11:50〜12:50の間、オンラインオフィスアワーとしてzoomを開いてます。
質問や相談などがある人は来て話してください。参加者が少ないので、物理系１年生向けのオフィスアワーと合同になってます。