オンラインオフィスアワーに関するお知らせ

　ちょっと別の予定が入ったことと、あまり利用者がいないということで、この授業のオンラインオフィスアワーの時間を変えます。

　木曜と金曜の昼の11:50~12:50までにします。

　他の授業と合同ですが、質問や相談などがある人は来てください（zoomのアドレスなどはwebClassを見てください）。

　また、開いて欲しいときはメールなどで連絡をくれれば可能な時間に対応します。

　あと、webClassの掲示板は質問に使ってくれて構いません。

前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

　では、今回からいよいよ行列に入ります。

行列が表すもの

1次式による計算を行列で表現する

　最初に考えた、小学校の算数のような問題

を（りんごを$A$個とバナナを$B$個買うと考えて） $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlcrl}100& A& +& 60B& =600\\ & A& +& B& =8\end{array}\end{array}\end{array}$$ という連立1次方程式と考えたことを思い出そう。この問題はたとえば1個30円のさくらんぼも買うことにすれば $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlcrcrl}100& A& +& 60B& +& 30C& =600\\ & A& +& B& +& C& =8\end{array}\end{array}\end{array}$$ のように変わる（さくらんぼの数を$C$にした）。ちなみにこの問題は「解が一意でない」のだが、そうなることはどのように判定できるのか、というのも今後考えていきたい点の一つである。

　さらにりんご、バナナ、さくらんぼがそれぞれ40g,80g,10gの重さがあるとして全部で1kg買うのだとすれば、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlcrcrl}100& A& +& 60B& +& 30C& =600\\ & A& +& B& +& C& =8\\ 40& A& +& 80B& +& 10C& =1000\end{array}\end{array}\end{array}$$ と問題が変わるだろう。これらの問題はすべて1次式で表現できている。これら三つの式をそれぞれ、 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}100& 60\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}600\\ 8\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}100& 60& 30\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}600\\ 8\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc}100& 60& 30\\ 1& 1& 1\\ 40& 80& 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}600\\ 8\\ 1000\end{array}\right)\end{array}$$ と書いてしまうのが行列による表現である。

　行列による計算はベクトルの内積の計算の繰り返しになっている。たとえば上の最後の式は、 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}100& 60& 30\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right)=& 600,\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right)=& 8,\\ \left(\begin{array}{ccc}40& 80& 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right)=& 1000\end{array}$$ という三つの「行ベクトルと列ベクトルの内積を取る」という計算を一つの式で表現していると見ることもできる。

　こういう説明を聞いていると、「簡単すぎてつまらない」と思うかもしれないが、それはもちろん「導入」の段階だからである。行列を使うことの意義は（前にも述べたように）$\boxed{{\displaystyle 操作}}\times \boxed{{\displaystyle 入力}}=\boxed{{\displaystyle 出力}}$のように、式の上で「入力」「操作」「出力」が分離されてくるということにある。上の例では入力がりんごだったり、出力が金額だったりするが、もっと複雑な量になっても、ここで考えたような計算が使える場合がある。

　なんらかの「入力」から入力に対応した一つの「出力」を得ることを数学では一般的に「写像」という。物理現象の多くが、この「操作」の部分に対応する。たとえばある物理的状態があるとする。その状態に「平行移動」「回転」のような変換を行ったり、「時間発展（ある物理的状態の「現在」から「未来」の状態を得る）」させたりする「操作」は、実は「線形写像」として表現できる。解析力学や量子力学という分野では、まさにこの考え方を使う。

　次項で示すように、線形写像だということは実は「行列で書ける」ということなのである。

　行列で書くことの「御利益」は「計算」に対応する部分の一箇所への集中である。後でじっくりやるが、我々はこの行列を見ることで「この問題の解は一意じゃない」「この問題には解がない」などを判定できる（それが線形代数の使い途の一つである）。

行列による線形写像

　行列を使って表現できるのは、次に述べる「線形写像(linear mapping)」（「線形変換(linear transformation)」または「1次変換」と呼ぶこともある）である。

　この条件は、$T\left(X_1+X_2\right)=T\left(X_1\right)+T\left(X_2\right)$と$T\left({\alpha }_1{X}_1\right)={\alpha }_{1}T\left(X_1\right)$に分けて表記することも多い。これら二つは上の式で${\alpha }_1={\alpha }_2=1$と置いたものと、${\alpha }_2=0$と置いたものである。

　上記をシンプルに「$T$は線形である」と表現することもある。

　「線形写像である」ということは、かなり大きい制約である。世界に沢山ある「写像」のうち、一部に過ぎない。しかしそれでも重要なのは、「線形写像に限っても十分に応用範囲が広い」ということだ（特に物理では量子力学が線形写像を使いまくる）。

以下の写像は、線形写像ではない。どうして線形写像でないのか説明せよ。
(1) $x\mapsto ax+b$　(2) $x\mapsto x^2$　(3)$\overrightarrow{v}\mapsto |\overrightarrow{v}|$
答えを考えてからここをクリック

(1)$a(x_1)+b$は$a{x}_1+b+a{x}_2+b$と一致しない（$b$が余る）。
(2)$\alpha x$は$\alpha x^2$ではなく${\alpha }^2{x}^2$に写像される。
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$は$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ではない。

　線形写像の定義の$X_1,X_2$に入るもの（写像元）は実数は複素数はもとより、ベクトルであってもよい。ベクトル$\to$ベクトルの線形写像は常に行列で表現できることを以下で示そう。

　一般のベクトルは基底を使って$\overrightarrow{x}=x_1{\overrightarrow{v}}_1+x_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +x_m{\overrightarrow{v}}_m$のように表せる。写像先の方も（別の基底を使って）$\overrightarrow{y}=y_1{\overrightarrow{w}}_1+y_2{\overrightarrow{w}}_2+\cdots +y_m{\overrightarrow{w}}_m$と表せるベクトルであるとしよう。つまり $$\begin{array}{r}\overrightarrow{y}=T\left(\overrightarrow{x}\right)=T\left(x_1{\overrightarrow{v}}_1+x_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +x_m{\overrightarrow{v}}_m\right)\end{array}$$ だが、$T$は線形なので、 $$\begin{array}{r}\overrightarrow{y}=T\left({\overrightarrow{v}}_1\right)x_1+T\left({\overrightarrow{v}}_2\right)x_2+\cdots +T\left({\overrightarrow{v}}_m\right)x_m\end{array}$$ のように「写像してから線型結合」の形に書き直すことができる。上の式の中で、$\overrightarrow{y}$と$\{T\left({\overrightarrow{v}}_{\ast }\right)\}$はベクトルなので、それらを成分表示で書くことにすれば、 $$\begin{array}{r}\stackrel{\overrightarrow{y}}{\overbrace{\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)}}=\stackrel{T\left({\overrightarrow{v}}_1\right)}{\overbrace{\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)}}{x}_1+\stackrel{T\left({\overrightarrow{v}}_2\right)}{\overbrace{\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)}}{x}_2+\cdots +\stackrel{T\left({\overrightarrow{v}}_m\right)}{\overbrace{\left(\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right)}}{x}_m\end{array}$$ となる（$T\left({\overrightarrow{v}}_j\right)$の$i$番目の成分を$a_{ij}$と書くことにした）。

　上の式を、（操作にあたる部分を左側にまとめて） $$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)\end{array}$$ と書いてしまうというのが「線形写像の行列による表現」である。

　$j$番目の成分だけが1で残りの成分は0のベクトル$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$を変換すると$\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{nj}\end{array}\right)$になるように行列を並べた、と考えてもよい。

ということになる。