前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

前回のクイズ

　簡単なクイズとして、

というのを出しておきました。簡単かと思ったんですが、正解率は低かった（約50％）。正解は

でした。この行列による線形写像は↓のような感じです。

　誤答としては、以下のようなものがありました。

　↑これだと、線にはなりますが、問題は「点」になるやつです。

　↑「全射」ということばはこの講義では使ってませんが、写像の結果が全空間（今の場合は全平面）を覆うという意味なので、「点」とは真逆です。

　↑そもそも掛算できません。

　↑これはどういう意味で使っているのだろう？　行列は線形写像の表現なので、ある意味すべての行列は「表現行列」です。

　↑自分でも？しているぐらいだから自信がなかったんでしょうが、違います。単位行列だと面から面ですね。

$2\times 2$行列の行列式

　前回、$2\times 2$行列の逆行列の話をしましたが、そこで何度も登場した$ad-bc$という式について、説明をしそこなっていたので、今回はまずその説明をします。

　$D=ad-bc$のことを「$2\times 2$行列の行列式(determinant)」と呼ぶ。

　「行列式」は「行列でできた式」の意味と勘違いされやすい。よって「ディターミナント」とカタカナ読みすることも多い。determinantは「これで行列の性質が決まる！」という意味を含ませた命名である。

　記号として$det$を使い、$\mathbf{A}$の行列式は$det\mathbf{A}$と書く。後で、$3\times 3$行列やそれより次元の高い$n\times n$行列でも同様の式を考えるが、それらも「行列式」と呼び記号$det$を使う。

　行列式は行列の要素すべてで決まるから、$det\mathbf{A}$は（$2\times 2$行列の場合）4個の変数$A_{ij}$の関数だと言えるが、見方によっては、「2本の列ベクトル${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$の関数」と見てもよいし、「2本の行ベクトル$({\overrightarrow{w}}_1{)}^t,({\overrightarrow{w}}_2{)}^t$の関数」と見てもよい。

　具体的には

• $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$の行列式を$det\mathbf{A}\left(A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}\right)$と、
• $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\boxed{{\displaystyle {\overrightarrow{v}}_1}}& \boxed{{\displaystyle {\overrightarrow{v}}_2}}\end{array}\right)$の行列式を$det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)$と、
• $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}\boxed{{\displaystyle {\left({\overrightarrow{w}}_1\right)}^t}}\\ \boxed{{\displaystyle {\left({\overrightarrow{w}}_2\right)}^t}}\end{array}\right)$の行列式を$det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{w}}_1,{\overrightarrow{w}}_2\right)$と

それぞれ考えることもできる。ちなみに、$2\times 2$行列の行列式は外積と同じ計算をすることになるので、 $$\begin{array}{r}det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)={\overrightarrow{v}}_1\times {\overrightarrow{v}}_2,det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{w}}_1,{\overrightarrow{w}}_2\right)={\overrightarrow{w}}_1\times {\overrightarrow{w}}_2\end{array}$$ が成り立つ。

　外積には（内積にも）双線形性があった。同様に$2\times 2$行列の行列式にも双線形性 $$\begin{array}{r}det\mathbf{A}\left(\lambda {\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)=\lambda det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right),det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,\lambda {\overrightarrow{v}}_2\right)=\lambda det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right),\\ det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2+{\overrightarrow{v}}_3\right)=det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)+det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_3\right),\\ det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2,{\overrightarrow{v}}_3\right)=det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_3\right)+det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_2,{\overrightarrow{v}}_3\right)\end{array}$$ がある。つまり、$det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)$と書いたときの前の引数に対しても後ろの引数に対しても「線形結合してから計算しても、計算してから線形結合を取っても結果は同じ」である。図で表現すると↓のような感じ。

　外積は「同じベクトルどうしの外積は0」という性質があったので、 $$\begin{array}{r}det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2+\lambda {\overrightarrow{v}}_1\right)=det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right),det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1+\lambda {\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)=det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)\end{array}$$ という性質もある。

　また、入れ替えに対して反対称 $$\begin{array}{r}det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2\right)=-det\mathbf{A}\left({\overrightarrow{v}}_2,{\overrightarrow{v}}_1\right)\end{array}$$ でもある（これも外積の性質）。これらの性質は「行ベクトルの関数」と考えたときも「列ベクトルの関数」と考えたときも、同様に成り立つ。

　$2\times 2$行列の行列式は、行列がスカラー倍されたとき、$(そのスカラー{)}^2$倍になる。$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}\lambda a& \lambda b\\ \lambda c& \lambda d\end{array}\right)$という変換（$\mathbf{A}\to \lambda \mathbf{A}$という変換）により、$D=ad-bc$は${\lambda }^{2}D=\lambda a\times \lambda d-\lambda b\times \lambda c$と変化するわけである。

　一方、足し算の方に関しては簡単な関係はない。$det\left(\begin{array}{cc}{a}_1+a_2& b_1+b_2\\ c_1+c_2& d_1+d_2\end{array}\right)$という量を考えてみれば、これが$a_1{d}_1-b_1{c}_1$や$a_2{d}_2-b_2{c}_2$では表せないことはすぐにわかるだろう。