前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

　前回までで、$2\times 2$と$3\times 3$の行列の行列式と逆行列の作り方をやりました。今回はいっきに「$N\times N$行列の行列式と逆行列」を考えましょう。

　$3\times 3$の場合を思い出しておくと、 $$\begin{array}{r}det\mathbf{A}=\sum _{i,j,k}{ϵ}_{\lceil i\lceil j\lceil k}{A}_{i\rfloor 1}{A}_{j\rfloor 2}{A}_{k\rfloor 3}\end{array}$$ がレヴィ・チビタ記号を使った行列式の表現でした（そしてこれを微分すると余因子が計算できて、逆行列を作ることができた）。

　その流れに乗って、まずは$N$次元のレヴィ・チビタ記号を考えます。

　まず任意次元のレヴィ・チビタ記号について確認しておこう。

　上の2.は隣り合う二つの添字に対する式だが、たとえば隣の隣と入れ替えるのであれば、 $${ϵ}_{\cdots ijk\cdots }=-{ϵ}_{\cdots jik\cdots }={ϵ}_{\cdots jki\cdots }=-{ϵ}_{\cdots kji\cdots }$$ となるので、やはり符号は反転する。今入れ替えた$i$と$k$の間に$M$個の添字（$j_1{j}_2\cdots j_M$）があったとしても、 $$\begin{array}{rl}{ϵ}_{\cdots i{j}_1{j}_2\cdots j_{M}k\cdots }=& (-1{)}^M{ϵ}_{\cdots \underset{M個}{\underbrace{j_1{j}_2\cdots j_M}}ik\cdots }\\ =& -(-1{)}^M{ϵ}_{\cdots j_1{j}_2\cdots j_{M}ki\cdots }=-{ϵ}_{\cdots k\underset{M個}{\underbrace{j_1{j}_2\cdots j_M}}i\cdots }\end{array}$$ となって、やはり符号は反転する。よって

と表現しても同じことになる。

　ゆえに、レヴィ・チビタ記号は同じ添字が二つ以上あると0になる。