前回の感想・コメントシートから

　前回の授業の「感想・コメント」の欄に書かれたことと、それに対する返答は、

にありますので見ておいてください。

　前回$N\times N$の行列の行列式と逆行列の作り方をやりました。今回はこれを使って連立一次方程式を解く話をやっていきます。

行列の基本変形

行に対する操作

　ここでせっかく行列を使う手法を考えたのだから、この問題を簡単にするにはどうすればよいかを考えていこう。行列ではなく式で考えていたときを思い出すと、 $$\begin{array}{rlrl}第1行:& & M_{11}{x}_1+M_{12}{x}_2+\cdots +M_{1N}{x}_N=& A_1\\ 第2行:& & M_{21}{x}_1+M_{22}{x}_2+\cdots +M_{2N}{x}_N=& A_2\\ & & ⋮& \\ 第M行:& & M_{M1}{x}_1+M_{M2}{x}_2+\cdots +M_{MN}{x}_N=& A_M\end{array}$$ という式を短く表現したのが

（さらに短く書くと$\mathbf{M}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}$）である（ここでは行列が$M\times N$の場合を考える）。

　ここで$\overrightarrow{x}$を求めようと計算するとき、「この式を足したり引いたり定数倍したりする」あるいは「変数を$\overrightarrow{x}$から別の変数に変える」のような操作を行った。その「操作」を行列で表現しよう。まず元の式に左から、逆行列が存在する正方行列$\mathcal{L}$を掛けて

とする。このとき行列の掛け算の結果$\mathcal{L}\mathbf{M}$が簡単になっていれば、目標に一歩近づいたことになる。

　ここで、$\mathcal{L}$の逆行列が存在していることは重要だ。これは、を元の、に戻すことができる条件である。戻せないとしたら、それは式が持っていた情報を失ってしまったことになる。

列に対する操作

　もう一つの簡単化の手法として、$\overrightarrow{x}=\mathcal{R}\overrightarrow{X}$で定義される新しい変数を使うという方法がある（この$\mathcal{R}$も逆行列が存在する正方行列）。すると$\overrightarrow{X}={\mathcal{R}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\overrightarrow{x}$になるので、

に変わる。実はここでやっていることは $$\begin{array}{r}\mathbf{M}\underset{\mathbf{I}}{\underbrace{\mathcal{R}{\mathcal{R}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}}}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}\end{array}$$ のように、元の式の途中に単位行列を挟んだだけである。

　この計算でも、行列の掛け算の結果$\mathbf{M}\mathcal{R}$が簡単になっていれば、目標に一歩近づいたことになる。合わせて、我々は問題を

という問題に変えることができた。後は「$\mathcal{L}\mathbf{M}\mathcal{R}$の部分をできるだけ簡単にする」方法を考える。