前回の授業に対する皆さんの感想・コメント(抜粋)が、
にあるので見ておいてください。
前回のクイズ
床の上に質量$M$の物体があり、その上に質量$m$の物体が乗っている。床と下の物体の間には摩擦がないが、上の物体と下の物体の間には摩擦がある。
最初下の物体の初速度は$V$、上の物体の初速度は$v$だった($V < v$)。しばらくするとこの2物体の速度が一致した。
このとき運動量は保存するが力学的エネルギーは保存しない。その理由として正しいものを選べ(複数個選んでもいいし、正しいものがないなら「なし」と答えてよい)。
というクイズを出しておきましたが、今回は全員正解とはいきませんでした。
回答分布は以下の通り(5/21の朝集計)
A | B | C | なし | |
Aのみ(14) | 14 | |||
Bのみ(2) | 2 | |||
Cのみ(0) | ||||
AとB(4) | 4 | 4 | ||
AとC(3) | 3 | 3 | ||
BとC(1) | 1 | 1 | ||
全部(1) | 1 | 1 | 1 | |
なし(2) | 2 |
見事にばらついてますね^^;
テキストではこの後、「永久機関」の話をしてからエネルギー保存則に入っていく、という流れなのですが、クイズを出したので、クイズの答えのために必要な部分だけ「エネルギー保存則はどのように導出されるか」を動画とテキストで説明しておこうと思います。
力学において、原理となるのはニュートンの運動の法則です。これは
まずクイズの題材である物体にどのような力がはたらいているか、図にしてみましょう。鉛直方向の力は今の話に関係ないので忘れることにして水平方向の力だけを書き込むと、
となります(上の物体の速さ$v$の方が下の物体の速さ$V$より大きいという設定なので、摩擦力は上の物体を遅くする方向にはたらく)。
さて、ここで「作用反作用の法則」を思い出すと、この2つは「同じ大きさで逆向き」のはずです(なぜなら、それが物理法則だから)。
「B」が正しいかどうかを判定するために「エネルギー」と「仕事」の関係を思い出しましょう(前回の最後で考えたものです)。
二つの力のする仕事を考えてみましょう。仕事を計算するには「移動距離」が必要です。短い時間$\Delta t$の間の移動を考えると、
のように、二つの物体の移動距離は違います($V < v$なので、上の物体の方が長い距離を進む)。
となり、全体にする仕事はこの和なので、足して0にならないのです。そしてこれが、力学的エネルギーが保存しない理由です(なぜ?の部分は後でもう少し詳しく説明)。
最後にAですが、力学的エネルギーというのは上に書いたように保存しないこともあるものなのですが、「全エネルギー」(力学的エネルギーの他のエネルギーも足したもの)は保存します(そのあたりは、先の授業でまた話しますが)。この場合、「熱」という形で「他のエネルギー」に逃げるエネルギーがあるので、力学的エネルギーが保存しないのです。というわけで、Aは○です。
少し数式を使って説明すると、まず仕事は力を$\vec F$、移動距離を$\Delta x$とすると $$ W=\vec F\cdot \Delta \vec x $$ である(「力×力の方向への移動距離」は内積で表現される)。ここで、短い時間$\Delta t$間の移動距離は$\Delta \vec x=\vec v\Delta t$であることを使うと、 $$ W=\vec F\cdot \vec v\Delta t $$ で、さらにこれに運動方程式を使うと $$ W=m{\mathrm d\vec v\over \mathrm dt}\cdot \vec v\Delta t $$ となる。ここで、
と気づくと、 $$ W={\mathrm d\over\mathrm dt}\left({1\over2}m\vec v\cdot \vec v\right)\Delta t $$ とわかって、右辺は${1\over2}m|\vec v|^2$の変化量であることがわかる。
大事なことは、数式により力学的エネルギーの増加=された仕事が証明できていることです。
上で説明したのは運動エネルギーだけで、位置エネルギーなども含めてこうなることも、ちゃんと説明が必要です。
もう一つ注意すべきことは、仕事が内積で定義されていること(だから、力と移動方向が逆向きだと仕事がマイナスになる)。中学生にもわかるような説明としては、
となっています。(力の方向への移動距離)とすることで「逆向きだとマイナス」「力と移動方向が垂直だと0」という情報もそこに入っているわけです。
たいへん残念なことには中学理科では「運動エネルギー」という言葉は出てくるけどそれが${1\over2}mv^2$だという話は出てこないので、上のように仕事と運動エネルギーがつながっているということを中学生には「そういうものです」と天下りに教える形になってます。だから仕事とエネルギーの関係が成り立つ理由が中学生にはピンと来ないままなのです。教える側のあなたたちはここを理解した上で教えて欲しい。
ここの話を逆に考えると、${1\over2}mv^2$がエネルギーだとして、それを時間で微分すると $$ {\mathrm d\over\mathrm dt}\left({1\over2}mv^2\right)=m{\mathrm dv\over\mathrm dt} v $$ となり、これが「力$=m{\mathrm dv\over\mathrm dt}$」×「速度(単位時間あたりの移動距離)$v$」なので、「単位時間あたりの仕事」になる、ということになる。
位置エネルギーについても説明しておこう。対応する位置エネルギーが存在する力を「保存力」と呼ぶが、保存力は$F=-{\mathrm dU(x)\over \mathrm dx}$のように書ける(こう書ける力を保存力と呼ぶ)。
すると保存力がする単位時間あたりにする仕事は(力)×(単位時間あたりの移動距離)で、$-{\mathrm dU(x)\over \mathrm dx}v$になる。上の計算で、単位時間あたりの仕事は$m{\mathrm dv\over\mathrm dt} v$とも書けたから、 $$ m{\mathrm dv\over\mathrm dt} v=-{\mathrm dU(x)\over \mathrm dx}v $$ である(なんのことはない、運動方程式$m{\mathrm dv\over\mathrm dt}=-{\mathrm dU(x)\over \mathrm dx}$の両辺に$v$を掛けただけの式だ)。
この式からちょっと計算すると、 $$ \begin{array}{rl} m{\mathrm dv\over\mathrm dt} v+{\mathrm dU(x)\over \mathrm dx}\underbrace{\mathrm dx\over\mathrm dt}_v=&0\\ {\mathrm d\over\mathrm dt}\left({1\over 2}mv^2+U(x)\right)=&0 \end{array} $$ となって、運動エネルギーと位置エネルギーの和${1\over 2}mv^2+U(x)$が保存(時間微分が0)ということがわかる(この式がぱっとわかんない、という人は下の式を微分すると上の式になることを確認するとよいと思う)。これが力学的エネルギー保存則である。
以上のようにして「力学的エネルギー保存則を作った」ことを思えば、
どんなときに力学的エネルギーは保存しなくなるのか?
という疑問が湧いても「こういうときだな」とわかるはずだ(要は上で置いたいくつかの仮定が成り立たないのはどんなときかを考えればよい)。
わかった人は、下の文章をクリックして、答え合わせしてみよう。
もう一つクイズを。
のような振り子を考えて、エネルギー保存則を適用するとき、この張力$T$の影響は考えなくていいのか?
という問題です。エネルギー保存則を使って問題を解いている最中の高校生あたりに上の質問をぶつけると「え・・・いつも考えてないけどなんでだろう?」とフリーズしてしまうことがよくあります。
皆さんフリーズしてませんよね?? フリーズした人は、上の「仕事の定義」をよく読んで(あるいは、上のビデオの最初の仕事の定義の話をよく聞いて)、張力の仕事を考えなくていい理由がわかってから↓の答えを開いてください。
YouTubeなどで「永久機関」を検索すると、以下のようなのが見つかります。
全部見る必要はないですが、(騙されないように気をつけながら)見てみてください。
一番下の動画の中でも作った人が「回りません!」と言っている永久機関について考えましょう。
この車輪が「回る」と言ってる人の主張は「おもりをとりつけるレバーが可動なので、右の方では腕が長く、左の方では腕が短くなる。すると力のモーメントは右の方が大きくなるから右に回る」というものである。なるほど、てこの原理で考えると同じ力でも腕が長いと回そうとするトルク(力のモーメント)が大きいというのは本当である。
では回るか、と言えば(実際作った人の証言の通り)回らない。少なくとも、回り続けることはない。
ビデオによる説明は↓の通り。
文章でも説明を書いておく。まず、エネルギーとか仕事とかの言葉を使わない説明をしよう。下の図を見てみよう。
車輪の左側にあるおもりと右側にあるおもりの数を比べると、左の方が多い。つまり一個ずつのおもりを比べるとのモーメントがつりあっていないように見えるが、全体を考えると数が多い分だけ左が巻き返して、結果として引き分けになり、動かない。
一個一個の物体を見るのではなく、全体を見なくては間違える。
しかしこの説明だと、まだ「いやうまく作れば右が勝つようにできるはず」とか「むしろ左の数がもっと多くなるようにすればいいのでは?」とか反論(?)されてしまうかもしれない。
ビデオによる説明は↓の通り。
文章でも説明を書いておく。実は多くの永久機関は、先週考えた「エネルギーの定義」と「仕事の定義」を思い出せばすぐに「動かない」と判断できる。上のものも同じである。
上の永久機関の場合、仕事をしてくれるのは重力である。重力が仕事をした分だけ、この機関のエネルギーが増えるわけである。では重力のする仕事はどれくらいだろう、と勘定してみると、
のように、行きと帰りの仕事が相殺する。これは仕事が$\vec F\cdot\Delta \vec x$のように内積で定義されているおかげである。
先に「一個の物体を見るのではなく全体を」という話をしたが、ここでは「ある瞬間ではなく、一周回るという運動全体を見る」という視点が重要。こうすれば「全体で仕事は0じゃないか」ということが納得できるのである。
エネルギーというのは、仕事をされたらされるだけ増える物理量である。そうなるように、仕事やエネルギーを定義する。我々のご先祖様たちが永久機関を作ろうと考えた結果、「エネルギー」という物理量を発明して「エネルギーという概念を使うと永久機関ができない理由がわかる」という結論に達したのである。
さて、前回
と質問されたりするわけだが、どっちを使うか(あるいは両方使えるまたは両方使えないか)というのは、それぞれの保存則がどこから来るかを理解している人にとっては聞くまでもない「自明」なことである。
という話をした。今日の「エネルギーはなぜ保存するのか」という話を聞いたあとなら、この質問にどう答えるべきかも変わってくるのではないかと思う。
以下のクイズ問題を出しておく。
実は、答えはものすご〜〜〜く単純です(この問題はほぼクイズです。物理とは言えないほど単純)。考えすぎないように。「エネルギー」とか「仕事」とかの言葉を使って説明する必要はありません(説明してもいいけど)。
青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。
主なもの、代表的なもののみについて記し、回答しています。