合成関数・逆関数

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　関数は「数→数」の対応関係であるが、この対応関係を二段階にしたもの「数→数→数」を合成関数と呼ぶ。y=x2というx→yという対応関係があり、さらにz=sinyというy→zの対応関係があれば、この二つをまとめて、z=sinx2というx→zという「合成関数」を作ることができる。

　たとえば、ある気体を電気ヒーターで暖めているとしよう。ヒーターの電力を変えれば温度が変わる（電力→温度）。そして、温度が変わればその気体中の音速が変わる（温度→音速）。こうすると「電力を変えれば（温度の変化を通じて）音速が変わる」（電力→温度→音速）という関数関係ができることになる（こういう例を自分でも考えてみよう）。

　二つの関数をy=f(x)（yがxの関数である）および$z=g(y)（zがyの関数である）と書けば、合成関数はz=g(f(x))のように書ける（この式の意味は「まずf(x)を計算して、計算結果をg(y)のyに代入すると、zが求められる」ということだ）。

　三つの変数が関与する関数なので、立体的に図を描くと次のようになる。

　↓の図は、マウスを使って視点の移動／拡大縮小などができます。

y=
z=

＜a=1.0＞

＜b=1.0＞

　ここでは、

y=xという関数と

z=yという関数が合成され、

z=(x)という関数になっている。

　◆や◆や◆のような形が走り回っているが、これはx,y,zの変化を表したものである。

　初期状態ではy=xとz=yというつまらない状態になっているが、図の下にあるセレクタやボタンで関数の種類やパラメータを変化させることができるので、いろいろと試してみよう。
  • y=x2とz=
    1
    y
    を合成すると、z=
    1
    x2
  • y=x2とz=exp(-y)を合成すると、z=exp(-x2)
  • y=sin(x)とz=y2を合成すると、z=sin(x)2

のように関数が合成されるところを確認しよう（もちろん他にももっといろいろなパターンがあるので、試してみよう）。

コンピュータにグラフを描かせる時の注意

たとえば、

y=
1
x
に
z=sin(3y)を合成して、
z=sin(
3
x
)という関数を作ったとすると、そのグラフは、

のようになる。このx=0付近のぐしゃっとなっているところは、実は無限回の振動が隠れているなぜ無限回振動するのか、考えてみよう！。しかしコンピュータの画面も内部での計算でも「無限回の振動」を表すようにはできていない。実際にはxを0.01とか0.02とか、小さなステップで増加させては線を引く、というのを繰り返している。そのステップとステップの間に関数が激しく振動してしまうと、描かれたグラフは正確なものにはならないのである。

逆関数のペア

　これらの関数は互いに逆関数になっているペアがある。それらを確認しよう。

　上の図ではx→y→zという合成関数を考えているが、２個めのy zが１個めのx yの逆関数であるので、x→y→xというつながりで元に戻ってくる。

　よって、正しく逆関数になっていれば、z=xになるはずだ。

  • y=axの逆関数はx=by（ただし、a=
    1
    b
    ）。
  • y=
    a
    x
    の逆関数はx=
    a
    y
    。
  • y=x2の逆関数はx=√(
    |y|
    a
    )
  • y=sin(ax)の逆関数はx=
    arcsin(y)
    a
  • y=exp(ax)の逆関数はx=log(
    |y|
    a
    )

　ただし、実際やってみるとわかるように、これらは全てがちゃんとした逆関数にはなっていない。たとえばy=x2という関数はxが正でも負でも結果のyは正になる。そして、x=√|y|)の結果はどちらにしろ正の数になる。よって、x＜0である状況では「xの符号を外す（絶対値を取る）」ということをしてしまって、逆関数にならないじゃあどうなるか、は上で確認すべし！。

　同じような状況が他の場合でも起こり、上の例が逆関数になっていると言ってよいxの範囲は制限されることになる。これも、確認しよう。

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