変分とは
を計算することである。まず、
という問題を考えてみよう。このような「周囲が一定の図形」を考える問題は「等周問題」と呼ばれる。
辺の長さの和を$L$とする。長方形の横の長さを$x$、縦の長さを$y$とすると、面積は$S=xy$である。$2x+2y=L$が成り立つから、$y={L\over 2}-x$となり、
\begin{equation}
S=x\left({L\over 2}-x\right)
\end{equation}
である。この関数のグラフは次の図のようになり、最大値は$x={L\over 4}$の時だということがわかる。
図の下についてるスライダで$x$の値を変えることができる。図では$L=16$にしているので、$x$をいろいろ変えながら確かに$x=4$の時面積が最大になることを確認しよう。
下の「$\Delta x=0.5$変化した図」のところを押すと、$x$が0.5違っている場合の図を同時に描いてくれるので、比較してみよう。