この文書は「よくわかる解析力学」【東京図書】の2.1.2節(22ページ)の変分の問題を動く図を使って説明したものです。

変分とは

 ある量Aを変化させた時、その量に依存して決まる別の量F(A) がどのように変化するか(こ れを「F(A) の変分を取る」と表現する)

を計算することである。まず、

長方形の辺の長さの和が一定の時、もっとも面積の大きくなるのはどのような形のときか?

という問題を考えてみよう。このような「周囲が一定の図形」を考える問題は「等周問題」と呼ばれる。

 辺の長さの和をLとする。長方形の横の長さをx、縦の長さをyとすると、面積はS=xyである。2x+2y=Lが成り立つから、y=L2xとなり、
S=x(L2x)

である。この関数のグラフは次の図のようになり、最大値はx=L4の時だということがわかる。

 
S=12
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 図の下についてるスライダでxの値を変えることができる。図ではL=16にしているので、xをいろいろ変えながら確かにx=4の時面積が最大になることを確認しよう。

 下の「Δx=0.5変化した図」のところを押すと、xが0.5違っている場合の図を同時に描いてくれるので、比較してみよう。