物理では(実は物理によらず、いろいろな場面では)「微分方程式を解く」必要があることが多い。なぜなら、物理法則のほとんどが「微分形」で書かれているからである。「微分形で書かれている」というのは「微小変化と微小変化の関係式で書かれている」と言ってもよい。物理の主な分野における基礎方程式は、運動方程式
を初めとして、微分方程式だらけなのである。
微分方程式を解くには、積分という数学的技巧が必要になる。そのため「ややこしい」と嫌われる場合もあるようだ。
計算ではなく図形で「微分方程式を解いて関数を求める」というのはどういうことなのかを感じていただけたらと思い、アニメーションプログラムを作った。ただ計算するのではなく、「何を計算しているのか」をわかった上で計算のテクニックを学んだ方が理解は深まると思う。
ここでは微分方程式の中でも一番単純な「一階常微分方程式」を考える。「一階常微分方程式を解く」とはどういうことか、一言で言えば、
dxと dyの関係が与えられた時、xと y の関係を求める。
ということになる。
dxと dyの意味は、「xの微小な変化」と「yの微小な変化」である。
yはxの関数であるから、「xを一つ決めれば yが一つ決まる」という関係にある。そこで「xをほんの少し(dx)動かすとyはどれだけ(dy)動くか」という「変化と変化の関係」を考えることができる。関数が与えられた時にdyとdxの比(dy/dx)を計算するのが「微分する」もしくは「導関数を求める」という操作であった。
微分という操作の逆を行い、「各点各点におけるdyとdyの比」を与えて「じゃあ今考えている関数はどういう関数なのか」を決めるのが「微分方程式を解く」ということなのである。一般には
のように右辺はxとyの関数で書かれる。
では、次のページから、非常に簡単な例で微分方程式を図解していこう。
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