U→FU\to Fのルジャンドル変換のグラフを見よう。

　

理想気体の内部エネルギーのS,V,NS,V,Nを独立変数とした表現は

U[S,V,N]=cNR×(ξNV)1cexp(ScNR)+Nu U[S,V,N]=cNR\times\left({\xi N\over V}\right)^{1\over c}\exp\left({S\over cNR}\right)+Nu

だった。一方ヘルムホルツ自由エネルギーFFのT,V,NT,V,Nを独立変数とした表現は

F[T;V,N]=cNRT−NRTlog(TcVξN)+Nu F[T;V,N]=cNRT-NRT\log\left({T^cV\over \xi N}\right)+Nu
上ではcR=1,N=1,ξ=1,u=0cR=1,N=1,\xi=1,u=0とグラフがシンプルになるような値を使っている。

∂U∂S=T,∂F∂T=−S{\partial U\over \partial S}=T,{\partial F\over\partial T}=-Sが成立していることに注意。

なお、UUをT,V,NT,V,Nで書くと

U(T;V,N)=cNRT U(T;V,N)=cNRT

であり、FFをS,V,NS,V,Nで書くと

F(S,V,N)=cNR(ξNV)1cexp(ScNR)(1−ScNR)+Nu F(S,V,N)=cNR\left({\xi N\over V}\right)^{1\over c}\exp\left({S\over cNR}\right)\left(1-{S\over cNR}\right)+Nu

となる

（以上二つのグラフは薄い線で表現している）。