ルジャンドル変換$U\to F$

　$U\to F$のルジャンドル変換のグラフを見よう。

理想気体の内部エネルギーの$S,V,N$を独立変数とした表現は

$$ U[S,V,N]=cNR\times\left({\xi N\over V}\right)^{1\over c}\exp\left({S\over cNR}\right)+Nu $$

だった。一方ヘルムホルツ自由エネルギー$F$の$T,V,N$を独立変数とした表現は

$$ F[T;V,N]=cNRT-NRT\log\left({T^cV\over \xi N}\right)+Nu $$

上では$cR=1,N=1,\xi=1,u=0$とグラフがシンプルになるような値を使っている。

${\partial U\over \partial S}=T,{\partial F\over\partial T}=-S$が成立していることに注意。

なお、$U$を$T,V,N$で書くと

$$ U(T;V,N)=cNRT $$

であり、$F$を$S,V,N$で書くと

$$ F(S,V,N)=cNR\left({\xi N\over V}\right)^{1\over c}\exp\left({S\over cNR}\right)\left(1-{S\over cNR}\right)+Nu $$

となる

（以上二つのグラフは薄い線で表現している）。