空気抵抗を受ける質点

定数係数の二階線形方程式の例

質量$m$の物体が$F$という力を受けるとき、物体の位置座標${x}$に関する微分方程式である運動方程式$m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= F$が成り立つことが力学で知られている。この$F$が$-K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x}$($K$は比例定数)のように${x}$の時間微分に比例する場合実際、速度が遅い場合の空気抵抗はだいたいこの式であっている。、すなわち、 \begin{equation} m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x} \end{equation} という微分方程式が成り立つ場合を考えよう。

 この方程式に${x}=\mathrm e^{\lambda{t}}$を代入すると、

\begin{equation} m\lambda^2 \mathrm e^{\lambda{t}} = -K\lambda \mathrm e^{\lambda{t}} \end{equation} となり、特性方程式は$m\lambda^2=-K\lambda$となる。この方程式の解は$\lambda=0,-{K\over m}$なので、 \begin{equation} {x}({t})= C_1 + C_2 \mathrm e^{-{K\over m}{t}} \end{equation} が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、$C_1$が${t}\to\infty$での${x}$の値、$C_1+C_2$が${t}=0$での${x}$の値である。

 つまり、初速度を決めることが$C_2$を決め、最初の位置を決めることが$C_1$を決める。未定のパラメータはこのような初期条件が決めることになるのである。

この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時この状況であればボールは水平に動くので、重力は運動とは関係ない。にどのようにボールが運動するかを表している。

運動は、下のように起こる。初速度を変えて「再スタート」させてみよう(初期位置は固定されている)

初速度=


 横軸に時間$t$、縦軸に$x$を取ってグラフにしたのが以下の図である。
初速度をいろいろ変えて運動の様子を見よう。

初速度=

 この微分方程式の解は \begin{equation} {\mathrm d\over\mathrm dt}{x}({t})= -{K\over m}C_2\mathrm e^{-{K\over m}{t}} \end{equation} であるから、$C_1=v_0{m\over K},C_2=-v_0{m\over K}$のとき${x}(0)=0,{{\mathrm d\over\mathrm dt}}{x}(0)=v_0$になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる。「止まるまでの時間」は$\infty$である!とはいえ、速度は指数関数で急速に0に近づくので、見た目は止まったように見えるだろう。厳密に式の通りの運動が起こるのなら、「無限に遅い速度で永遠に動き続ける」ということになる。しかしここで扱っているのは理想化した状態で、実際には式に表した以外の力も働いている。

 この質点に重力が働いている場合は、次のページへ。

空気抵抗を受けて落下する質点

空気抵抗を受けて落下する質点

空気抵抗を受けて落下する質点

 運動方程式に重力$F=-mg$を加えて$-mg$とマイナス符号をつけるのは、図に書いたように上向きに${x}$軸を取ったから。、線形非斉次な方程式 \begin{equation} m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x}-mg \end{equation} にしてみよう。方程式を非斉次にしている$-mg$を消せばさっきの式になるが、その解はすでにわかっている。つまり斉次方程式の一般解は既に知っているから、非斉次方程式の特解を一つ見つけて足せばよい。

 特解を見つける方法はいろいろあるが、ここでは「できるだけ式を簡単に」ということで「両辺が0になるのはどんなときかな?」と考えてみよう。左辺(二階微分)が0になるのは$x$が$t$の1次式なとき。そこで簡単な、${x}=v{t}$を試すと、$0= -Kv -mg$となるから$v=-{mg\over K}$とすれば${x}=-{mg\over K}{t}$という特解を得る。一般解は以下の通りである。 \begin{equation} {x}= C_1 + C_2 \mathrm e^{-{K\over m}{t}}- {mg\over K}{t} \end{equation}

 二階微分方程式だから未定のパラメータ二つでちょうどよい。そのため、${x}$-${t}$のグラフで一点を指定しても曲線は決まらない。一点と、「その点での傾き(微係数)」を指定すると、曲線が一つ決まる。

 結果はもちろん、特解$-{mg\over K}t$が足されるという形になる。よってさっきの場合は「静止状態」になっていったが、この場合は「等速運動」に変化していく。

 これも下のプログラムで動きを見ながら解を確認しよう。

初速度=

空気抵抗を受ける質点