定数係数の二階線形方程式の例
質量mの物体がFという力を受けるとき、物体の位置座標xに関する微分方程式である運動方程式m(dtd)2x=Fが成り立つことが力学で知られている。このFが−Kdtdx(Kは比例定数)のようにxの時間微分に比例する場合、すなわち、
m(dtd)2x=−Kdtdx
という微分方程式が成り立つ場合を考えよう。
この方程式にx=eλtを代入すると、
mλ2eλt=−Kλeλt
となり、特性方程式はmλ2=−Kλとなる。この方程式の解はλ=0,−mKなので、
x(t)=C1+C2e−mKt
が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、C1がt→∞でのxの値、C1+C2がt=0でのxの値である。
つまり、初速度を決めることが
C2を決め、最初の位置を決めることが
C1を決める。未定のパラメータはこのような初期条件が決めることになるのである。
この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時にどのようにボールが運動するかを表している。
運動は、下のように起こる。初速度を変えて「再スタート」させてみよう(初期位置は固定されている)
初速度=
横軸に時間
t、縦軸に
xを取ってグラフにしたのが以下の図である。
初速度をいろいろ変えて運動の様子を見よう。
初速度=
この微分方程式の解は
dtdx(t)=−mKC2e−mKt
であるから、C1=v0Km,C2=−v0Kmのときx(0)=0,dtdx(0)=v0になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる。「止まるまでの時間」は∞である!。
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