定数係数の二階線形方程式の例

質量mmの物体がFFという力を受けるとき、物体の位置座標x{x}に関する微分方程式である運動方程式m(ddt)2x=Fm\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= Fが成り立つことが力学で知られている。このFFKddtx-K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x}KKは比例定数)のようにx{x}の時間微分に比例する場合実際、速度が遅い場合の空気抵抗はだいたいこの式であっている。、すなわち、 m(ddt)2x=Kddtx m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over\mathrm dt}{x} という微分方程式が成り立つ場合を考えよう。

 この方程式にx=eλt{x}=\mathrm e^{\lambda{t}}を代入すると、

mλ2eλt=Kλeλt m\lambda^2 \mathrm e^{\lambda{t}} = -K\lambda \mathrm e^{\lambda{t}} となり、特性方程式はmλ2=Kλm\lambda^2=-K\lambdaとなる。この方程式の解はλ=0,Km\lambda=0,-{K\over m}なので、 x(t)=C1+C2eKmt {x}({t})= C_1 + C_2 \mathrm e^{-{K\over m}{t}} が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、C1C_1t{t}\to\inftyでのx{x}の値、C1+C2C_1+C_2t=0{t}=0でのx{x}の値である。

 つまり、初速度を決めることがC2C_2を決め、最初の位置を決めることがC1C_1を決める。未定のパラメータはこのような初期条件が決めることになるのである。

この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時この状況であればボールは水平に動くので、重力は運動とは関係ない。にどのようにボールが運動するかを表している。

運動は、下のように起こる。初速度を変えて「再スタート」させてみよう(初期位置は固定されている)

初速度=


 横軸に時間tt、縦軸にxxを取ってグラフにしたのが以下の図である。
初速度をいろいろ変えて運動の様子を見よう。

初速度=

 この微分方程式の解は ddtx(t)=KmC2eKmt {\mathrm d\over\mathrm dt}{x}({t})= -{K\over m}C_2\mathrm e^{-{K\over m}{t}} であるから、C1=v0mK,C2=v0mKC_1=v_0{m\over K},C_2=-v_0{m\over K}のときx(0)=0,ddtx(0)=v0{x}(0)=0,{{\mathrm d\over\mathrm dt}}{x}(0)=v_0になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる。「止まるまでの時間」は\inftyである!とはいえ、速度は指数関数で急速に0に近づくので、見た目は止まったように見えるだろう。厳密に式の通りの運動が起こるのなら、「無限に遅い速度で永遠に動き続ける」ということになる。しかしここで扱っているのは理想化した状態で、実際には式に表した以外の力も働いている。

 この質点に重力が働いている場合は、次のページへ。