「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板 (2015年8月〜9月)

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ダランベールの原理による仮想仕事の原理の拡張

カキツバタ? (2015-08-27 (木) 15:05:13)

夏休みから勉強を始めたものです。
質問なのですが、p,87の-∂/∂→x(t)(なにか)・δ→x(t)=0の「なにか」が具体的に何になるのかが分かりませんでした。
∫dt(mv^2/2-U(→x))が作用となるのは分かったのですが・・・
単純な質問ですが、よろしくお願いします。

  • 「なにか」=「作用」ですけど。 -- 前野? 2015-08-27 (木) 15:11:51
  • 勘違いをしていました。ありがとうございました。 -- カキツバタ? 2015-08-27 (木) 16:39:30

ラプラシアンについて

ぐずろく? (2015-08-26 (水) 18:04:26)

P80の変分原理を用いてラプラシアンを導出するところなのですが、どうして
∫▽f(x)・▽f(x)d^3x
という量の変分を考えると
△f(x)=0
が出てくるのでしょうか。
イメージしてみようしたのですが、なぜそうなるのかわかりません。
ご教授をお願いします。

  • 計算自体は書いてあるとおり、(3.76)の変分を取ると(3.77)、それを部分積分すると(3.78)という流れなのですが、この流れのどの部分がわからないのでしょうか?? -- 前野? 2015-08-26 (水) 18:10:43
  • それとも、計算はわかっているがイメージが沸かない、ということでしょうか。イメージとしては、∇fというのがfの微分すなわち変化量のベクトルですから、これの自乗の積分を小さくしようと思ったら、なるべく変化が少なくなるように(つまり凸凹せずに平坦に近い形に)なった方がいい、と考えると、それが△f=0だ、という言い方はできると思います。 -- 前野? 2015-08-26 (水) 18:13:52
  • 回答ありがとうございます。説明が足りていなくてすみませんでした。イメージが沸かないという事での質問でした。概ね理解できたのですが、1つだけイメージできないことがありました。それは、「なるべく変化が少なくなるように(つまり凸凹せずに平坦に近い形に)なった方がいい、と考えると、それが△f=0だ」とあるのですが、1次元だと△fはその点でのfのたわみ(凸凹)度合を表すのはわかるのですが、2、3次元の場合も同じようなイメージでいいのでしょうか? -- ぐずろく? 2015-08-26 (水) 19:15:17
  • 2次元、3次元の場合のラプラシアンのイメージは、「周りのfの平均と、この場所のfの差」というものになります。これが0というのはつまり、「平坦に近い」ということになります。 -- 前野? 2015-08-26 (水) 19:20:32
  • 回答ありがとうございます。説明が足りていなくてすみませんでした。イメージが沸かないという事での質問でした。概ね理解できたのですが、1つだけイメージできないことがありました。それは、「なるべく変化が少なくなるように(つまり凸凹せずに平坦に近い形に)なった方がいい、と考えると、それが△f=0だ」とあるのですが、1次元だと△fはその点でのfのたわみ(凸凹)度合を表すのはわかるのですが、2、3次元の場合も同じようなイメージでいいのでしょうか? -- ぐずろく? 2015-08-26 (水) 19:30:24
  • 先のコメント失礼しました。誤って同じものを載せてしまいました。ご回答無事理解することができました。ありがとうございました。 -- ぐずろく? 2015-08-26 (水) 19:50:22

ラグランジュの未定乗数法

ボーム? (2015-08-07 (金) 09:54:11)

p325のラグランジュの未定乗数法についての質問です。
ラグランジュの未定乗数法を用いて求められた停留点は必要十分な停留点になっているのでしょうか?
例えば、本当は停留点が5つあるのに、4つしか求められないということはあるのでしょうか?

回答を頂けたらありがたいです。

  • すいません、うっかり返答が遅れましてしまってました(というか、返答したつもりでいました)。 -- 前野? 2015-08-26 (水) 18:15:14
  • 未定乗数を使った場合でも出てくる式自体は等価なので、必要な停留点が抜けるということはないと思います。 -- 前野? 2015-08-26 (水) 18:16:00
  • 回答ありがとうございました。スッキリしました。これで安心してラグランジュの未定乗数法が使えます。 -- ボーム? 2015-08-26 (水) 18:43:49

第8章の保存則と対称性について

saboten? (2015-07-28 (火) 14:16:58)

8章について4つほど質問があります。(図書館で借りた第1刷の本を見ています。前にも回答していた質問だったらすみません。)
①p191の(8.1)式の左辺のS($\vec{x}(t);t_i,t_f$)の;の意味は、$t_i,t_f$はSに陽には依存していないという意味だと思うのですが、そうすると、(8.2),(8.3)には;がついていないので、陽に依存しているという事ですか?
②p199の1行目からの、「第一項は積分領域そのものが微小量であるから~」の説明から(8.22)式が導かれる理由がよく分かりません。$\int^{t_f+\epsilon}_{t_f}L(\vec{x}(t)+\delta\vec{x}(t),\vec{\dot{x}})(t)+\delta\vec{\dot{x}}(t))dt$(-式(a)とする)なので、$L(\vec{x}(t)+\delta\vec{x}(t),\vec{\dot{x}})(t)+\delta\vec{\dot{x}}(t))\times\epsilon$かもしくは、(a)を計算していくと、$\int^{t_f+\epsilon}_{t_f}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{x}}(t)}\delta\vec{x}(t) \right)dt$となるので、$\epsilon\times\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{x}}(t)}\delta\vec{x}(t) \right)|t_f$になってしまう気がします。具体的にどういう計算をして(a)が(8.22)式になるのでしょうか?
③p201のネーターの定理の説明で、「作用が不変もしくは変化してもその変化が表面項に留まったとする」という説明ですが、表面項は$\frac{dG}{dt}$(Gは座標と時間の任意の関数)で表したと思うのですが、すると、それが$\frac{dG}{dt}=\int^{t_f}_{t_i}\frac{dJ}{dt}dt$の形になるという事ですか? これが、作用の変化分ではなくラグランジアンの変化分$\delta L=\frac{dJ}{dt}$だと納得できるのですが、どうなのでしょう?
④また、ネーターの定理の変化分が表面項であっても良い理由が分かりません。今までの運動量保存則とエネルギー保存則ももともと、ラグランジアンの形が微小変換したときに共変であった場合に物理法則が共変であって(その座標変換に対して対称性がある)、それだから作用の変化がゼロになる、という理解をしているので、作用の変化が表面項になるという事の意味がよく分かりません。もしも、微小変換が、$t\rightarrow t+\delta t(=t'とする),q_i(t)\rightarrow q_i(t')+\delta q(t')$という変換であったら、保存する量は、$\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\delta q_i+L\delta t$になって、$L\delta t$が表面項に相当するという考えができると思うのですが、それでも良いのでしょうか?それとも、それ以外に一般的に表面項として出てくるものが存在するのでしょうか?
長くなってしまいましたが、回答してもらえると嬉しいです。よろしくお願いします。

  • まず簡単なところから。①の$;t_i,t_f$の;の意味は、「陽に依存しない」という意味ではありません(陽に依存してます)。単にそのまえにある$\{x(*)\}$との区切りの記号として;をつけているだけです。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:27:43
  • (8.2)や(8.3)が;ではないのは、$\{x(*)\}$が$x(t)$の羅列に書きなおされて普通の変数の形になったので区別の必要がなくなったからです。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:29:14
  • ②ですが、この時は積分範囲が$\epsilon$の幅しかないので、この積分ですでに全体に$\epsilon$が一発掛かっています。今微小量の1次しか考えてないので、こう考えて$\epsilon$を前に出した時点で、$\delta x(t)$も$\delta \dot x(t)$も0とみなしてかまいません($\epsilon \delta x(t)$は高次の微小量で計算不要)。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:31:46
  • 次に③ですが、「表面項である」とは$\left[f(t)\right]_{t=t_i}^{t=t_f}$の形になったということです。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:33:04
  • ラグランジアンの変化が${dG\over dt}$なら、作用の変化は$\left[G(t)\right]_{t_i}^{t_f}$なので、これを表面項と読んでます。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:34:17
  • ④の表面項が出てもかまわない理由ですが、少し前に説明しているように、作用に表面項がくっついてもオイラー・ラグランジュ方程式は変化しません。つまり物理的内容は変わらないから、これも対称性の一つだと言えるわけです。 -- 前野? 2015-07-28 (火) 19:35:53
  • 成程!そういう意味だったんですね。①はいつの間にかラグランジアンは時間にも陽に依存するようになっていたんですね。(ラグランジアンが時間にも陽に依存すると考えておくと一般的だからという事ですよね?)②は確かにそう考えれば納得でした。③は表面項の意味するところが分かっていませんでした。④はp98の内容がラグランジアンの変化$delta L$が$\frac{dG}{dt}$としてもオイラーラグランジュ方程式が共変である、という意味だという事に気付いていませんでした。納得です。ありがとうございました。 -- saboten? 2015-07-29 (水) 15:18:22
  • ①ですが、ラグランジアンが時間に陽に依存してなかったとしても、Sという量は「ラグランジアンの時刻$t_i$から$t_f$までの積分」なので、Sの方はこの二つの時刻には依存してしまうことになります。 -- 前野? 2015-07-30 (木) 14:12:20
  • ①についてですが、作用Sの変数(関数)(S($\vec{x(\ast)},t_i,t_f$)の($\vec{x(\ast)},t_i,t_f$)のことです。)の意味について考えてみたのですが、S($\vec{x(\ast)},t_i,t_f$)の形になるのは、$\vec{x(\ast)}$の部分は時間で積分する前の状態($\int Ldt$の形)のラグランジアンLの$\vec{x},\vec{\dot{x}}$の関数の形(経路)を決めるという意味で依存していて、実際にラグランジアンを時間で積分した後に依存する量が、すべて代入した後のものは$t_i,t_f$に依存するという意味でその変数(関数)の形になっている。同様に、ハミルトンの主関数$\bar{S}$も運動方程式を満たす経路のみを考えているという意味で、(8.3)式のように$\vec{x(t_f)},\vec{x(t_i)}$に依存していると表現して、実際にラグランジアンを時間で積分した後の形は、同じように$t_i,t_f$に依存していると考えて正解ですか?それならば、確かに陽に依存すると納得できるのですが。 -- saboten? 2015-07-31 (金) 16:54:55
  • あれ? もしそうだとしても、ラグランジアンを時間で積分したら、ある変数(関数)で表されたものに$t_i,t_f$を代入する形になると考えると、その変数に$t_i,t_f$を代入したものが変数と見なせると言う意味では、$t_i,t_f$は陽に依存していないとも考えられますか?いずれにせよ、依存はしていますが。 -- saboten? 2015-07-31 (金) 23:22:30
  • $\{x(*)\}$は実は$x(t_i)$から$x(t_f)$までの全ての$x(t)$が入ってます。Sは「$t_i\leq t\leq t_f$の全ての時刻における$x(t)$」全部の関数になってます。だから、実は「どれだけの数の$x(t)$に依存しているか」という部分すら、$t_i,t_f$に依存してます(普通の意味の依存より、もっと強烈な依存です)。 -- 前野? 2015-07-31 (金) 23:30:42
  • ?? えーと、結局の所、①作用Sとハミルトンの主関数$\bar{S}$の変数(関数)の形については、7/31に書いた考え方で大丈夫ですか? ②S, $\bar{S}$の変数$t_i$,$t_f$は陽に依存しているとも見なせるし、陽に依存していないとも見なせる(ただし、いずれにせよ依存してはいるが、普通の依存よりももっと強烈な依存になっている)という事ですか? -- saboten? 2015-08-01 (土) 23:36:39
  • 解答してください、ということですが、この質問に対する中身はすでに上に書いた通りです。「大丈夫ですか?」ということですが「陽に依存しているとも見なせるし、陽に依存してないとも見なせる」のようないいかげんな書き方では、大丈夫とも大丈夫でないとも言えません。依存の仕方がまるっきり違うということをわかってもらえばいいのです。 -- 前野? 2015-09-09 (水) 22:59:51
  • 勘違いをしているようですが、7/31に書いた考え方というのは、16:54:55の方です。その考え方が合っているのかはまだ何も言ってませんよね?その事についてその考え方で大丈夫かどうかを聞いています。 -- saboten? 2015-09-10 (木) 21:20:11

C.1.3.曲線座標とベクトル

yh? (2015-07-19 (日) 22:55:45)

お世話になります。
p.338-339についてですが、基本的にD次元で話をしていると思うのですが、
C.22の手前で、急に
$dX^i=\sum_j \frac {\partial X^i}{\partial Y^j} dY^j$
とY成分がでてきます。
これは
$dX^i=\sum_j \frac {\partial X^i}{\partial X^j} dX^j$
のようになるのではないかと思ったのですが、どうなのでしょうか?

  • これはY成分というわけではなくて、Xで表される座標系$(X_1,X_2,X_3,\cdots)$からYで表される座標系$(Y_1,Y_2,Y_3,\cdots)$への座標変換ですので、違う座標であることを表すために文字を変えていると理解してください。 -- 前野? 2015-07-20 (月) 00:10:17
  • ありがとうございます。あほな質問でした。すみません。 -- yh? 2015-07-20 (月) 01:02:24

ホロノミックな拘束条件のラグランジュ未定乗数の導出

yh? (2015-07-12 (日) 17:47:37)

お世話になります。
p.131の5.78の式変形
$G_j(x_k+\delta x_k)-G_j(x_k)=0$ → $\sum_{k} \frac {\partial G_j}{\partial x_k} \delta x_k=0$
のところがわかりません。これは自明なことなのでしょうか。
p.135の補足の部分は理解できたのですが。
申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

  • $G(x_k+\delta x_k)$をテイラー展開したと思えば、$G(x_k)+\sum_k {\partial G\over\partial x_k}\delta x_k+{1\over2}\sum_{j,k}{\partial^2 G\over\partial x_j\partial x_k}\delta x_j\delta x_k +\cdots$になるわけですが、それは大丈夫でしょうか。 -- 前野? 2015-07-12 (日) 18:14:47
  • ありがとうございます。それでわかりました。大変助かりました。あと、最初書き込んだとき、TeXがうまく打てていなかったようなのですが、なにが悪かったでしょうか? -- yh? 2015-07-12 (日) 18:21:53
  • ありがとうございます。それでわかりました。大変助かりました。あと、最初書き込んだとき、TeXがうまく打てていなかったようなのですが、なにが悪かったでしょうか? -- yh? 2015-07-12 (日) 18:28:03
  • TeXですが半角の「¥」と半角の「\」(この二つは本来同じ文字の筈なのですが)がなぜか区別して入力されてしまう場合があるようです。 -- 前野? 2015-07-12 (日) 18:48:42
  • わかりました。著者の先生にこうして直接質問できるというのは素晴らしいです。ありがとうございました。 -- yh? 2015-07-12 (日) 19:00:02

正準変換について

とき? (2015-07-05 (日) 14:32:51)

位相空間の面積を変えない例でQ=cosθq+sinθpなどを挙げていますが、qとpの単位は基本的に異なると思うのですが、単位の異なるものを足すというのはどのように正当化されるのでしょうか。

  • なるほど、それは大事な視点です。単純に考えるとそれはまずそうに思えるのですが、実は正準変換の中には「qをα倍して、pを1/α倍する」というものもあります。つまり、p,qを適当にリスケールすることは正準変換で常に可能なのです。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 14:51:47
  • 次元の違いというのは長さ・質量・時間の単位を変更した時にどのように物理量がスケール変換されるか、ということで決まるわけですが、正準変換はそれとは別に、qとpのスケールを(逆数で)変えることができるようになってます。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 14:55:17
  • 一般に、次元が違うqとpが足せないのは、単位の変更をしたときにqとpが違うスケール変換を受けてしまうからですが、q,pを各々の逆数で定数倍する正準変換を併用すると、「qとpが常に同じスケール変換を受ける」ようにできることになります。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 14:58:01
  • もし、「次元が違う量は足せない」という点に潔癖に対処するなら、まずはq,pを定数倍(←この定数は次元を持つ定数でもよい)する正準変換をしてq,pが同じ次元を持つように変えてから足算をすればよい、ということになるでしょう。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 15:01:13
  • 少し難しくて、しっかりと理解できていないのですが、Q=cosθq+sinθpのcos,sinの前に単位が合うように1という単位を持つ量があると考えてよいということでしょうか。またJという量は単位を持ってもよい量なのでしょうか(正準変換ならば1ではあるがそれは無次元量でなくてはならないのでしょうか)。 -- とき? 2015-07-05 (日) 16:52:15
  • たとえば調和振動子の場合、ハミルトニアンは${p^2\over2m}+{m\omega^2q^2\over 2}$ですが、$p\to \sqrt{m\omega}P,q\to{Q\over\sqrt{m\omega}}$という正準変換をすると$K={\sqrt{\omega}\over2}\left(P^2+Q^2\right)$となって、座標と運動量を同じ次元にすることができます。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 23:06:14
  • 要は定数倍して次元合わせする、という操作も「 -- 前野? 2015-07-05 (日) 23:07:28
  • 要は「定数倍して次元合わせする」という操作も、正準変換の一種になるということで、いったんそういう変換をやっていると思えば、p,qを混ぜる変換があっても心配しなくてもよい、ということになります。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 23:08:45
  • Jに関しては心配は無用で、分子は$Q,P$の積、分母は$q,p$の積になってます。$q$や$Q$の次元が変わっても($p={\partial L\over \partial \dot q}$のように定義されるので)この二つの積の次元は常に作用と同じ次元になります。ですから、Jの次元は(作用)÷(作用)で常に無次元です。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 23:12:47
  • ありがとうございます。 -- とき? 2015-07-05 (日) 23:47:38

無題

? (2015-07-04 (土) 16:42:24)

256Pの(10.43)から45まで符号がおかしくないでしょうか
最終てきにーPsinθとなる気がします

  • ははぁ。確かに。247ページで定義したときとp,qの役割を逆にしてしまってますね。ということはθの定義がひっくり返ってしまうので、最終結果が$-P\sin\theta$で正しいと思います。修正はそのうちwebに載せます。 -- 前野? 2015-07-05 (日) 01:16:37

無題

ぴげ? (2015-07-03 (金) 01:27:13)

こんばんは
よくわかる解析力学の購入を検討しているものですが、第三刷りの発売はいつ頃となりそうでしょう?

  • 現在のところ未定です。 -- 前野? 2015-07-03 (金) 07:48:16
  • 遅くなってしまい申し訳ありません。 -- ぴげ? 2015-07-04 (土) 03:09:14
  • ありがとうございました -- ぴげ? 2015-07-04 (土) 03:09:32
  • 第3刷は11月にできる予定です。 -- 前野? 2015-10-22 (木) 09:59:00

ポアッソン括弧

やま? (2015-06-19 (金) 18:08:21)

p249でお聞きしたいことがあります。

p249の一番下のところで「基本ポアッソン括弧」の話になっており、${Q,Q}、{P,P}、{Q,P}$と何で微分しているかが明示されていませんが、この場合は$QとP$で微分するポアッソン括弧という解釈で合っていますでしょうか。

簡単な質問で申し訳ありませんがよろしくお願いします。

  • と考えてもいいです。このあたりで説明しているのは正準変換であれば(Q,P)の座標でも(q,p)の座標でもポアッソン括弧は同じだ、ということなので、この場合でも、どの座標でも結果は一緒になります。 -- 前野? 2015-06-19 (金) 20:12:01
  • わかりました。ありがとうございました。 -- やま? 2015-06-19 (金) 23:51:58

ルジャンドル変換

はこ? (2015-06-16 (火) 22:42:31)

「よくわかる解析力学」を購入し重宝しているものです。一つ質問があります。

ラグランジアンからハミルトニアンに変更する際にルジャンドル変換を施していますよね。使うとうまく変換出来るのはよく分かるのですが、何度読み返してもどこか腑に落ちない・・・
物理的に、あるいは数学的にルジャンドル変換をイメージできたりしないんでしょうか?

  • ルジャンドル変換の「数式の操作」としての意味については付録に書いたように「変数変換によって情報が失われないようにする」という意味になります。物理的な意味としては、電磁気学の例を電流密度のエネルギーとルジャンドル変換というページに書きました。中程にコンデンサを使った物理的説明がありますのでそこを読んでください。また、熱力学でのルジャンドル変換の物理的説明は「今度こそ納得する 物理・数学再入門」という別の本の12章に書いてます。 -- 前野? 2015-06-16 (火) 23:25:27
  • コンデンサにしろ熱力学にしろエネルギーをルジャンドル変換しているんですが、どちらも「外部にエネルギー供給源があるような場合、その供給源が投入してくれる部分も含めてエネルギーとしないといけない」ということからルジャンドル変換の意味がわかります。ラグランジアンとハミルトニアンの話には直結はしてませんが、「なぜこれをするのか」というところの雰囲気は分かるかと。 -- 前野? 2015-06-16 (火) 23:29:30
  • 数学的には「そうなるように補正項を追加した」、物理的には「エネルギーの供給源まで考えて保存量を作り出す」と言えそうですね。分かりました。ありがとうございます。 -- はこ? 2015-06-19 (金) 17:37:46
  • 数学的には「そうなるように補正項を追加した」、物理的には「エネルギーの供給源まで考えて保存量を作り出す」と言えそうですね。分かりました。ありがとうございます。 -- はこ? 2015-06-19 (金) 18:01:38

6,69式について

りょう? (2015-06-15 (月) 18:32:41)

6.69式の中にkが二つ出てきてますが(行列の中と最初)、片方はいらないのではないでしょうか。

  • 確かにそのとおりです。前のを取り除いておいてください。 -- 前野? 2015-06-16 (火) 08:22:12

無題

? (2015-06-15 (月) 12:20:14)

9-2の問題の解答p361ですが、矢印の向きが逆ではないでしょうか

  • ほんとですね。重力がない場合の図を書きなおして作ったはずなのに、なぜ逆になってしまったのか。次の版で直します。 -- 前野? 2015-06-16 (火) 08:21:02

p155の固有ベクトル

りょう? (2015-06-15 (月) 01:24:49)

p155の行列Tの中に出てくる固有ベクトルは固有値が2-√2の場合と2+√2の場合が逆だと思われます。

  • すいません、その通りです。 -- 前野? 2015-06-15 (月) 02:20:38

二重振り子の近似

りょう? (2015-06-14 (日) 14:29:27)

何度も申し訳ありません。θ1,θ2が微小であってもその時間微分が必ずしも微小であるわけではないですよね。この場合は例えば振り子のひもの長さが長い、もしくはおもりの質量が大きいなど、時間微分も小さくなるような状況を考えているのでしょうか。

  • もちろんこの振子の場合は常識的に時間スケールが「秒」単位なので、$\theta$と$\dot\theta$が大きく大きさが違うなんてことは考えていません。実際のところ時間のスケールに対応するのは$\sqrt{\ell\over g}$($2\pi$掛けると周期)という量になります。 -- 前野? 2015-06-14 (日) 20:14:58
  • 本来、何かと何かを比較して「こっちの方が小さい」と捨てることができるのは次元が同じもの同志の場合なので、$\theta$と$\dot\theta$を直接比較はできないわけです。実際(6.52)では、$M\ell^2(\dot\theta_1)^2$と$Mg\ell(\theta_1)^2$を残していることになってますが、この二つの前の係数が${\ell\over g}$違うことで、次元は合ってます。 -- 前野? 2015-06-14 (日) 20:19:44
  • 実際に計算するときは、そのあたりの「次元合わせ」の部分は(各項の次元はあっているはずなので)考える必要はなく、$\theta$や$\dot\theta$の各々について「二次まで」と考えて計算していけばよいわけです。 -- 前野? 2015-06-14 (日) 20:29:42
  • わかりました。ありがとうございます。 -- りょう? 2015-06-14 (日) 22:34:08

二重ふり子の近似について

りょう? (2015-06-14 (日) 02:50:02)

二重振り子の式6.52から式6.53にするときに近似を用いていますが、cosθ1,cosθ2の項はテイラー展開の二次の項まで、cos(θ1-θ2)の項は1としていますが、なぜこのような近似になるのでしょうか。θ1-θ2の値もθ1やθ2の値より大きくなることもあるのでcos(θ1-θ2)ももしかしたら二次まで展開したほうがよいのではないかと考えました。

  • もし展開するとしたら、$\cos(\theta_1-\theta_2)= 1-{(\theta_1-\theta_2)^2\over 2}+\cdots$ですから、1からのずれは二次のオーダーです。問題にしている項は$\dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)$なので、$\dot\theta_1\dot\theta_2$の時点で2次のオーダーなので、cosの方は0次だけ取ってもよいことになります。 -- 前野? 2015-06-14 (日) 09:39:10
  • なるほど、分かりました。ありがとうございます。 -- りょう? 2015-06-14 (日) 12:21:21

演習問題5-1の誤植

りょう? (2015-06-07 (日) 01:26:45)

角運動量の保存のd(mv)dtが何を表すかを書いている部分が間違っています。
エネルギーの微分がベクトルになっています。
ルンゲレンツベクトルの式1行目の分母がr^3の項の符号、3行目の最後の項の符号が違います。

  • ああ、すみません。(E.82)の}の下の分母は$r^2$でなく$r^3$で、(E.83)の最後の項は$-{GMm\over r^3}\vec x\cdot \vec v$ですね。 -- 前野? 2015-06-07 (日) 07:48:02
  • (E.84)についても御指摘のとおりです。近日中にファイル差し替えます。 -- 前野? 2015-06-07 (日) 07:48:40

よく分かる解析力学p20演習問題1-3

? (2015-05-10 (日) 00:55:45)

解答では
速さの2乗の関係が三平方の定理の形になっていることから垂直だ。
と言っているが、運動の様子はベクトルでやるべきだと思います。

2乗関係が三平方の定理の形でも実際の運動は違うとおもいます。

  • もちろん、ベクトルでやることもできます。三平方の定理が成り立つということは結局$\vec v\cdot\vec V=0$ということなので、言っていることは同じです。しかし「ベクトルでやるべき」と解き方の方向を限定する必要はないでしょう。「ベクトルでも解ける」「三平方の定理でも解ける」(←実は中身を見ればこの二つの解き方は同じことをやっている)というだけのことだと思います。 -- 前野? 2015-05-10 (日) 01:07:12
  • 「実際の運動は違うとおもいます」という意味がわからないのですが、実際の運動では三平方の定理が成り立たなくなっているということでしょうか??(そんなことはないと思うんですが) -- 前野? 2015-05-10 (日) 01:08:09

作用変数と断熱不変量

M.K? (2015-05-06 (水) 11:36:36)

p297の作用変数について質問があります。
作用変数は作用とは別物と考えたほうが良いのでしょうか?
また、位相空間上での面積を表わす作用変数が保存する場合、断熱不変量と呼ばれる
とありますが、作用'変数'が不変というのがよくわかりません。
(変数という名前と不変量というのが自分の中で混乱しています・・・)
よろしくお願いします。

  • 作用変数と作用は(関係はしてますが)別物と思ってください。p297で書いている作用変数はあくまで、「周期運動の間に位相空間での軌跡が囲う面積」です。断熱不変量だというときは(この問題でやっているように)運動の境界条件を変えてもこの面積が変わらないことを「不変だ」と表現してます。 -- 前野? 2015-05-06 (水) 16:05:27
  • 作用変数に「変数」という名前がつけられているのはこの面積つまり$J$を正準変数にするように正準変換して解く方法があるからです(角運動量やハミルトニアンや、保存する量を「正準変数」にするように変数変換する方法そのものを正準変数にする方法は本書の中でも使ってます。 -- 前野? 2015-05-06 (水) 16:11:42

磁気感受率について

電磁気難しい? (2015-05-02 (土) 21:09:33)

電磁気学の方の掲示板で打ち込めなくなってしまいまして、こちらのページに書いています、申し訳ありません。磁気感受率の内容については理解しました、ありがとうございました。


文章の誤表記の訂正箇所についての表示

Napoli? (2015-04-09 (木) 01:22:15)

いつもありがとうございます。
いろいろと修整箇所が訂正され、より正確なものに仕上がっていくのは良いですね。

文章の誤表記の訂正については、ウェブサイトでの訂正表示のみになっているということですが、このように訂正PDFに載っていない訂正箇所と、載っている訂正箇所をウェブ表示上区別できると助かります(色とか字体とか囲みとかマークとか、別に分離して表示するとか)。なにぶん件数が多いですからね。
新年度でお忙しい最中と思いますが、可能な時に、よろしければご検討ください。

  • 次に訂正箇所PDFを作る時に検討してみます。 -- 前野? 2015-04-09 (木) 07:49:25

誤植?

hiro? (2015-04-09 (木) 01:10:41)

・(28w)の(E.157)の行列式のかけ算で最初の行列式の2列3行のrsinθの前にマイナスが抜けていませんか?また、2番目の行列式の3列2行の分母にrが入るのではないでしょうか?
・(30w)の(E.175)の最後の式の括弧の中の2項目のrは要らないのではないでしょうか?

  • すいません、御指摘のとおりです。 -- 前野? 2015-04-09 (木) 07:49:05

表記の解釈(訂正)

hiro? (2015-04-09 (木) 00:56:38)

TeXがうまく打てませんでした。

P286の問い11-1のヒント(P351)と解答(P368)で使われている$$x_{j0}$$は$$x_{j}^{(0)}$$、$$x_{j1}$$は$$x_{j}^{(1)}$$という解釈でよいでしょうか?
どうしても、(D.123)から(D.124)が導けず、悩んでいます。

  • (D.123)から(D.124)を導くに当たって、(D.123)右辺第2式の第2項が全てのxiについてやったとき、0になるのですよね? -- hiro? 2015-04-09 (木) 00:59:10
  • すいません、$x_{j1}$と書いているのは$x_j^{(1)}$($x_{j0}$も同様)です。 -- 前野? 2015-04-09 (木) 07:35:26
  • (D.123)の第2項は、もともと全てのjで足されていたものが、j=iの部分を抜き出しています(それをさらに$\alpha_i$を使って書きなおしたものが第1項)。つまり、第2項の中からi=jの場合のものがなくなった分、$-{1\over2m}(\alpha_i)^2(t_1-t_0)^2$や$-\alpha_ix_i^{(0)}$が現れたわけです。 -- 前野? 2015-04-09 (木) 07:40:13
  • これを繰り返し行くと$\sum_j$から足算する項が減っていって、全部終わった時には$\sum$がなくなります。 -- 前野? 2015-04-09 (木) 07:41:14
  • なるほど!よく分かりました。ありがとうございます。 -- hiro? 2015-04-09 (木) 12:55:30

表記の解釈

hiro? (2015-04-09 (木) 00:54:50)

P286の問い11-1のヒント(P351)と解答(P368)で使われているx_{j0}はx_{j}^{(0)}、x_{j1}はx_{j}^{(1)}という解釈でよいでしょうか?
どうしても、(D.123)から(D.124)が導けず、悩んでいます。


誤植?

hiro? (2015-04-07 (火) 18:30:52)

本日の「出版後に発見された内容のミスについて」に掲載されていないものを以下に指摘したいと思いますが、ご確認いただけますでしょうか?

・P109 (4.83)の右辺第2式第3項の分子のm1m2の前の2は要らないのでは?
・P141 (6.6)の右辺第4項のUは3次の微分ではないですか?
・P144 (6.19)の右辺第2項の3の前のマイナスはプラスではないですか?
・P237 11行目のLベクトルの式でIxxの後にωx,IYYのあとにωY、Izzのあとにωzが抜けていませんか?そこから3行下の{*,Izzの後もωzが抜けていませんか?
・P315 (A.45)の左辺の頭にdetが抜けていませんか?
・P334の(B72)の次の行で「xを一定としてfチルダ」のチルダは必要ないのでは?
・P355 (D.51)の第2式2項目目のプラスがマイナス、第3式2項目目のプラスもマイナス、(D.52)の右辺第2項のプラスはマイナスではないですか?
・P356 (D.57)の最後の式にTが抜けていませんか?
・P359 (D.73)ベクトルxGはxRの間違いではありませんか?
・付録E(7w)の演習問題9-4のヒント6行目は、同符号ではなく、異符号、10行目は増加ではなく減少ではありませんか?
・(13w)(E.74)で右辺分子の第1項目にマイナス記号、第2項目はプラス記号になりませんか?
・(14w)(E.84)の最後の式で「かける」の上に矢印があります。かけるの前にベクトルxが抜けているのでは?
・(15w)1行目は右辺は-Cのマイナスはいらないのでは?
・(17w)演習問題6-3の解答でレイアウトが崩れ、(E.105)の前に入るべきdXが(E.108)の左に浮いています。
・(21w)(E.130)右辺第1項の前にマイナスが要りませんか?
・(22w)(E.137)の右辺第1式の分子の第4項目目のsinψはcosψでは?また、分母のεにxの添え字が抜けていませんか?

以上です。最終的な解答に関係がない箇所もありますが、よろしくお願い申し上げます。

  • 7wについては、間違っているのは$\cos\theta>{p_\phi\over p_\psi}$の方でした(不等号が逆)。$\cos\theta$は$\theta$が増えると減少する関数なので、グラフの右側では$\cos\theta$の方が小さくなります。 -- 前野? 2015-04-08 (水) 00:14:41
  • そのほかの部分は御指摘のとおりです。たくさん修正点指摘下さいましてありがとうございます。回答ファイルなどは近日中に修正したいと思います。 -- 前野? 2015-04-08 (水) 00:32:51
  • 早速、検討、対応いただき、ありがとうございます! -- hiro? 2015-04-09 (木) 00:48:24

教えて下さい

hiro? (2015-04-07 (火) 17:41:02)

問い10-5の解答で(D.100)の式が最後、簡単に=1となるのでしょうか?
ヒントからして、問題を解く出発点のようなのですが、理解ができません。
2項あるうちの後ろの項は、(D.95)より1になると思うのですが、直感的には前の項も1になり、(D.100)は答えは=2になってしまうような気がするのですが。。。

  • この式は、まず、「qはP,Qの関数である」($q=q(P,Q)$)と、「Pはq,pの関数である」($P=P(q,p)$)、「Qはq,pの関数である」($Q=Q(q,p)$)を組み合わせて、$q=q(Q(q,p),P(q,p))$という式を作って、この式の両辺をqで微分した、と思えばわかります。 -- 前野? 2015-04-07 (火) 19:51:48
  • $q=q(Q(q,p),P(q,p))$という式は実はq=qという当たり前の式を回りくどく書いているだけなので、両辺をqで微分すると1になります。左辺が1になるのは当然です。右辺は「Pに含まれるq」と「Qに含まれるq」の二箇所を微分することになりますが、その足算の結果として1になります。 -- 前野? 2015-04-07 (火) 19:53:36
  • なるほど!qをqで偏微分するんですね。納得です。 -- hiro? 2015-04-07 (火) 20:31:24

テスト

前野? (2015-03-29 (日) 18:02:30)

掲示板不調のため、テストです。


修正ミス?

横山? (2015-03-11 (水) 22:09:58)

最近更新されたp113のミスですが、ドットは不要なのではないでしょうか。ドットだと次元的にもおかしいですし。

  • すいません、ほんとにその通りで、何をどう勘違いしていたのか。戻します。 -- 前野? 2015-03-11 (水) 22:28:39

修正PDF等、要修正箇所、数点

Napoli? (2015-03-08 (日) 04:33:15)

膨大な訂正更新、ありがとうございます。

(1) PDFの iv p113の(5.8)の2行上についての修正で、2つ目の Q にドットが抜けています。
(2) ホームページの修正箇所の説明で、 p184について、式番号が(7.56)のはずなのに(5.56)になってます。
(3) PDFの viii p208 についての修正で、肝心の修正箇所が消えています。
(4) PDFの viii p214 の修正「るものだからである」が抜けています。(これは自作容易なので不要ですが)
(5) PDFの xi 冒頭に二重枠 p267 があるべきですが、抜けています。

以上ご報告まで。

  • ありがとうございます。(4)については、日本語の書き間違いの部分については貼り付けるほどのものでもなかろうということで(他も)省略させていただいてます、すみません。(5)については、実は前のページのxから続いているのでう(修正部分が長すぎるのが問題で、ほんとは1ページにまとめるべきでした。 -- 前野? 2015-03-08 (日) 07:44:34
  • (1)のドットがまだ抜けたままのようです。 -- Napoli? 2015-03-09 (月) 07:22:45
  • あ、すいません。早急に直します。 -- 前野? 2015-03-09 (月) 14:30:14

p12の質問です。

ボーム? (2015-02-25 (水) 18:54:58)

昨日から第2刷で勉強している者です。
質問があります。
p12の13行目の「この二つを決めれば、次の「加速度」は運動方程式から決まる。」という記述なのですが、どうして次の「つまり「座標」「速度」がある瞬間の状態を記述する量であり、力学とはその二つの状態量の変化を追いかける学問である。」という記述につながっていくのかがわかりません。
それについて教えて頂けたらと思います。

  • 座標、座標の一階微分(速度)、座標の二階微分(加速度)、さらに三階微分四階微分といろんな量があるわけですが、二階微分から後は全部運動方程式で決まるので、運動方程式で決まらないのは座標と速度です。つまり「ある瞬間の状態」を表すには座標と速度だけがあればよい。そしてその瞬間から後は座標と速度がどうなるかを計算していけばいい(そして、その計算をするのが「力学」)ということです。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 07:07:18
  • 回答いただきありがとうございました。とても的確な説明だったので、理解することができました。 -- ボーム? 2015-02-26 (木) 12:24:14

解説お願いします

たじま? (2015-02-20 (金) 22:42:45)

202ページのネーター定理の下、特に時間並進の部分についてよくわからないので少し細かく教えていただけませんか

  • えっと、どの辺りがよくわからないのでしょう? -- 前野? 2015-02-20 (金) 22:48:47
  • まず$\delta q_i=\epsilon \dot{q_i}$はどのように出てきたのですか。199ページだとマイナスがありますが、これとは別なのでしょうか -- たじま? 2015-02-20 (金) 23:01:16
  • ここで行っている『時間並進』は$t\to t+\epsilon$という変更を行った場合なので、$\delta q_i(t)=q_i(t+\epsilon)-q_i(t)$として、これを$\epsilon$が小さいとして展開して$\dot q_i(t)$となります。199ページとは違う移動です(違いは二つ。199ページでは到着点しか動かしてなく、しかもtの正方向への平行移動なので、むしろ$t\to t-\epsilon$という変換)。 -- [[ 前野]] 2015-02-20 (金) 23:24:43
  • なるほど、理解できました。そのあとの、積分の上端と下端を並進させると表面項が出る、というのがわかりません -- たじま? 2015-02-20 (金) 23:46:55
  • これは積分が$\int_{t_i}^{t_f}$から$\int_{t_i+\epsilon}^{t_f+\epsilon}$に変わったとかんがえると、$\int_{t_f}^{t_f+\epsilon}\mathrm dt$という積分が余り、$\int_{t_i}^{t_i+\epsilon}$という積分が足りなくなります。$\epsilon$が微小なので積分$\int \mathrm dt$が単に$\epsilon$を掛けるだけになる、と考えると、$L\epsilon$($t=t_f$における)と$-L\epsilon$($t=t_i$における)が出てくると考えればよいかと。 -- 前野? 2015-02-20 (金) 23:55:36
  • つまり、いま考えているのは、作用の積分区間をずらした場合の話で、(8.30)の右辺はそれを座標変換として進めている、という解釈でいいのでしょうか -- たじま? 2015-02-21 (土) 00:14:44
  • ネーターの定理というのは「作用$\int L \mathrm dt$」という量がある変換をした時に「(1)変化しない。(2)変化するが、その変化が表面項になる。」の二つの場合に成立する定理で、(8.30)を書いた時点では、積分区間をずらすとかそういうことは考えずに、とりあえず作用の変化量を出してみたという状況です。空間並進の場合は(1)に対応していて、それがそのまま0になります。時間並進の場合は(時間並進という計算は本質的に積分区間の変更と同じ計算なので)表面項の出る(2)に対応します。時間を変換しているので時間積分は変化せざるを得ない(不変ではいられない)のですが、その変化量は表面項の形になる(なぜそうなるかを説明する方法として、積分区間がずれると考えてもよい)ので、幸いにもネーターの定理が使える、ということです。 -- 前野? 2015-02-21 (土) 06:31:04
  • そういうことだったんですね。ようやく理解できました。ありがとうございました。 -- たじま? 2015-02-21 (土) 17:28:42


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Last-modified: 2016-09-18 (日) 11:18:03 (1156d)