「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板 (2016年5月まで)

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P137[演習問題5-1]について

昔の物理学生? (2016-05-30 (月) 15:28:39)

二点ご教示お願い致します。
1.解答の14wの(E.83)において真ん中の式が-(GMm/r^3)x・vとなっていますが、-ではなく+ではないでしょうか。
2.問題本文の(3)ルンゲ-レンツ・ベクトルと呼ばれる、mv✕L(以下略)のmがあると解答と整合性がなくなります。もしmがないとすると、(E.84)の一行目の右辺の第2項においてmは不要であるかと思います。

  • (E.83)の符号は+です。後日訂正版を作ります。 -- 前野? 2016-05-30 (月) 19:25:36
  • 問題文の方のmは消しておいて下さい。 -- 前野? 2016-05-30 (月) 19:26:31
  • ミスが多くてすみません。見つけていただいてありがとうございます。 -- 前野? 2016-05-30 (月) 19:26:45
  • 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-30 (月) 19:46:46

P358問い5-4の解答について

昔の物理学生? (2016-05-30 (月) 13:36:33)

  • mgX^2をXで微分した時、-mgとなっていますが、-2mgXではないでしょうか。
    それ以降の式もどうように-mgではなく、-2mgXではないでしょうか。
  • あ、そうですね。すいませんうっかりしていたようです。 -- 前野? 2016-05-30 (月) 19:22:29
  • 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-30 (月) 19:46:40

P136の(5.96)の意味について

昔の物理学生? (2016-05-29 (日) 17:57:39)

既に2014-06-22(日)と2014-07-02(水)に質問に出ていますが、追加で質問です。(5.96)の二つ上の行の「最後に」から一つ下の行「がわかった。」までの意味は、「qiとQiが独立変数の場合には、qiとQiはバラバラに動くから、qiとQiが相互に関連しつつGj=0の上を動くのではない。従って、(5.96)が0になるとは限らない。ところが、Gj=0を解いた後には、Gj=0の上をqiとQiは互いに関連付けられて動くようになる。それ故、(5.96)が成立する」ということで宜しいでしょうか?

  • はい、拘束を満たしつつ変化するのでqの変化とQの変化に関係がつく、ということです。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:40:18
  • 有難うございます。理解に自信が持てました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-29 (日) 19:53:43

P136(5.93)について

昔の物理学生? (2016-05-29 (日) 15:25:25)

どうして左辺が右辺になるのか分かりません。具体的には右辺の第3項の二つ目の式-(d/dt)(∂L/∂(dQj/dt))がどこから出てくるのか分かりません。ご教示お願い致します。

  • (5.93)の1行めの最後にある、$-{\mathrm d \over \mathrm dt} \left( {\partial L\over \partial \dot q_i} +\sum_j{\partial L\over \partial \dot Q_j}{\partial \dot Q_j\over \partial \dot q_i} \right)$の${\mathrm d\over\mathrm dt}$が、その後ろにある${\partial L\over \partial \dot Q_j}$を微分した結果です。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 15:51:22
  • 分かりました。点変換の場合の微分(5.7)ですね。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-29 (日) 16:05:27
  • ${\partial \dot Q_j\over\partial \dot q_i}$が${\partial Q_j\over\partial q_i}$になっているところを不思議に思ったのかもしれませんが、$\dot Q_j=\sum_i {\partial Q_j\over\partial q_i}\dot q_i$ということを使うとそれはわかります。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 16:05:53
  • 行き違い失礼しました。よく理解できました。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-29 (日) 16:06:30
  • あ、打っている間に行き違いになりましたね。そういうことです。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 16:07:19
  • 休日にご面倒をお掛け致しました。有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-29 (日) 16:12:54

P132(5.79)について

昔の物理学生? (2016-05-27 (金) 11:38:51)

三行目の「導入することにしよう。」までは理解できるのですが、(5.79)の右辺になぜΣが入るのが分かりません。比例するだけならば、Σは不要かと思うのですが。

  • どちらかと言うと、(5.79)になりそうなのが分かっていて、議論が展開しているような気もします。 -- 昔の物理学生? 2016-05-28 (土) 16:39:10
  • たとえば拘束条件が$G_1,G_2$と二つあったとします。すると、(5.79)の右辺は「${\partial G_1\over \partial x_k} $に比例する部分」と「${\partial G_2\over \partial x_k}$に比例する部分」の両方を含んでよいことになります。つまりこの場合、右辺は$\lambda_1{\partial G_1\over \partial x_k} +\lambda_2{\partial G_2\over \partial x_k}$となるべきで、足算しておかないと二つの条件だけ片方だけを考えたことになります。-- 前野? 2016-05-28 (土) 17:14:22
  • なるほど、λ二つのケースで簡単に分かりました。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-28 (土) 18:24:36

P133(5.83)について

昔の物理学生? (2016-05-27 (金) 11:09:56)

第一項の計算結果が=Gjとなっていますが、=-Gjではないでしょうか。
最終的に、Gj=0になるのは変わりませんが。

  • 確かにその通りです。すみません。 -- 前野? 2016-05-27 (金) 11:36:54
  • 細かくて失礼しました。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-27 (金) 11:39:07

P46

昔の物理学生? (2016-05-26 (木) 11:20:08)

(2.75)を変形して、「以上よりdx/dl=(c1-y)/2λ」となっていますが、dx/dl=(y-c1)/2λではないでしょうか。(2.77)には影響ありませんが。

  • ああ、マイナス符号が落ちてますね。訂正しておいてください。 -- 前野? 2016-05-26 (木) 13:48:53
  • 有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-27 (金) 11:03:21

オイラーラグランジュeqについて

ちゃまろ? (2016-05-25 (水) 14:19:07)

p.328で、L(x(τ),dx/dτ)と書いてありますが、x(τ)を決めれば、dx/dτも決まるのだから、L(x(τ))としてらいけないのですか?

  • その後の説明でLのうちxに異存する部分と(dx/dτ)に依存する部分を分けて説明しているので、ここでは別個に書いています。 -- 前野? 2016-05-25 (水) 19:14:28
  • もう一つ書き忘れましたが、L(積分する前)は「あるτでのL」なので、一つのLを指定しただけではその時点でのxは決っているけど微分の方はまだ決まっていません(あらゆるτでのxが指定されて初めて微分が決まる)。その意味でも、Lを書くときは両方に依存する形で書いておくべきです。 -- 前野? 2016-05-26 (木) 07:17:34
  • なるほど。丁寧に説明していただきありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-06-12 (日) 23:13:19

p.34について

ちゃまろ? (2016-05-23 (月) 20:05:44)

Iをxiで微分していますが、このときyiを固定しています。なので、yiが固定された中での最小値が求まると思うのですが(2.27)、本では直線になると書かれています。これではyiも動かしたことになっていませんか?

  • 具体的な計算は本にあるので見ていただきたいのですがxを固定してyを動かそうと、yを固定してxを動かそうと、結果は直線になります。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 20:30:45
  • 具体的な計算というのは、直角三角形の相似の部分ですか? -- ちゃまろ? 2016-05-23 (月) 23:34:04
  • もし相似の部分であるならば、一般に直線であるとは言えないと思います。例えば、y_(i-1)とy_(i+1)の間にy_iがない(x軸に平行な直線 x=y_(i-1)と x=y_(i+1)で挟まれる領域にy_iがない)場合などは、直線にはなりえないと思います。 -- ちゃまろ? 2016-05-23 (月) 23:39:18
  • それって↓図のように障害物があるってことですか? -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:41:57

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  • こういう場合なら確かに直線じゃないものが「最短」になりますが、そういう場合はもちろん別の計算が必要になります。 -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:43:42
  • それとも、逆順に並んでいるという意味ですか? -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:47:15

#ref(): File not found: "gyaku.png" at page "「よくわかる解析力学」サポート掲示板2"

  • こっちの場合なら、$x_i$だけを動かすのでは確かに直線になりませんね。 -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:48:30
  • そういう意味でしたら、確かに$y_i$は大小関係を壊さないように並んでいたということにする必要があります(それなら確実に直線なので)。 -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:49:57
  • ただ、ここでは$(x_i,y_i)$の両方の座標を(あるときは$y_i$を一定にして$x_i$を動かし、あるときは$x_i$を一定にして$y_i$を動かし、のように)動かしまくる状況を考えています。つまり本の中で具体的にあげているのは$x_i$微分のみですが、$y_i$微分の方もやって、連立方程式として解くことになります。 -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:52:28
  • つまりy微分の方の式も含めて(さらには$i$が違うところも含めて)考えると、直線しかないということになります。 -- 前野? 2016-05-24 (火) 10:56:44
  • あっ、そうではなくて。これは任意の曲線をN個の区間で分けて折れ線と近似しているのですよね?すると、A: (x_(i-1) , y_(i-1))、B: (x_i , y_i)、C: (x_(i+1) , y_(i+1))の順に三点を直線で結んだとき、山のような形(B点だけが周りに比べて高い)になる場合もあります。このとき、B点のy成分 y_i などを固定してx_iのみを動かした場合のIの極値は、y_iを固定したままでのIの最小値をとることになります。つまり、この場合は、直角三角形は相似であったとしても向きが違うため直線にはならないと思います。 言葉では説明しにくいですが、前野先生の本で言うところの反射の法則の図を反転させたような場合に当たります。 -- ちゃまろ? 2016-05-24 (火) 11:01:38
  • あっ、そうではなくて。これは任意の曲線をN個の区間で分けて折れ線と近似しているのですよね?すると、A: (x_(i-1) , y_(i-1))、B: (x_i , y_i)、C: (x_(i+1) , y_(i+1))の順に三点を直線で結んだとき、山のような形(B点だけが周りに比べて高い)になる場合もあります。このとき、B点のy成分 y_i などを固定してx_iのみを動かした場合のIの極値は、y_iを固定したままでのIの最小値をとることになります。つまり、この場合は、直角三角形は相似であったとしても向きが違うため直線にはならないと思います。 言葉では説明しにくいですが、前野先生の本で言うところの反射の法則の図を反転させたような場合に当たります。 -- ちゃまろ? 2016-05-24 (火) 11:02:16
  • あ、やはりyでも微分しているのですね。 -- ちゃまろ? 2016-05-24 (火) 11:03:38
  • x,yの両方で微分しているのであれば、納得しました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-24 (火) 11:04:23

P101の4.2.2 加速する座標系内の自由粒子の(4.43)について

昔の物理学生? (2016-05-22 (日) 17:19:32)

「慣性系に移れば質点には何の力も働いていない。よって」とありますが、この「よって」のロジックが分かりません。慣性系で質点に何の力も働いていない場合、なぜ慣性系と加速系で同じラグランジアンになるのでしょうか。つまり、L加速系=(1/2)m(dX/dt)^2とならないのはなぜなのでしょうか。
また、もし慣性系で力が働いている場合、加速系のラグランジアンはどういう形になるのでしょうか。

  • これは「慣性系で質点に何の力も働いていないということは、外から質点に仕事がなされていないということである。従って、どの系でも外から質点に仕事がなされていないということである。よって、仮想仕事の原理が慣性系でも加速系でも同じように使える。それゆえ、慣性系と加速系で同じラグランジアンになる」ということでしょうか? -- 昔の物理学生? 2016-05-22 (日) 17:51:29
  • 慣性系と加速系が同じラグランジアンになる理由はその二つは同じ物理を表現していて、「作用が極値になる」という条件は同じ運動を導かなくてはいけないからです(ここで「同じ運動」というのは、実際の運動として同じ、という意味で、xとXの座標としての値はもちろん違います)。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:03:17
  • $L={1\over2}m(\dot x)^2$と$L={1\over2}m(\dot X+gt)^2$は、$\dot X=\dot x -gt$を代入しただけなのですから、値としては同じです -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:03:46
  • 「表現が違うだけで同じ値の関数」であるLを積分した作用が極値になる状況を探すと、「表現は違うが物理的に同じ答え」(運動方程式の解)が出てきます。そうなるように、ラグランジアンを『単なる代入』で計算しているわけです。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:06:59
  • 実はこれは力が働いているかいないかは本質じゃなくて、力が働いている場合でも同じように単純に代入すればいいだけです。こうやって座標変換が簡単にできる(どんな座標を使って書いても「作用が極値になるところ」で運動が決まる)のが解析力学のありがたいところです。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:08:20
  • ということは、「慣性系と加速系で同じラグランジアンになること」は、P98にある「表面項は運動方程式には効かない」と同じ内容であるということでしょうか? -- 昔の物理学生? 2016-05-23 (月) 09:12:59
  • (4.42)と(4.43)には、表面項の違いもなく、「全く同一」です。表面項の分だけ違う例は、その下にある(4.45)です。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:19:06
  • あ、間違えたごめんなさい。(4.42)はラグランジアンじゃなかった。上の(4.42)は${1\over 2}m(\dot x)^2$に読み替えてください。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:20:23
  • このページの慣性系のラグランジアンと加速系のラグランジアンは「変数を変えただけ(代入しただけ)」で中身は全く同じですから、表面項の差もないです。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:21:41
  • ここではむしろ「見方を変えただけで物理的内容は一緒なんだから、作用(ラグランジアン)は同じ関数でいい」という考えで加速系のラグランジアン(4.43)を作っています。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:22:37
  • しつこくて申し訳ありません。ということは、「慣性系と加速系では物理的内容は同じであるから、どちらでもラグランジアンは同じ関数である。ただ、今回の問題では、まずは慣性系でラグランジアンを作ったほうが簡単そうだ。そこで、まず慣性系でラグランジアンを作り、(4.42)によって加速系の変数で表現し直す」ということでしょうか? -- 昔の物理学生? 2016-05-23 (月) 09:39:55
  • しつこくて申し訳ありません。ということは、「慣性系と加速系では物理的内容は同じであるから、どちらでもラグランジアンは同じ関数である。ただ、今回の問題では、まずは慣性系でラグランジアンを作ったほうが簡単そうだ。そこで、まず慣性系でラグランジアンを作り、(4.42)によって加速系の変数で表現し直す」ということでしょうか? -- 昔の物理学生? 2016-05-23 (月) 09:42:17
  • まさにそういうことです。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:42:43
  • お忙しいところ誠にご面倒をお掛け致しました。非常に良く腹に落ちました。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-23 (月) 10:24:57

オイラーラグランジュeqとラグランジュの未定乗数法

ちゃまろ? (2016-05-22 (日) 11:05:02)

ラグランジアンLに拘束条件G=0を組み込むところに疑問があります。

前野先生の本の中で、ラグランジュの未定乗数法は、fがG=0の下で極値をとる条件として紹介されています。 これを物理の具体的な問題で使うとき、作用Iとfが対応すると思います。 すると、I-λG、すなわち、(∫Ldτ)-λGが極値をとればよいことになると思いました。(ここで、Lは拘束条件を入れていないラグランジアンです。) しかし、実際の解き方では∫(L-λG)dτとなっており、λGが積分の中に入っています。λGは積分の中に入れることができるのでしょうか?

  • 拘束条件G=0がτの関数であるかどうか(つまり、それぞれのτの場所において拘束条件が成り立つべきなのかどうか)によって、積分の中に入れるべきなのか外にあるべきなのかは違います。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 08:59:15
  • 拘束条件が「任意のτにおいて別々に成立しなければいけない条件」である場合(つまり、G(τ)=0のような条件である場合)、λの方もτの関数にして、「任意のτに対してλ(τ)G(τ)」を付け加える必要がありますから、積分します。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 09:00:52
  • わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-23 (月) 13:35:53
  • それでは、拘束条件によっては、ラグランジアン自体に拘束条件を組み込む(L-λG)ことができない場合もあるということですか? -- ちゃまろ? 2016-05-23 (月) 15:26:35
  • 拘束条件を組み込めない場合としてはむしろG=0という形にならない場合(ホロノミックでない場合)がありえますが、今話しているのとはまた別の話ですね。力学的でホロノミック拘束はだいたいラグランジュ未定定数で取り入れられます。そうでない場合って考えにくいです(探せばあるかもですが)。 -- 前野? 2016-05-23 (月) 15:38:10
  • なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-23 (月) 16:38:36

P93について

昔の物理学生? (2016-05-21 (土) 11:50:58)

「運動エネルギーの変分を取ったら欲しい項が出てきたが、位置エネルギーの場合とは符号が変わっていることに注意しよう」とありますが、これは「運動エネルギーの符号は位置エネルギーの符号と異なる、つまり運動エネルギーの符号はプラス、位置エネルギーの符号はマイナスである」という意味でしょうか。

  • はい、そういうことです。 -- 前野? 2016-05-21 (土) 22:17:56
  • どうも有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-22 (日) 10:49:40

P66[問い3-2]について

昔の物理学生? (2016-05-18 (水) 11:14:49)

図の「ネジの頭は半径r」となっていますが、半径Rではないでしょうか?
それから、本問では仮想仕事を使っていませんが、仮想仕事の原理を解説する章に本問を置いたのはどのような意味があるのでしょうか?

  • 確かにRですね。この問題がここにあるのは、仮想仕事の原理は使ってませんが、仮想変位の原理の出てくる元になっている「仕事の原理」(道津を使っても仕事は増やせない)を使った問題だからです。 -- 前野? 2016-05-18 (水) 19:33:49
  • なるほど。分かりました。有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-19 (木) 06:55:43

P82[演習問題3-2]のヒント

昔の物理学生? (2016-05-15 (日) 14:06:46)

(2w)の図のθの位置はこれで良いのでしょうか?
極値θ=π/2の時、(x,y)の位置がx軸上に来てしまいます。

  • ああ、こりゃ確かに間違ってます。すいませんでした。 -- 前野? 2016-05-16 (月) 07:33:56

正しい図は、

#ref(): File not found: "gaku.png" at page "「よくわかる解析力学」サポート掲示板2"

です。

  • お忙しいところ、早々の修正有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-16 (月) 18:33:53

P355問い3-5の解答

昔の物理学生? (2016-05-13 (金) 11:41:41)

(D.50)で第2項と第3項の符号がマイナスですが、プラスではないでしょうか。

  • その通りです。+に訂正しておいてください。 -- 前野? 2016-05-13 (金) 12:47:42
  • ご多用中、早々の対応ありがとうございました。 -- 昔の物理学生? 2016-05-13 (金) 12:51:56

P66(3.27)について

昔の物理学生? (2016-05-10 (火) 08:37:00)

(3.27)を導く際、手のする仕事は-Fδθ・d(Lcosθ)/dθとなっています。-Fδθ・d(Lcosθ)/dθは、まずは-Fδ(Lcosθ)と考えた後、δ(Lcosθ)の部分は計算しにくいので、ほぼ同じ大きさのδθ・d(Lcosθ)/dθに変形したと考えて良いのでしょうか。それとも他の考え方があるのでしょうか。

  • $\delta\theta$はどっちにしろ微小なので、$\delta\theta{\mathrm d(L\cos\theta)\over\mathrm d\theta}$と書くのと$\delta(L\cos\theta)$は全く意味上の違いはありません。 -- 前野? 2016-05-10 (火) 08:45:46
  • そういう意味では、「まず$-F\delta(L\cos\theta)$と考えて」というのはその通りです。ちょっと計算をしただけのことです。 -- 前野? 2016-05-10 (火) 08:47:29
  • 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-10 (火) 09:54:32

P341の(C.32)と(C.33)と(C.34)について

昔の物理学生? (2016-05-04 (水) 16:49:51)

添字が間違っているのではないかと思いますが如何でしょうか?
(C.32)では真ん中の式のEの添字がxですが、Xではないかと。
(C.34)では真ん中の式のE'の添字がiですが、Xiではないかと。
これで正しいとしても、(C.32)の最後の式で∂x'の添字がiではなくj、∂xの添字がjではなくiでないと、(C.32)と(C.33)と(C.34)の三つの式は整合性が取れません。
私の計算違いでしょうか?
お休みの処、恐縮ですがご指導頂けますでしょうか。

  • ああ、確かに添字が狂ってますね。(C.32)は$\vec V=\sum_{i,j} V_i{\partial x^i\over \partial x^{\prime j}}\vec {\mathbf E}^{\prime X^{j}} = \sum_{i,j} V^i{\partial x^{\prime j}\over \partial x^i}\vec{\mathbf E}_{X^j}^\prime$が正しいです。 -- 前野? 2016-05-04 (水) 17:14:49
  • (C.34)は$ \vec V =\sum_i V_i\vec{\mathbf E}^{X^i} =\sum_i V'_i\vec{\mathbf E}^{\prime X^i} = \sum_i V^i\vec{\mathbf E}_{X^i} = \sum_i V^{\prime i}\vec{\mathbf E}_{X^i}'$ -- 前野? 2016-05-04 (水) 17:18:58
  • 間違いを見つけていただいてありがとうございます。 -- 前野? 2016-05-04 (水) 17:21:06
  • 早々のご教導有難うございます。それにしても、掲示板の質疑応答とは素晴らしい仕組みですね。いつの日か天才小学生が前野先生の教科書と掲示板で物理学を学んで、凄い物理学者になるかもしれません。 -- 昔の物理学生? 2016-05-04 (水) 17:43:23

ルジャンドル変換について

ちゃまろ? (2016-05-02 (月) 17:35:52)

fチルダをf*と書くことにします。
f*=f−xp_x と置き換えることで情報は失われないとありますが、この形でなくても情報を失わずにできるのではないでしょうか?
また、f*がfと同じ情報を持つのであれば、逆変換を使わずに、f*の式からfを導くことができますよね?これは結局逆変換をしたことと同じになるのでしょうか?

  • もし、情報を損なわない方法が見つけられるなら、それを使ったって構わないでしょう。ルジャンドル変換のありがたいことは、(ルジャンドル変換できる状況なら)情報は決して失われないことが保証されている点です。 -- 前野? 2016-05-03 (火) 11:31:37
  • ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-03 (火) 14:49:09

ラグランジュ未定乗数法について

ちゃまろ? (2016-05-01 (日) 15:45:19)

p.327で{x*}と同等にλj({x*})を扱うとありますが、λは{x*}の関数になっているのに、独立な量だといえるのですか?

  • また、Δx_i が独立でないので、λをiには依らせていない(p.326 (B.38)のすぐ上)という文章の意味があまりよくわからないので、教えてください。 -- ちゃまろ? 2016-05-02 (月) 12:47:28
  • λは独立な量です。xの関数ではありますが、「xのどんな関数か」というのはまだ決まってない「これから決まる量」で、xを決めたら決まってしまう量ではないので。xの関数になっているのは「場所xが違えば、違うλを用意する必要がある」ということです。λは拘束条件の数だけいるので、拘束条件がxの関数でない場合は、λもxの関数にする必要はありません。 -- 前野? 2016-05-02 (月) 13:01:32
  • 「$\Delta x_i$が独立でないために、」はずっと後の「(B.39)【改行】になってしまう」に掛かってます。$\Delta x_i$が独立でないので、0ではない変分でも$\Delta f$が0になる場合はある、と示してます。 -- 前野? 2016-05-02 (月) 13:03:23
  • なるほど。ありがとうございます。『任意のλを持ってきて、B.38式となる場合』と書いていますが、関数fもGも既知なのだからλも決まってしまい、任意の意味が出ているような気がしないのですが。 -- ちゃまろ? 2016-05-02 (月) 13:13:43
  • λが決まるのは運動方程式を解いていく段階で、ですね。ラグランジアンや作用を書く時点ではまだ決まってません。 -- 前野? 2016-05-02 (月) 13:38:27
  • あ、だんだんわかってきました。ありがとうございます。先ほど前野先生が仰っていた「場所xが違えば、違うλを用意する必要がある」というのは、場所xに応じてλの関数の形自体が変わるということですか? -- ちゃまろ? 2016-05-02 (月) 13:51:20
  • 関数の形が変わるというか、λを導入した時点ではまだ関数の形は全く、決まってないのです。場所場所に応じてλ(x)が決まっていくことで、関数の形も定まります。 -- 前野? 2016-05-03 (火) 11:30:31

p.332(B.60)について

昔の物理学生? (2016-05-01 (日) 12:43:48)

第一項の∂px(x,y)/∂yの部分がyを固定してyで微分されていますが、yを固定してyで微分するというのは、どういう意味なのか理解できません。
ご教示頂けますでしょうか。

  • すいません、これは$x$を固定の間違いです。 -- 前野? 2016-05-01 (日) 13:33:38
  • そうですか。分かりました。ありがとうございます。 -- 昔の物理学生? 2016-05-01 (日) 13:51:24

p.354 【問い3-3】について

haruki? (2016-04-30 (土) 08:20:36)

度々申し訳有りません。

現状の解答を要約すると『$\lambda$の影響は$y(x)$を($x$によらない)定数だけずらすだけなので効かず「オイラー・ラグランジュ方程式」から取り除ける』ということだと思います。しかしLagrangianの段階で既に$y(x)-\frac{\lambda}{\rho g}$の形でしか$y(x)$が現れないので、実はオイラー・ラグランジュ方程式を導く前の段階で同じ結論が導けていたのですね。

また、この$\lambda$は「完全に無視していい」というものでもないと思います。p. 78では「後は境界条件に合うように$C,D$を決める。」と書かれていますが、(3.66)式の解の右辺は常に正($y(x)$は下に凸であるべきなので、$\sqrt{C}$を負に取るわけにはいかない)ので、このままだと境界条件($x=x_1$で$y=y_1$、$x=x_2$で$y=y_2$)を満たすような$C,D$が存在しないことがあります($y_1<0$の場合など)。そこでこの$y$の原点をずらす未定乗数$\lambda$が効いてきて、与えられた「任意の初期条件($x=x_1$で$y=y_1$、$x=x_2$で$y=y_2$)」と「$L^2 >(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$を満たす任意の紐の長さ$L\geq 0$」に対して、$C,D$と$\lambda$が一意に決まることになるんだと思います。

  • なるほど、確かに本文の説明は暗黙のうちに$y>0$だとしてしまっていますね。78ページに「yが負だと困ると思うかもしれないが、【問い3-3】で入れるラグランジュ未定乗数を入れておくとyが負でもちゃんと解がある形にできる」というような注釈を入れておくことにします。 -- 前野? 2016-04-30 (土) 08:32:12
  • ご回答ありがとうございます。細かいことを言ってしまい申し訳有りませんが、本当は$y>0$の場合でも「境界での$y_i$ ($i=1,2$)と紐の長さ$L$」という3つの条件を満足したいので、$C,D$という2つの未定係数だけを含む解では、本当は数勘定が合っていないですよね。 -- haruki? 2016-04-30 (土) 09:10:47
  • こんなにこだわってしまったのは、「未定乗数を入れなくても変わらない」という部分で随分と混乱してしまったからです。 -- haruki? 2016-04-30 (土) 09:15:22
  • すいません途中で送信されてしまいました。「未定乗数を入れなくても変わらない」ということは、紐の長さを固定しない問題(いくらでも紐が長くできる)でも同じcosh(x)という結論が導かれ得るということを意味しています。しかしその場合には、紐の長さを長くする極限でポテンシャルエネルギーはいくらでも小さくなります。このunboundな問題にも、実は「最小ではない極小」が存在する場合があり、その条件が「$y_1$と$y_2$を満足する$C, D$が存在すること」でした。 -- haruki? 2016-04-30 (土) 09:21:45
  • 「長さが固定されている場合には、物理的には必ず最小があるはずで、実際きちんと未定乗数を含めれば定数の数勘定が合う」「長さが可変の場合には、物理的には最小は存在せず、非自明な極小があるかどうかは場合による」という設定や結論の違いを確認したかったのです。このような掲示板に不慣れでまとまりなくコメントを追加してしまいすいませんでした。 -- haruki? 2016-04-30 (土) 09:30:34
  • 確かに、本文の答えでは最低点を固定している場合になってますね。もともと微分方程式だから平行移動は出来て当たり前、と考えてしまって説明を怠ってしまってました。ご迷惑をおかけしました。 -- 前野? 2016-04-30 (土) 14:17:04
  • 「最低点を固定している」という意味がよく理解できていませんが、紐の端点を固定してもまだ長さを変える自由度があるはずだということですよね。ご回答ありがとうございました。 -- haruki? 2016-05-01 (日) 09:26:33
  • 正確に言うと固定じゃないですが、yの最小値がCで決まってしまって自由度が足りない感じになってしまっていた、ということです。 -- 前野? 2016-05-01 (日) 13:47:17

P326について

昔の物理学生? (2016-04-29 (金) 11:55:21)

(B.40)でλjを導入するのならば、なぜ最初からλjを導入せず、当初(B.38)でλを導入し、次いで(B.40)でλjを導入するという二段階になっているのでしょうか。
本文の流れですと、
1.(B.38)でλを導入しΔf=0となったが、停留条件としては物足らなかった。
2.そこで(B.40)でλjを導入し、Δf=0となり、(B.42)となるので停留条件を求めることができるようになった。
という様に読めてしまいます。
どこがおかしいのでしょうか。
ご指導お願い致します。

  • 単に説明を「λが必要」『複数必要』と二段階に分けただけのことで、特に失敗したというわけではないです。最初から複数のλを導入しても問題ありません。 -- 前野? 2016-04-29 (金) 18:44:57
  • なるほど、そういうことですか。よく分かりました。ありがとうございます。 -- 昔の物理学生? 2016-04-29 (金) 20:56:00

p.202 ネーターの定理について

haruki? (2016-04-23 (土) 11:05:46)

p.202の囲み枠の下に「時間の並進不変性の場合、$\delta q_i=\epsilon \dot{q}_i$で、$J=\epsilon L$である。」という記述があります。しかし(8.24)式前後の議論ではむしろ、$q_i'(t+\epsilon)=q_i(t)$を要求しており、$\delta q_i=-\epsilon \dot{q}_i$、$J=-\epsilon L$になるはずです。

$q_i'(t')=q_i(t)$(ただし$t'=t+\epsilon$)とすると、『Lagrangian $L(q_i'(t'), \dot{q}_i'(t'))$を$t_i' = t_i + \epsilon$から$t_f' = t_f + \epsilon$まで積分したactionの値$S'$』は、『Lagrangian $L(q_i(t), \dot{q}_i(t))$を$t_i$から$t_f$まで積分したactionの値$S$』と完全に一致する($S'=S$)はずです。
この$S'$の計算を$t$での積分に直すと$S'=\epsilon [L]_{t_i}^{t_f} + \int_{t_i}^{t_f}dt L(q_i',\dot{q}_i')=S$となり、確かに囲み枠の下で議論されているような$\epsilon [L]_{t_i}^{t_f}$という寄与が出てきます。しかし、p.201では$J$を、$\int_{t_i}^{t_f}dt L(q_i',\dot{q}_i')-\int_{t_i}^{t_f}dt L(q_i,\dot{q}_i)$によって定義されているので、むしろこの場合には『$-\epsilon [L]_{t_i}^{t_f}$という表面項が出る』とすべきだと思います。

  • ううむ。時間並進を$t_f \to t_f+\epsilon$とやっていると足算だけど、時間の関数として$q(t)$を見ると平行移動は$q(t)\to q(t-\epsilon)$になるので、逆にしておかなくてはいけなかったですね。なるべく訂正が少なくなるように修正する方法を考えます。御指摘ありがとうございました。 -- 前野? 2016-04-23 (土) 15:20:38
  • ご回答ありがとうございました。 -- haruki? 2016-04-25 (月) 08:14:19

p.354 【問い3-3】の解答

haruki? (2016-04-23 (土) 08:56:57)

(D.39)と(D.41)の$\lambda$微分は、正しくはx微分ではないでしょうか。

  • ああほんとうだ。おっしゃる通り、x微分です。 -- 前野? 2016-04-23 (土) 12:37:29
  • ご回答ありがとうございました。 -- haruki? 2016-04-25 (月) 08:13:53

P.327

? (2016-04-06 (水) 12:57:11)

一番下の注釈はこの文脈で書くなら最初の単語は「未定常数」となるものではないでしょうか?

  • ここの正しい文章は、

「みていじょうすう」と読むので「未定常数」と書き間違える人がたまにいるが、「常数」では 「constant」という意味になってしまう。

です。そうなってなかったら、ミスですすみません(現在の版では訂正されているはず)。 -- 前野? 2016-04-06 (水) 18:13:13

  • そして、これは質問なんですが、p93で「結果を整理すると~」の下の(4.18)がどのようにして出てきたのかがわかりません。 -- 2016-04-06 (水) 18:15:38
  • (4.18)の少し上、(4.16)でやったことは、運動エネルギーの積分の変分を取れば、$-m{\mathrm d^2\vec x\over \mathrm dt^2}\cdot \delta \vec x$の積分になる、ということです。 -- 前野? 2016-04-06 (水) 18:23:38
  • 一方、位置エネルギー$U(\vec x)$の積分の変分を取れば、${\partial U\over\partial \vec x}\cdot \delta \vec x$の積分になります。 -- 前野? 2016-04-06 (水) 18:24:52
  • というところまでがここまで分かったので、「運動エネルギー引く位置エネルギー」(つまり(4.18))の積分の変分を取れば(運動方程式)$\cdot \delta \vec x$の形の計算が出てきて、「運動方程式を導きたい」という目標に達する、というわけです。 -- 前野? 2016-04-06 (水) 18:26:45
  • 回答ありがとうございました。 -- ? 2016-04-06 (水) 19:11:16

P56 (3.13)

? (2016-03-21 (月) 16:03:08)

一行目の式の
2Mgδr-T×δrは2δrですか?

  • あ、ほんとだ。$2Mg\delta r -T\times 2\delta r =0$が正しいです。すみません。 -- 前野? 2016-03-21 (月) 16:51:22
  • 単純な質問で申し訳ないですが、p58の回転を表すのになぜx+(X1-x0)という計算ではいけないのでしょうか -- ? 2016-03-22 (火) 22:58:27
  • また、(3.25)の〜=0がどのように導出されたかがわかりません… -- ? 2016-03-22 (火) 23:28:56
  • $\vec x+(\vec x_1-\vec x_0)$ですか?それだと単なる平行移動ですが。回転を表すには、場所$\vec x$と中心の位置関係に合わせて、それぞれ別々の動きをしなくてはいけません(たとえば中心の北にいるなら東へ、南にいるなら西へ、と)。 -- 前野? 2016-03-23 (水) 05:47:24
  • (3.25)は、その上にある$(2x)^2+(2y)^2=L^2$が$x\to x+\delta x,y\to y+\delta y$と変化してもやっぱり成立する、つまり$(2x+2\delta x)^2+(2y+2\delta y)^2 = L^2$が成り立つ、と考えて、$\delta x,\delta y$が微小であることを使えば出ます。 -- 前野? 2016-03-23 (水) 05:49:37

よくわかる解析力学の改定について

青木麗樹? (2016-02-20 (土) 15:33:07)

よくわかる解析力学は良い本だと思うのですが、誤植が多いですよね。改訂版を出す予定はないんですか?

  • 重版のたびに誤植は訂正しています。 -- 前野? 2016-02-20 (土) 15:35:52

p.37の変分について

小林? (2016-01-28 (木) 12:50:49)

p.37の,「以上で数学的な準備は終わったので,..」という箇所以下の,
次の式は本当ですか?

$
\delta y' = \frac{\mathrm{d}(y+\delta y)}{\mathrm{d}x}
$

次のような形になっていてほしいと思うのですが,勘違いでしょうか.

$
\delta y' = \frac{\mathrm{d}(\delta y)}{\mathrm{d}x}
$

  • 御指摘のとおりです。サポートページの方にこれまで見つかった訂正すべき箇所のリストがあります(すいません、とっても多いです)ので参考にしてください。 -- 前野? 2016-01-28 (木) 13:00:02
  • 回答ありがとうございます.よく探したら訂正の記述がありました(ざっとは探したんですけど...見落としていました). -- 小林? 2016-01-29 (金) 12:42:08

新しい版について

アル? (2015-11-09 (月) 11:05:31)

こんにちは、解析力学の本の購入を検討している者です。
よくわかる解析力学3版はいつ頃出るか、教えていただけないでしょうか。

  • 一応今月中に出るはずなんですが、各書店に出回ってくるのがいつかについては状況によります。 -- 前野? 2015-11-09 (月) 12:28:54
  • 回答ありがとうございます。 -- アル? 2015-11-09 (月) 13:04:42

薄らとmの文字が・・・

物理のヒヨコ? (2015-10-10 (土) 07:52:03)

お早うございます。
お世話になっています。

すみません、解析力学のページで投稿出来ないのでこちらに記します。
(ページが凄く重くて、投稿ボタンを押しても投稿出来ません)

細かい事なのですが、解析力学p.8の右下の図で、質量m1の小球(?)
の中に薄らとmの文字が印刷されていると思います。

  • 掲示板不調で迷惑をお掛けしました。確かに消し忘れです。御指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2015-10-10 (土) 08:40:16


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Last-modified: 2016-09-18 (日) 11:18:03 (1156d)