「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 （2018年１月まで） †
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演習問題6-3について †
dao? (2018-01-30 (火) 15:13:42)
演習問題6-3で、質点は単振動しているのでしょうか？「ωはgとRの定数からのみなり、Xは2π/ωを周期とするパラメタtとしての周期函数になる。またXはパラメタθの函数でもあるので、θも2π/ωのパラメタtとしての周期函数となる(arccosなどが出てくるが周期函数なことに変わりはない)。さらにx,yはθの函数なので、これらも2π/ωのパラメタtとしての周期函数である。ここで、ωにx,yが含まれていないことを考えれば、サイクロイド上で等時性が保たれる。」と、なると思います。Xが単振動しているだけであって、x,yはただの周期函数で、質点は等時性を保つように動くだけではないのでしょうか？それとも自身の単振動の定義が間違っているのでしょうか？
- これは「単振動」という言葉の定義の問題で、そこはちゃんと書いておかなかったのはまずかったかもしれません。「三角関数一つで表現できる振動」というのがここで考えている「単振動」の定義です。Xで書いたときに三角関数一つで表現できるので単振動ということになります。 -- 前野?
- 迅速な解答ありがとうございます。やはり、Xでの記述でのみ単振動するが、xはarccosなどが入ってくるので周期函数ということですね！よく分かりました。 -- dao?
式(1.6)について †
小林? (2018-01-03 (水) 17:41:17)
式(1.6)がよく分かりません．保存力じゃない $\vec{F}_{非保存}$ って言ってるのに，どこから $U(\vec{x})$ は出てきたんでしょうか？
例えば次のように書くなら $U(\vec{x})$ が出てきそうな気がします．
$\begin{array}{rl} \vec{F}_{非保存}&=&\vec{F}_{真に非保存な力}+\vec{F}_{実は存在していた保存力}\\&=&\vec{F}+\mathrm{grad}U(\vec{x})\end{array}$
だとすると，今度は「どうしてここでは $\vec{F}_{実は存在していた保存力}=-\mathrm{grad}U(\vec{x})$ のように負号で記述しないのか？」という疑問が湧きます．何か勘違いをしているでしょうか？
- ちょっと説明が足りなかったかもしれませんが、この式が出てくる状況は「保存力」と「非保存力」が両方働いている場合で、保存力の部分については同じ計算をしています。 -- 前野?
- (1.5)式の左辺を$\int_{\vec x_0}^{\vec x_1}(\vec F+\vec F_{非保存})\cdot\mathrm d\vec x$に変えたと思ってください。 -- 前野?
- すると次に左辺が$\int_{\vec x_0}^{\vec x_1}\vec F_{非保存}\cdot \mathrm d\vec x-U(\vec x_1)+U(\vec x_0)$になり（右辺は同じ）、(1.6)になるわけです。 -- 前野?
- 確認が遅くなってすみません！素早い回答ありがとうございました！納得です． -- 小林?
P83 演習問題3-1について †
ryaw? (2018-01-03 (水) 02:59:31)
非常に参考にさせてもらっており、演習問題もなかなか面白く解かせてもらっております。
こちらの問題仮想仕事の原理よりシンプルに説かれておりましたが本来の力学的な視点で、つりあい等を考慮した場合の解法はどのようなものになるでしょうか？
サポートとは若干異なる内容で申し訳ありませんが、可能でしたら教えていただけると幸いです。
p67の(3.28)式について †
phys? (2017-12-17 (日) 12:36:41)
$\frac{-GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$の変分をとる計算をどのようにすれば、(3.28)式が出るのでしょうか。
$\frac{-GMm}{\sqrt{(x+\delta x)^2+(y+\delta y)^2+(z+\delta z)^2}}-\frac{-GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$という計算をしてみましたが、うまくいきませんでした。
- 普通に偏微分を取ればいいです。${1\over{\sqrt{x^2+A}}}$の微分が$-{1\over2}\times {1\over(x^2+A)^{3\over2}}\times 2x\mathrm dx$のように。 -- 前野?
- 理解できました！ありがとうございます！ -- phys?
p150の(6.44)式について †
けい? (2017-10-30 (月) 00:13:15)
お忙しいなかすみません。
(6.44)式の$K\overrightarrow { T } =\lambda M\overrightarrow { T } $はどのように出てきたのでしょうか。
- 出てきたんじゃなくて、こうなるようなTをこの後で探すんです。 -- 前野?
- なんでこんなのを探すかというのは、こうやれば（その説明も下に書いてありますが）、どちらの行列も対角行列にできるからです。 -- 前野?
- なぜこれでMもKも対角化できるのでしょうか -- けい?
- その説明が次のページに書いてあるのですが、その部分のどこで引っかかってますか？ -- 前野?
- 次のページの計算は追えて最終対角化されてるのは分かるのですが、なぜ最初にこう置こうと思ったのかが不思議です -- けい?
- ああそういうことでしたか。ここで考えているラグランジアンは$\dot x$の方に${\mathbf M}$という行列が、$x$の方に${\mathbf K}$という行列が掛かっていて、この二つが違うものだから困っているわけです。そこで「じゃあ、${\mathbf M}$と${\mathbf K}$が【実質的に】同じものになるようにすればよいと考えます。 -- 前野?
- それはつまり、${\mathbf M}\vec v=\lambda {\mathbf K}\vec v$があれば、この二つの行列の違いを「定数倍の違い」に直せます。$\vec v$を2本見つけてくればよい、というのがここでやっていることです。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございました。 -- けい?
p363の式D100について †
初学者? (2017-10-28 (土) 09:41:44)
p363のD100式に関して質問です。この最右辺を計算するとポアソン括弧が1でなく2になる気がするのですが、私が何か勘違いしているのでしょうか？そもそも、固定している変数が違うので、逆数として計算していいんでしょうか？
- この式は「qをqで微分する」式になってます。これが1になるのはいいでしょうか。これをもっと真面目に書けば「$q(Q(q,p),P(q,p))$を$q$で微分する」という式です。 -- 前野?
- ｑが変化したら連動してQとPが変化し、結果として$q(Q(q,p),P(q,p)$が変化する、ということです。 -- 前野?
- なっとくできないようなら具体的な例としてrをｒで微分するという計算をやってみてください。$r=\sqrt{x^2+y^2},x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$を使って、${\partial r\over\partial x}{\partial x\over\partial r}+{\partial r\over\partial y}{\partial y\over\partial r}$を計算してみてください。 -- 前野?
- 初歩的な勘違いでした。ちなみに、$q,Q$が独立な場合を考えているので、$\left.{\partial Q}/{\partial q}\right|_{p} =0$としていいですよね？ポアソン括弧の二項目が1になることを(10.58)から示すやり方でも合っていますか？ -- 初学者?
- というのは、(10.58)から$ \left.\frac{\partial Q}{\partial p}\right|_{q}=\left( \left.\frac{\partial p}{\partial Q}\right|_{q} \right)^{-1}=\left( \frac{\partial^2 G}{\partial q \partial Q} \right)^{-1} $と$ \left.\frac{\partial P}{\partial q}\right|_{p}=-\left( \frac{\partial^2 G}{\partial q \partial Q} \right) $がいえるのでポアソン括弧が1になると考えましたがいかがですか？ -- 初学者?
- $q$と$Q$が独立だから${\partial Q\over\partial q}=0$としていいのは、${\partial Q\over\partial q}\bigr|_Q$の場合の話なので、そのロジックはまずいと思います。 -- 前野?
- つまり、$p(q,Q)$が一定でも$Q$が一定でないので$\left.\frac{\partial Q}{\partial q}\right|_{p} \neq 0$ということですか？ -- 初学者?
- つまり、$p(q,Q)$が一定でも$Q$が一定でないので$\left.\frac{\partial Q}{\partial q}\right|_{p} \neq 0$ということですか？ -- 初学者?
- 実際そうなるでしょ？ pが一定でqが変わればQも変わるのが普通です。 例を計算してみてもいいと思います。 -- 前野?
- 確かにそうですね。これまた基本的な質問ですいませんが、上の例で$ \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{r}$を計算すると$\theta=tan^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)$と$\theta=cos^{-1}\left( \frac{x}{r} \right)$を使った場合で結果が異なるのですが、何故ですか？ -- 初学者?
- 結果は異ならないですよ。$y=\sqrt{r^2-x^2}$を使って計算してますか？？ 前野?
- 長々とすいません。$y=\sqrt{r^2-x^2}$で計算すると $ \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{r}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}=-\frac{x}{y}=-\cot\theta$となったのですがどこか間違っていますか？ また、そもそも$y=\sqrt{r^2-x^2}>0$と正にとれるのはなぜですか？一方、$\theta$の置き方に依らず$ \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{r}=\left.\frac{\partial y}{\partial \theta}\right|_{r} \left.\frac{\partial \theta}{\partial x}\right|_{r}=-\sin\theta \cos\theta$ となりましたが、$cos^{-1}$は定義域など面倒なので避けた方がいいのでしょうか？ -- 初学者?
- すいません、$y=\sqrt{r^2-x^2}$を使ってというのは、$\tan~{-21}({y\over x})$を微分するときの話です。 -- 前野?
- なお、もちろんyは負にもなるので場合分けは必要です。正に取れるわけではありません。 -- 前野?
- ですよね。おかげで解決することができました。長々とありがとうございました。 -- 初学者?
p136について †
関? (2017-10-15 (日) 18:12:04)
(5.95)または(5.96)の式が0になることが理解できません。拘束Gの変数のうちQをすべて独立変数であるqに書き換えた後、あるqiで偏微分すると0と読んでいるのですが、どうしてそれが成り立つのかわかりません。教えていただきたいです。
- Gそのものが（ｑの値に拘らず）０である場合を考えているのですから、０であるものをｑで微分しても０です。 -- 前野?
- Gは拘束条件を解くことにより消えないqによる多変数関数であるから、134の(5.91)の下の注意と同じ考えでそうしてはいけないと -- 関?
- 思ったのですが、 -- 関?
- すみません文章が細切れになってしまいました。 -- 関?
- この段階で、Qにｑが代入されている場合を考えているのですから、もう拘束条件は使った後です。 -- 前野?
- Gは独立なqによる -- 関?
- 平面のようなイメージで考えているのですがそれが良くないのでしょうか。代入して拘束条件を使ったあとだから0というのがわかりません。 -- 関?
- 一番単純な例だと、$G=Q-q$です。${\partial G\over\partial Q}=1,{\partial G\over\partial q}=-1$で、$G=0$が成り立つときは$Q=q$なので${\partial Q\over\partial q}=1$ですから、(5.96)が成り立ちます。 -- 前野?
- 今は$Q$が$Q(q)$と$q$の関数になった後のことを考えているので、$q$がどのような値をとっても、$G(q,Q(q))=0$になっています。それは上の例では$Q-q=q-q=0$という式で、これを$q$で微分したら０です。 -- 前野?
- $G=0$を平面と捉えても曲面と捉えてもいいですが、その上に限る話をしているときには、$Q$はもはや$q$で表現されていて独立ではないです。 -- 前野?
- そして、$q$をどう動かしても（$Q$が$q$で表されてしまっているので）$G=0$であるということはかわらないわけです。 -- 前野?
- わかりやすく例までつかっていただき助かりました。ありがとうございました。 -- 関?
p,65の図 †
仮想田中? (2017-10-05 (木) 20:42:30)
p,65の図ですが、手が棒に対して左向きに力を加えているように見えますが、本文によると手は棒に対して右向きに力を加えているように読めます。右向きでないとδyは負の量にならないですし、手と梯子の接触部分は右に移動しません。図の誤りということでよろしいでしょうか。
- 手の力は左向きです。注意して欲しいのはこの仮想変位は手の力によって起こるわけではなく、あくまで「仮想」変位だということです。 -- 前野?
- ですから仮想変位による運動の向きと力の向きは関係ありません。この場合逆を向いてます。 -- 前野?
- 逆を向いているので仕事が負です。 -- 前野?
- 確かに。あと、このδyは上向きを正にとっているので、重力の仕事がmg|δy|=-mgδyになる、という理解であっていますか？ -- 仮想田中?
- はい。力と仮想変位の向きが逆なら仕事は負ということで、あってます。 -- 前野?
- 確かに。あと、このδyは上向きを正にとっているので、重力の仕事がmg|δy|=-mgδyになる、という理解であっていますか？ -- 仮想田中?
- 理解できました。ありがとうございました。 -- 仮想田中?
p199の8.24式について †
けい? (2017-09-28 (木) 21:00:54)
お忙しい中すみません。
8.24式はどこから出てきたのでしょうか。
- その上に書いてある、$\vec x(t_f)+\delta\vec x(t_f)$は「後$\epsilon$だけ時間経過したら、もともとの到着点である$\vec x(t_f)$に到着する地点」を式に直したものです。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございます。 -- けい?
p115の5.12式について †
けい? (2017-09-12 (火) 17:24:23)
お忙しい中すみません。
$\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}$が$\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}$の逆行列なのはなぜですか。
- 実際に掛算してみてください。$\sum_i{\partial Q_j\over\partial q_i}{\partial q_i\over\partial Q_k}$という式になりますが、これは「$Q_j$を$Q_k$で微分する」という計算なので、$j=k$で1、それ以外で0です。つまり行列二つを掛け算すると単位行列になりました。 -- 前野?
- $\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}=\frac{\partial Q_{j}}{\partial Q_{k}}$というのは成り立つのですか？ -- けい?
- それから、掛け算というのは$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial Q_{1}}{\partial q_{1}} & \cdot \cdot \cdot & \frac{\partial Q_{1}}{\partial q_{N}} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ \frac{\partial Q_{N}}{\partial q_{1}} & \cdot \cdot \cdot & \frac{\partial Q_{N}}{\partial q_{N}} \end{array} \right]\; \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial q_{1}}{\partial Q_{1}} & \cdot \cdot \cdot & \frac{\partial q_{1}}{\partial Q_{N}} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ \frac{\partial q_{N}}{\partial Q_{1}} & \cdot \cdot \cdot & \frac{\partial q_{N}}{\partial Q_{N}} \end{array} \right]=\sum_{i}^{N}{\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}}$というのであっていますか？微分形式で書かれると添字のどちらが行で列なのかがわからなくなるのですが。 -- けい?
- $Q_j$が$q_1$から$q_N$までの関数だと思って、$Q_j(q_1,\cdots,q_N)$と書いたとします。一方逆に$q_i$は$Q_1$から$Q_N$までの関数なので、 -- 前野?
- $Q_j\bigl(q_1(Q_1,\cdots,Q_N ),\cdots,q_N(Q_1,\cdots, Q_N)\bigr)$と書けます。これを$Q_k$で微分すれば、合成関数の微分の公式から$\sum_i^N {\partial Q_j\over\partial q_i}{\partial q_i\over\partial Q_k}$となります。 -- 前野?
- わかりにくいなら、まず$f(x(r,\theta),y(r,\theta))$を$r$で微分すれば${\partial f\over\partial x}{\partial x\over\partial r}+{\partial f\over\partial y}{\partial y\over\partial r}$になる、というあたりから考えてみてください。$f=\sqrt{x^2+y^2}=r$にすればちゃんと1になります。 -- 前野?
- 行列の積が$\sum_i^N A_{ji}B_{ik}=(AB)_{jk}$のように書けることと照らし合わせると、その式でOKであることがわかると思います。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございます。 -- けい?
- ただ、$\sum_{i}^{N}{\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}}$がj=kのときは1ではなくN、すなわち$\sum_{i}^{N}{\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}}=N\delta _{jk}$と、なりませんか？ -- けい?
- いえ、１です。さっき書いた$f=\sqrt{x^2+y^2}$の場合で確認してみてください。 -- 前野?
- ただ、$\sum_{i}^{N}{\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}}$がj=kのときは1ではなくN、すなわち$\sum_{i}^{N}{\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}}=N\delta _{jk}$と、なりませんか？ -- けい?
- 勘違いをしていました。１になりました。ありがとうございました。 -- けい?
p110の演習問題4-2について †
けい? (2017-09-08 (金) 16:15:51)
演習問題4-2の文中で書かれている「自由粒子の運動と等価になるためには」という言葉の意味がよくわかりません。お忙しい中すみません。
- 重心の運動方程式を立てたら、自由粒子の運動方程式と同じになる（あるいは、重心運動に関する作用が自由粒子の作用と同じになる）ということです。 -- 前野?
- すみません。そもそも自由粒子、自由粒子の運動というのがわかりません。 -- けい?
- 何にも力が働いてない粒子ってことです。 -- 前野?
- なるほど。解決しました。ありがとうございます。 -- けい?
いろもの先生！ †
アサカツ? (2017-08-14 (月) 03:51:31)
p219の
式9.42の変形はテーラー展開でしょうか？お忙しい中すみません。
よろしくお願いします。
- 1次までですからテイラー展開ってほどのもんではないですが、やってることはテイラー展開同じです。 -- 前野?
p41 (2.59) †
ぬらりひょん? (2017-08-04 (金) 20:44:59)
いろもの先生。
(2.56)で出現した微分方程式の解法が分かりません。
rに関する二階の微分方程式なので、独立解が2つ出てくるべきです。
今回、$(x')^2$の係数を消す方針を取り単振動の微分方程式に帰着させました。
これは確かに線形独立な2解の和の形ですが、なぜ(2.59)の方針をとってうまくいったのでしょうか。
別に消さなくても解は出る気がしますし、$(x')^2$の係数を消す方針の物理的意味が分かりません。
お忙しい中申し訳ございません。よろしくお願い致します。
- 微分方程式の解法なんてのは試行錯誤で、うまく行ったら儲けもの、でいいんです。今回は面倒な部分がなくなるような「試行錯誤」をやってみたらうまくいった、というだけのことです。 -- 前野?
p.326の下から2行め †
中村 幹夫? (2017-07-15 (土) 11:17:11)
G＝0のGの右下に付いている＊が分かりません。前のどこかで説明済みならば申し訳ありません。
- 本書では、$G_\ast$のように$\ast$をつけた添字は「全ての添字」を表すことにしています。最初に説明してあるのは３３ページなんですが、そのときは｛｝でくくった場合について説明していましたので、すこし別にはなりますが、気持ちは同じで「$\ast$」は「全部」というつもりで読んでください。 -- 前野?
位相空間について †
関? (2017-07-15 (土) 10:51:03)
P223あたりでは一次元の話がされていますが、例えば2つの粒子がそれぞれ三次元の運動をする場合には6枚(三方向×2枚)の位相平面を考えて運動をみれるということでしょうか。また、(9.51)と(9.52)がどう対応するのか理解できません。類似していますが違うものなのでしょうか？
- ６枚というか、１２次元分の位相空間を考えることになります。その場合でも本質的に大事なのは$(q_i,p_i)$という二成分で作られる面積の変化を足していったものになる、というのが(9.52)以降で説明していることです。 -- 前野?
- (9.52)は2次元だった(9.51)をn次元の場合に拡張したものです。ヤコビアン（行列式）は「n次元の体積」を表現しています（ところが微小量だけを計算するとn次元の体積の変化は２次元の面積変化を足していくだけで計算できた、というのが(9.56)の結果です。 -- 前野?
p152 (6.50) †
ぬらりひょん? (2017-06-26 (月) 22:59:45)
度々申し訳ございません。
(6.50)のLagrangeanのpotential部分ですが、y軸を下に取っているので
$U=m_1gy_1+m_2gy_2$となると思います。
$L=T-U$ですから、potential部分の符号は全てマイナスになると思います。
- ｙ軸を下に取っているので、$U=-m_1 g y_1-m_2 gy_2$となると思います。 -- 前野?
p151(6.45) †
ぬらりひょん? (2017-06-26 (月) 22:45:18)
振動子の質量が同じときの計算は理解できましたが、質量が変わってしまうとよくわかりません。
まず、(6.44)の形になるように行列Tを定めようとした理由はなんなのでしょうか。
合わせて、(6.45)の左側に $\vec{T_1}$ もしくは$\vec{T_2}$を掛けると、対称行列の性質から(6.46)になる の部分がよくわかりません。
お忙しい中申し訳ございません。どうぞよろしくお願い致しますわ
- なんのためにこうしているかの理由は、（６．４９）の形に導く為（つまり、運動エネルギーの項と位置エネルギーの項がどちらも対角行列になるように）ということになります。質量が同じときならば運動エネルギーの項は単位行列に比例してたのですが、質量が違うとそうでなくなるからです。 -- 前野?
- 次に(6.46)の出し方ですが、(6.45)の下に書いてある通りの計算をすれば、$\vec T_2^t{\bf K}\vec T_1=\lambda_1\vec T_2^t{\bf M}\vec T_1$という式と、$\vec T_1^t{\bf K}\vec T_2=\lambda_2\vec T_1^t{\bf M}\vec T_2$という式ができるはずです。 この二つの式の左辺は一致してます（${\bf K}$が対称行列なので）。これから(6.46)が出ます。-- 前野?
p200について †
関? (2017-06-23 (金) 11:58:20)
作用が運動の端点の座標を変えない時間の並進に対して不変ならばエネルギーが保存するというのはわかりましたが、時間を並進させた際の作用(ラグラジアン)の変化の仕方、またそれが0になるような場合がわかりません。(8.13)のような座標の並進ほど単純な話ではないのでしょうか?
- 単純な話です。その前の8.3.1節の計算の通りです。具体的にわからないということでしたら、具体的なラグランジアン（たとえば$L={1\over2}m\left(\dot x\right)^2 -U(x)$など）で8.3.1節でやっていることを実行してみてください。 -- 前野?
- と、書いた後で気づいたら、8.3.1節の最後にまさにその例が書いてありますね。 -- 前野?
- 8.3.1節で行われているのは時間の並進による作用の変化量がエネルギー和になるという話と受け取っているのですが。それとは別の作用積分を実際に実行するというアプローチでしたら∫[ti+tf] -- 関?
- 8.3.1節で行われているのは時間の並進による作用の変化量がエネルギー和になるという話と受け取っているのですが。それとは別の作用積分を実際に実行するというアプローチでしたら∫[ti+tf] -- 関?
- 時間並進による作用の変化量が ∫[ti+ε→tf+ε] ε{mv·a + (d/dt)V} dt という感じで問題ないのでしょうか？ -- 関?
- すみませんでした。変なことを言ってしまっていましたが解決しました。ありがとうございました。 -- 関?
p194 8,1,3について †
関? (2017-06-20 (火) 10:45:18)
両端で同じだけの微小な変分をとるとハミルトンの主関数の変化量が両端での運動量の差と等しくなり、さらにハミルトンの主関数の変化量が０ならば着目している運動で運動量保存則が成立すると読んでいたのですが、五行目以降でなぜ作用を並進させる場合のみを考えているのかわかりません。
- 並進して不変だという作用でない場合は、(8.11)は＝０になりません。 -- 前野?
- 運動の両端をεベクトルだけ変化させる場合に、作用の変化量が0になるような経路の変化は存在したとしても並進だけということですか?またp195では作用がある方向に対して並進不変ならその方向の運動量が保存するということを言っていますが、並進の向きと保存する運動量の向きがどうして対応するのか理解できません。教えていただきたいです。 -- 関?
- ここで言っているのは「並進不変なら運動量保存」であって「並進だけ」とは言ってないですね。 -- 前野?
- １９５ページには具体的計算が書いてあり、また例は(8.13)にある通りです。この例だと、ｘ方向とｙ方向の並進に対し作用が不変なので、その方向の運動量が保存することになってます。-- 前野?
- 並進の向きと運動量保存の向きが同じなのは、その前のページから説明してある通りで、(8.11)が０になるようならば(8.12)が言えるということです。 -- 前野?
- この$\vec\epsilon$がある方向を向いているときにのみ(8.11)が成り立っていたとしたら、その方向に対してのみ(8.12)が成り立つことになります。 -- 前野?
- (8.11)でεベクトルとの内積を取っていることに注意できていませんでした。εベクトルとの内積を取るのだから言えるのはεベクトルの方向の運動量保存ということですね。だから並進不変性について考察しているということですか。御教授ありがとうございました -- 関?
p180について †
関? (2017-06-09 (金) 01:25:04)
(7.35)で用いられている添字が時間変化するデカルト座標に由来する慣性モーメントですが、これは(7.4)以下の手順と同様にしてこの系で作り直したものですか？
- 失礼しました。(7.13)からの座標変換の際、IをABCと(ABC)^tで挟んだ行列も対称行列になりますね。 -- 関?
- では、(7.35)のIxxなどの値は(7.12)での慣性テンソルの線形結合で表されているということで間違いないでしょうか？ -- 関?
- すいません、質問の意味がわからなくて困っているのですが「添字が時間変化するデカルト座標」ってのは、基底ベクトルが時間変化する、という意味でしょうか。 -- 前野?
- (7.35)の慣性テンソルは(7.12)から主軸変換したもの、というのはそれでいいです。 -- 前野?
- 意味のとりづらい質問をしてしまい申し訳ありません。そういう意味です。お返事ありがとうございます助かりました。 -- 関?
- すみませんまた混乱してしまいました。(7.35)のIxxは(7.13)のＩを(ABC)Ｉ(ABC)^tという具合に変換したものを直交行列で対角化した際の一行一列成分でしょうか?するとωベクトルはABCのみではなく直交行列からも変換を受けてしまい、(7.35)のωxは(7.24)から登場したωxとは違うものになってしまうように思えてしまいます。間違っていましたら教えてくださいお願いします。 -- 関?
- これは順番としては$I_{ij}$の直交化が先で、X座標においては直交化されてます。X座標とｘ座標の関係をつけるのがABCで、それはX座標での直交化とはまた別の計算です。 -- 前野?
- 「これは順番としてはIijIij?の直交化が先で、X座標においては直交化されてます。」という冒頭部分の意味が把握出来ないので詳しく教えていただきたいです。ここでの前提条件は(7.13)の一般の運動エネルギーの話よりも限定的な場合での話なのでしょうか? -- 関?
- 全然限定してませんよ。というのは慣性テンソルの対角化はどんな形状の物体でも実行できるからです。 -- 前野?
- 考えている物体の形が決まればその慣性テンソルが対角になるようなXYZ軸は必ず設定できます。 -- 前野?
- 慣性乗積が消えてくれる正規直交基底を(7.13)の対角化により見つけて、以後はその基底を使って運動を記述することにしたということですね。つまり(7.18)以降での小文字の添字xyzの基底は対角化により見つけた基底ということでしょうか?そのような基底を見つけて対角行列を用いて運動エネルギーを書いたとしても(7.39)の関係式を用いるには、せっかく対角行列用いて書いた運動エネルギーをABCで変換しないといけないように思うのですが、ここでは(ABC)Ｉ(ABC)^t (Ｉは対角行列) も、対角行列になるということですか？ -- 関?
- ABCはX座標からｘ座標への変換式なんですから、X座標で考えた慣性テンソルが対角になっているかどうかとは「別」です。X座標とｘ座標は別もので、その関係は時間によって変化していくもので、ｘ座標の方で対角とかどうとか気にしてもしかたありません。もちろん、ABCも対角に限ったりはしません。 -- 前野?
- もう一度書きますが、X座標とｘ座標の翻訳に使われるのがABCなどの行列で、これらは対角ではありません（いろんな動きをするんですから当然です）。「対角化」をしているのは「X座標系の$I_{ij}$という行列」です。 -- 前野?
- 先生がここでおっしゃてるX座標系とは時間によって変化しない系のことですか？ -- 関?
- 本文にも書いてありますが「X座標系」は物体（剛体、例としては飛行機の絵が書いてありますね）に固定した座標系のことです。 -- 前野?
- そもそも物体に固定された座標系というのを慣性乗積が０になる系でとっていたということでしょうか？少し質問が反れてしまうかもしれませんがこれらの議論は回転軸が時間変化しても成り立つ議論ですか？ -- 関?
- X座標系（物体に固定された座標系）を、慣性乗積が０になるようにとった（対角化した）という話です（最初っから）。もちろん、回転軸を固定するなんて話ではないです。 -- 前野?
- まだ怪しいところもあるかもしれませんが解決がみえました。ながいあいだありがとうございました。 -- 関?
p136(5.93)について †
関? (2017-05-22 (月) 21:48:45)
(6.83)の式の二つ目の等号を結ぶ操作が理解できません。教えていただきたいです。
- $\sin^2 pq\pi=\sin^2p(-q)\pi$なので、$q=1$から$N$まで足して２倍するのは、$q=-N$から$N$まで足すのと同じです（$q=0$はsinが０になるので勘定に入りません）。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 関?
p136(5.93)について †
(2017-05-06 (土) 16:44:46)
一行目からの式変形で三行目の最後に付加された項ですが、これはどのような操作で加えられたのですか。
- 別に付加したわけではなく、最初からある項ですが。１行目には${\partial L\over\partial \dot Q}{\partial \dot Q\over\partial q}$と、${\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial L\over\partial \dot Q}{\partial \dot Q\over\partial \dot q}\right)$から出てくる${\partial L\over\partial \dot Q}{\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial \dot Q\over\partial \dot q}\right)$があります（添字は省略）。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- 関?
- ありがとうございます。 -- 関?
- そのあとの(5.94)の直後に「が0になることを示せば~」とありますが、(5.93)は作用積分の変化量であって、この変化量が0になる場合に導かれるのが運動方程式ではないのですか?0になることを示すという作業の意味が理解できません。 -- 関?
- そもそもここでやっていることが何かということが大事です。ここでやっているのは、拘束条件を代入した後のラグランジアン(5.92)から出てくる運動方程式と、ラグランジュ未定乗数を使って作った運動方程式が同じものであること（二つの差がないこと）です。 -- 前野?
- だから、２種類の運動方程式を比べて、その差がないことを確認してます。いったん確認した後は、どっちも正しい運動方程式だということになります。もしここで０だと確認した部分が０でなければ、どっちかの運動方程式は間違いだということになります。そうでなく大丈夫だいうことを確認するという作業をやったわけです（意味あるでしょ？） -- 前野?
- (5.94)−(5.89)ということでしたか助かりました。ありがとうございました(意味ありました)。 -- 関?
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