「よくわかる量子力学」サポート掲示板の2011年の分です。

問い8-2

さけ? (2011-12-23 (金) 05:46:07)

について質問です。ヒントの所に運動量演算子をかけると、ikxが出てくるという式が成立していますがこれはなぜでしょうか?わかりませんでした…。

  • この問題は$\psi_1=p\psi$と、$\psi_2=x\psi$の間に、$\psi_1-\mathrm i k \psi_2=0$という関係式が成り立っている場合(この時不確定性の積が最小になる)について考えているからです。 -- 前野? 2011-12-23 (金) 09:59:02
  • わかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2012-01-06 (金) 10:19:11

p151の|x>について

さけ? (2011-12-20 (火) 06:48:25)

この|x>は|x1>,|x2>,…無限大バージョンと考えるのが適当なのでしょうか?|x1>,|x2>,…のように(00001000…)ベクトルで表すとどうなるのかいまいちイメージがつかめません。よろしくおねがいします。それともベクトルで考えずに、ただ、座標演算子に対する固有ベクトルであると考えればいいのでしょうか?

  • もちろん|x1>|x_2>…の自由度を∞にしたバージョンが|x>なんですが、自由度が∞になったせいで(0001000…)のように「長さが1に規格化されたベクトル」にすることができなくなっています(これは連続固有値になると避けられないことです)。無理矢理ベクトル的に書くと(0000∞0000…)のようになってしまいます。だから、連続固有値の場合と離散的な固有値の場合をスムーズにつなげることはできません。あくまでアナロジーだと考えてください。 -- 前野? 2011-12-21 (水) 01:39:43
  • わかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-12-21 (水) 06:17:48
  • さらに質問です。ブラケットはベクトルということでしたが、本文を読んでいたり、問題を解いていると、あたかも関数のように扱われていますが、こうしていいのはどうしてでしょうか?ブラケットは関数を無限次元のベクトルととらえたときの表示で、元は関数だから、こう扱っていいという解釈で合っているでしょうか? -- さけ? 2011-12-21 (水) 06:20:53
  • ブラとケットはベクトルで、<x|ψ>のようにxの固有状態|x>と内積を取ると関数になる、というのが厳密な関係です。そういう意味では「元はベクトルで、関数でも表現できる」と考えた方がいいでしょう。|ψ>でもψ(x)=<x|ψ>でも同じものが表現できますが、|ψ>の方がより抽象的な表現になってます。 -- 前野? 2011-12-21 (水) 08:44:28
  • わかりました。それでブラケットが出てきて以降、ブラケットと波動関数の両方で表記しているんですね。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-12-23 (金) 05:44:36

質問なのですが

admin? (2011-12-15 (木) 15:54:58)

p.298の式(13.25)に(r)が書いてありますが、これは要らないのではないでしょうか?
間違っていたらすみません。

  • あ、ほんとだ。これは最初rで書いたのをρで書きなおした時に消し忘れたようです。 -- 前野? 2011-12-15 (木) 17:56:47
  • 同ページの[問い13-2]の所にも同じミスがあります。 -- admin? 2011-12-15 (木) 18:43:38
  • ああ、これもそのままコピーしちゃったみたいだ。知らせてくれてありがとうございます。 -- 前野? 2011-12-16 (金) 10:41:03

(6・36)について

さけ? (2011-12-14 (水) 21:23:00)

ここで、交換関係の性質を使って、ハミルトニアンを運動量で微分して外へ出していますが、ハミルトニアンは変数にxも持っていますが、これは考えなくてもいいのでしょうか?

  • この場合、ハミルトニアンはまだ演算子なのですが、$[x,p]=\mathrm i \hbar$の方が定数になっているので、順番は変えてもかまいません(もちろん、これが定数でないような場合には順番を入れ替える時に注意が必要です)。 -- 前野? 2011-12-15 (木) 00:23:05
  • わかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-12-20 (火) 06:42:38

誤植です

さけ? (2011-12-14 (水) 21:07:18)

(6・35)でdxを付け忘れています。

  • すいません。前の方についていました。見逃していました。本当にすみません。 -- さけ? 2011-12-14 (水) 21:28:17

確率の流れ密度について

ys? (2011-12-11 (日) 16:41:09)

既出ならご容赦ください。124頁の6.20は正しい式ですが、6.19では、左辺かJのどちらかに―符号をつけるべきではないでしょうか?でないと、連続の式(Pの時間微分)+(Jの空間微分)=0と整合しないような。。。6.19の通りに何度計算しても、得られるJの符号が6.20と逆になるので解答をみますと、iを分母から分子に上げるときにマイナスが落ちているように思いますが。。。

  • すみません確認しました。おっしゃる通りです。符号を訂正しておいてください。 -- 前野? 2011-12-11 (日) 18:56:36

運動量とハミルトニアンのエルミート性について

さけ? (2011-12-10 (土) 15:42:28)

問6-4では境界条件が与えられているから表面項がゼロになるということで理解できたのですが、それ以降は、特にそういった条件なしにエルミート演算子として扱われていますが、これはいいのでしょうか?

  • 多くの場合、表面項が0になる場合を考えます(周期境界条件を置いている場合か、遠方なので波動関数が0になっているか)。もちろん、(少ないケースですが)表面項のせいでエルミートでなくなる場合には特別な注意が必要になります(そういう場合について、本のこの先では個別に注意をしてあるはずです)。 -- 前野? 2011-12-11 (日) 08:57:01
  • わかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-12-14 (水) 21:04:26

誤植です

さけ? (2011-12-10 (土) 07:24:03)

正誤表の所に書いていなかったので…。p119の微分と交換関係の所なのですが、(3)の微分の方は式の右辺にnをかけますよね?あと、正誤表を全部みて本文修正しました。

  • ああ、すみません、これもミスですね。 -- 前野? 2011-12-10 (土) 07:37:33
  • 自信ないんですが、もう一か所。p123の問6-3の数式で、演算子Aを挟むのを忘れてませんか? -- さけ? 2011-12-10 (土) 15:35:15
  • あ、すいません。これはこれでいいんですね。解答を見て納得しました。すいません。 -- さけ? 2011-12-10 (土) 15:36:03

エルミート演算子について

さけ? (2011-12-09 (金) 16:30:40)

p118で二つの演算子が交換するなら、その積もエルミートである、が分かりませんでした…。証明しようとしたらこんがらがってしまって…。よろしくお願いします。

  • すいません、これはミスで「二つのエルミートな演算子$\hat A,\hat B$が交換するなら」が正しいのです。「エルミートな」が書いたつもりが抜けてました。 -- 前野? 2011-12-09 (金) 19:47:45
  • あ、ですよね!!ありがとうございます。 -- さけ? 2011-12-09 (金) 21:31:21

演習問題5-3について

さけ? (2011-12-04 (日) 05:01:28)

どの関数でも、xの期待値がすべて0になりました。これは粒子が見つかる可能性のある場所がどこにもないということなのでしょうか??

  • 期待値が0というのは見つからないということではなくて、「見つかった場所のx座標の平均値が0」ということです。0.1や-0.2で見つかったりするけど、平均すると0。 -- 前野? 2011-12-04 (日) 12:31:40
  • やっぱりそうですよね。ありがとうございます。すっきりしました。量子力学はなかなか考え方が難しいですね・・・。以前は計算方法だけで手いっぱいでした。 -- さけ? 2011-12-04 (日) 21:56:34

演習問題4-4

さけ? (2011-12-02 (金) 09:53:50)

ガリレイ変換の微分がどうしてこうなるかわかりません…。教えていただけないでしょうか??

  • 微分のルール通り、${\partial \over \partial x'}={\partial x\over\partial x'}{\partial\over\partial x}+{\partial t\over\partial x'}{\partial\over\partial t} $と、${\partial \over \partial t'}={\partial x\over\partial t'}{\partial\over\partial x}+{\partial t\over\partial t'}{\partial\over\partial t} $をやります。今の場合、ガリレオ変換の逆変換は$x=x'+vt',t=t'$なので、後は素直に計算するだけです。-- 前野? 2011-12-02 (金) 10:39:06
  • なるほどです。ありがとうございます!! -- さけ? 2011-12-02 (金) 23:51:21

演習問題3-7について

さけ? (2011-11-24 (木) 13:40:44)

ヒントで運動量変化のところで×2がついていますが、これは上側を通った時、上部のスリットが上へ動き、真ん中のスリットが下へ動くから×2をしているということでいいのでしょうか??

  • はいその通りです(見落としてたので返事遅れてすみません)。 -- 前野? 2011-12-02 (金) 10:41:39

演習問題3-5について

さけ? (2011-11-23 (水) 15:29:47)

x 軸方向の運動量/全運動量=sinθ となっていますが、これがどうして成り立つかわかりません…。教えていただけないでしょうか…。

  • すみません、自己解決しました。x軸方向への運動量は角度分解するとsinθ×全運動量でしたね。すみません・・・。 -- さけ? 2011-11-23 (水) 15:33:07

演習問題3-4について

さけ? (2011-11-23 (水) 15:17:17)

(3・18)と(3・22)が同じ意味を持つことの問題ですが、極限を取る前の関数のフーリエ変換→極限→フーリエ逆変換をしてやることでもとに戻るから、(3・18)と(3・22)が同じ意味を持つという理解でいいのでしょうか??最終結果はδ関数はこういう定義だから、ということで、δ関数になりましたよ、ということで大丈夫でしょうか?

  • これはその通りです。 -- 前野? 2011-11-23 (水) 22:24:17
  • ありがとうございます -- さけ? 2011-11-24 (木) 13:41:45

解答のミスについて

さけ? (2011-11-23 (水) 14:33:20)

章末問題の解答のp14wですが、f(a) < f(b) なら-であるとありますが、これ不等号逆ですよね?

  • そうですね。「$f(a)<f(b)$なら+、$f(a)>f(b)$ならー」としなくてはいけません。 -- 前野? 2011-11-23 (水) 22:34:30

式(3.5)について

さけ? (2011-11-17 (木) 13:31:25)

作用の積分が停留値となるのが実現する運動量であるとさらっと書いてありますが、この作用はどこから出てきたのでしょうか?よろしくお願いします。

  • これは、付録Aを読んでいただくのがいいかと思います。 -- 前野? 2011-11-17 (木) 15:03:36
  • 念の為ですが「運動量」ではなく「運動」ですね。 -- 前野? 2011-11-17 (木) 19:22:12
  • 付録Aを読んだのですが、作用の積分の中身がどうしてこういう形をとるのかが分かりませんでした。教えていただけないでしょうか? -- さけ? 2011-11-23 (水) 15:18:22
  • 付録の(A.27)のあたりで、$p{\mathrm dx\over\mathrm dt}-L$という保存量を出してきてこれがハミルトニアン$H$になるので、$p{\mathrm dx\over\mathrm dt}-L=H$から$L=p{\mathrm dx\over\mathrm dt}-H$と逆に解きます。 -- 前野? 2011-11-23 (水) 22:23:03
  • ああ、なるほどです!!!わかりました!!! -- さけ? 2011-11-24 (木) 13:41:21

p29の電磁場のエネルギー密度と運動量の関係について

さけ? (2011-11-10 (木) 15:29:11)

ρ=gcという式がさらっと出てきていますが、これはどうやって出したのでしょうか?初歩的な質問ですみません…。

  • ちょっと説明が長くなるので省略したのですが、詳しい説明は例えばここにあります。ここまで詳しく考えなくても、p29にあるように、エネルギー密度が${\varepsilon_0\over2}E^2+{1\over2\mu_0}B^2$で運動量密度が$\varepsilon_0\vec E\times\vec B$であること(すいません、本は$\vec E\times\vec B$とありますがミスです)と、平面電磁波の場合$E= cB$が成り立つことから計算できます。 -- 前野? 2011-11-11 (金) 07:49:13
  • わかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-11-14 (月) 13:03:31

付録Aの解析力学の章について質問です

さけ? (2011-10-12 (水) 06:06:23)

p323で「経路が運動方程式の解であるという条件をつけて、作用を到着点のx座標で微分した答えは、その時刻での運動量である」という部分がわかりませんでした。途中式ではxによる微分は出てきていませんが、どうしてこういえるのでしょうか?

  • もう一つ質問です。到着時間を変化させた場合のxの変化が-εdx/dtとなっていますが、これはどうしてこうなるのでしょうか?よろしくお願いします。 -- さけ? 2011-10-12 (水) 06:09:06
  • まず最初の質問について。ここで計算しているのは、その前のページの図

    #ref(): File not found: "sayou1.png" at page "「よくわかる量子力学」サポート掲示板(2011年)"

    に書かれた二つの経路のそれぞれについて作用を計算した結果で、それが$ {\partial L\over \partial \dot x}\big|_{t=t_f}\delta(t_f) = {\partial L\over \partial \dot x}\big|_{t=t_f} \epsilon$(+$\epsilon$の高次の項)という結果になったわけです。 これはつまり、今考えている二つの作用の差を$\epsilon$でテーラー展開するとその1次の項が$p\epsilon$になった、ということですから、「作用を到着点のx座標で微分した答え」が$p$だということになるわけです。-- 前野? 2011-10-12 (水) 07:25:28
  • 第2の質問については、図

    #ref(): File not found: "sayou6.png" at page "「よくわかる量子力学」サポート掲示板(2011年)"

    を見てください。$-\epsilon{\mathrm dx\over\mathrm d t}$は、図で赤くした部分を表しています。${\mathrm d x\over \mathrm d t}$は図で水色にした線の傾きです。これに$\epsilon$をかけると赤い部分の長さになります(マイナスがつくのは$x_f$より下がっているから)。 -- 前野? 2011-10-12 (水) 07:35:37
  • コメントが遅くなりすみません。よくわかりました。ありがとうございます。 -- さけ? 2011-11-10 (木) 15:07:08

よくわかるシリーズについてです。

機械学部? (2011-09-19 (月) 16:55:11)

先生のテキストは非常に分かりやすくて、
よき伴侶になっています。
さて、「よくわかる統計力学」と「よくわかる相対性理論」
なるものを作っていただければ、嬉しいです。


統計物理学は、計算がとても難しいので、理想気体の
エントロピー[S(E)=NK3/2log[~]+logV+3/2]の導出なども
たいていのテキストでは計算過程が省かれすぎて、
追いかけ計算しても、私のケアレスミスなのだと思いますが、
こたえの結果と一致しません。もしもお時間がございましたら、
物理的イメージ(イラスト等)と計算過程の非常に丁寧な
テキストを作っていただけたら嬉しいです。

あと、統計力学関連では、
僕の専攻の大学の先生は、「非平衡の統計力学」
が分かりにくいとおっしゃっていました。
僕は非平衡の統計力学はまだ、学んでいませんが、
数学で、確率過程を習いましたが、僕も確率過程はさっぱり分からずじまいです。

相対性理論は、岩波のとある入門書で「特殊相対性論メインの内容」
は読みましたが、
なぜかしっくりしません。先生のご本「よくわかる量子力学、
よくわかる電磁気学」のような
しっくり感が見いだせないのです。

お時間がございましたら、「統計物理学」「相対性理論」(「非平衡統計物理」)を作っていただけると嬉しいです。

  • 相対論(特殊相対論のみですが)の講義ノートがここにあります(PDF)。本もいずれ出すかもしれませんが、だいぶ時間かかりそうです。統計の方は昔『統計力学演習」を担当したことはあって、その問題集なら一応ありますが整理されてないのでどこにもアップしてません。統計物理は自分自身が(本書けるほどにしっかりは)勉強してないので、本作るのはちょっと無理かと思います。

「よくわかる量子力学」、御愛顧いただき感謝しますm(_ _)m。

  • 2011-09-19 (月) 21:15:15

続けて失礼します。

abe? (2011-06-04 (土) 01:29:24)

演習問題5-2の解答で、ψをaからbまで積分していますが、規格化するためにはψ*ψを積分しなければならないのではないでしょうか。それとも、問題に書いてあるグラフはψではなくψ*ψのグラフなのでしょうか。

  • こちらもその通りです。解答はこの後直します。 -- 前野? 2011-06-23 (木) 02:57:34

まず規格化を行います。 $$ \int_a^b \psi^*\psi \mathrm d x ={H^2\over (b-a)^2}\int_a^b(x-a)^2 = {H^2\over (b-a)^2}\left[{1\over 3}(x-a)^3\right]_a^b ={H^2\over3}(b-a) $$ が1になることから、$H^2={3\over b-a}$とします。次に$x$の期待値が、 $$ \int_a^b \psi^*x\psi \mathrm d x ={H^2\over (b-a)^2}\int_a^bx(x-a)^2 = {3\over (b-a)^3}\left[{1\over4}x^4-{2a\over 3}x^3 +{a^2\over2}x^2\right]_a^b ={a+3b\over4} $$ という答えになる。


他大の学生ですが、前野先生のホームページにはいつもお世話になっております。

abe? (2011-06-04 (土) 01:04:04)

演習問題5-1の解答を見たら、規格化するところまでしか解答が載っていませんでした。運動量の期待値は2h(エイチバー)でいいんですよね?

  • すいません、返事遅れました。解答はその通りです。 -- 前野? 2011-06-23 (木) 02:55:28

規格化のためには$\sqrt{4\pi}$で割って、 $$ \psi={1\over \sqrt{4\pi}}\left(\mathrm e^{3\mathrm i x}+\mathrm e^{\mathrm i x}\right) $$ とする。

の後、 $$ {1\over4\pi}\int_{-\pi}^\pi \mathrm d x\left(\mathrm e^{-3\mathrm i x}+\mathrm e^{-\mathrm i x}\right)\left(-\mathrm i \hbar\right){\partial\over\partial x}\left(\mathrm e^{3\mathrm i x}+\mathrm e^{\mathrm i x}\right) $$ という積分を行います。微分を行うと $$ {1\over4\pi}\int_{-\pi}^\pi \mathrm d x\left(\mathrm e^{-3\mathrm i x}+\mathrm e^{-\mathrm i x}\right)\left(3\hbar \mathrm e^{3\mathrm i x}+\hbar\mathrm e^{\mathrm i x}\right) $$ となり、積分の残る部分を計算すると、 $$ {1\over4\pi}2\pi\left(3\hbar +\hbar \right) = 2\hbar $$ という答えになります。


無題

きす? (2011-04-26 (火) 18:00:41)

p124の問6-4(2)の部分積分2回やるとありますがよくわかりません。計算の仕方を詳しく教えてください。よろしくおねがいします。

  • 部分積分の公式は$\int_a^b f(x){\partial g(x)\over \partial x} \mathrm{d}x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b -\int_a^b {\partial f(x)\over\partial x}g(x)\mathrm{d}x$です。
    まず$f(x)=\psi^*(x),g(x)=-{\hbar^2\over 2m}{\partial \psi(x)\over \partial x}$として公式に入れます。

    $$ \int_a^b \underbrace{\psi^*(x)}_{f(x)}\underbrace{{\partial \left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial \psi(x)\over \partial x}\right)\over \partial x} }_{{\partial g(x)\over\partial x}}\mathrm{d}x=\left[\psi^*(x)\left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial \psi(x)\over \partial x}\right)\right]_a^b -\int_a^b {\partial \psi^*(x)\over\partial x}\left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial \psi(x)\over \partial x}\right)\mathrm{d}x $$ となりますが、問題の条件により$x=a$と$x=b$で$\psi^*(x)=0$なので、ここまでの計算結果は(ついでに係数を前にまとめることにして) $$ {\hbar^2\over 2m}\int_a^b {\partial \psi^*(x)\over\partial x}{\partial \psi(x)\over \partial x}\mathrm{d}x $$ です。これで「部分積分を一回やった」ことになります。
    これをもう一回やります。 $$ {\hbar^2\over 2m}\int_a^b {\partial \psi^*(x)\over\partial x}{\partial \psi(x)\over \partial x}\mathrm{d}x= {\hbar^2\over 2m}\left[{\partial \psi^*(x)\over\partial x}\psi(x)\right]_a^b-{\hbar^2\over 2m}\int_a^b {\partial^2 \psi^*(x)\over\partial x^2}\psi(x)\mathrm{d}x $$ となり、やはり第一項は0になるので、望む結果が出ます。 -- 前野? 2011-04-27 (水) 05:27:27

追加です。

友寄? (2011-04-07 (木) 17:12:14)

いろいろと勉強になり,授業に役立てられそうです。
早速のリプライも含めてありがとうございます。

P121 下から4行目にあるノルムの自乗の式。
ノルムの話をしているので,積分の中身は$\psi^*\phi$よりも
$\psi^*\psi$が良いように思います。

P122 (6.16)式の3行下の段落
「以上から,実数の観測値を持つ物理量に対応する演算子はエルミートでなくてはならない。」
とありますが,その上で説明してあるのは,
「エルミート演算子の固有値は実数である」じゃないでしょうか?
上の主張をするには,
「物理量Aの測定値は,必ずその固有値の何れかになり,
決して2つの固有値$a$ と$a'$ の間の値,例えば $(a+a')/2$ などには
ならない。(簡単のため離散固有値として。)」
という条件が必要だと思います。
読み進めると6.2節に書いてあるようにも思えますが。。。

  • 友寄様。続けて御指摘感謝。
    p121については、確かに単なるタイプミスです。
    次にp122ですが、う〜ん、これもフライングしていますね。というか、記述の順番を入れ替えた時にうっかりと紛れ込んでしまったものと思われます(これをどう直すといいかはこれから考えます)。
    • 前野[いろもの物理学者]昌弘? 2011-04-07 (木) 18:36:24

4章まで

友寄? (2011-04-06 (水) 16:53:17)

wikiの使い方の勉強を兼ねて,気づいた点・気になった点について書きます。

P51 4つの図のうちの左上図
$\theta$の添え字が入れ替わっている?
(3.3) 式と比べて,$\theta_1\leftrightarrow \theta_2$ 

P61 k-空間の図の吹き出し内
$\delta$は,D のミスプリ?

P62 3.3節の最初
「"粒子"を局在させるには,たくさんの波を重ね合わせる必要があった。」とありますが,その前の節で確かめたのは「"物質波"を局在させるには...必要があった」ではないでしょうか?
同じ段落にある,「"粒子"はある一点にのみ存在し」,「存在確率が0になる」にも少し引っかかりました。
特に存在確率についての説明は,この節以前には見当たりません。
横線で括っているので,量子力学を知っている人への補足という意味でしょうか?

P77 演習問題3-5 の文頭
「nn 波動光学」のnn はミスプリですか?

P83 補足 第2段落の2行目
「一階微分方程式であるシュレーディンガー方程式…」
xに関しては2階微分です。「時間に関して一階…」と言わなくてもいいのですか?

P93 図の4行下
「観測した時にいろんな"波動関数"から…」で,
「…いろんな"状態"…」 ではないですか?
長文になりましたが,以上です。

  • 友寄様。御指摘感謝いたしますm(_ _)m。
    まずp51の$\theta_1\leftrightarrow \theta_2$は御指摘の通り。
    p61の$\delta$も、$D$の間違いです。
    p62は、この段階では「物質波」が「粒子」の表現であることの説明がまだなので、確かに「粒子」とやるよりは「物質波」とすべきでした。「存在確率が0になる」はフライング気味ですね。「存在しなくなる」ぐらいが適当なところでした。
    p77は、うーん、なんでこんなゴミが残っているのだろう。もちろんnnは不要です。
    p83は「時間に関して」を補足する必要があります。
    p93は続く文章が「一つの状態が選ばれる」なので、「状態」で揃えた方がよかったですね。「いろんな波動関数で表現される状態の中から一つの状態が選ばれる」と直したいと思います。
    現時点では実はこの本まだ本屋に出ていないので、直せるのはまだだいぶ先ですが…。
  • 前野[いろもの物理学者]昌弘? 2011-04-07 (木) 00:35:56

まだ作っただけです。

前野[いろもの物理学者]昌弘? (2011-03-07 (月) 15:48:56)

発売は4月10日以降の予定。



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Last-modified: 2016-09-18 (日) 11:18:01 (1415d)