「よくわかる量子力学」（東京図書）サポート掲示板2012〜2015年３月 †
なぜか掲示板が不調となり書き込み不可となったのでデータのみ退避させました。ここに書き込みはできません。
デルタ関数型ポテンシャルを通過する波動関数について †
涼子? (2015-12-28 (月) 22:53:52)
微係数の接続において、右辺がこのようになる理由がわかりません。
- (10.34)式のことなら、(10.32)をそのまま解釈していけば出てくるのですが、(10.32)はわかりますか？ -- 前野?
- 自分の考え不足でした。理解できました。ありがとうございます。 --
ミスプリ報告です †
gm3d? (2015-12-23 (水) 17:24:06)
p. 206 (10.19)
$x$の範囲 $dx < d$ → $x < -d$、$dx > d$→$x > d$かと思います。
- 御指摘ありがとうございます。確かに、このdは全く不要ですね。 -- 前野?
波動関数とケットベクトルについて †
ちゃまろ? (2015-12-16 (水) 11:24:57)
波動関数Ψ(x)と<x|Ψ>が同じ表現であることが一部理解できません。 Ψ(x)と書くだけで波動関数の全体像が描けます。また|Ψ>と書くだけで、波動関数の全体像が描けます。つまり、Ψ(x)と|Ψ>が対応しているのでは、と思います。 |Ψ>の中から具体的な座標xについて取り出すと言う意味ならば、理解できますが、Ψ(x)が具体的な座標xについて取り出したものという意味の場合だけに縛られませんか？
- 「対応している」あるいは「同じものが表現できている」ということと「等号で結べる」ということは同じことではありません。等号で結べるにはψ(x)=＜x|ψ＞です。ψ(x)は「xという場所の波動関数」でxの関数なのですから、｜ψ＞という「すべての場所での波動関数を一挙に表してる」ものと同じではないです。 -- 前野?
- たとえばベクトルは$\vec A=A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z$と書くとx,y,z成分を一挙に表現してます。｜ψ＞はこれに近いものです。一方、＜x｜ψ＞は「特定のxでの波動関数」で、波動関数のうち１成分を取り出したものに過ぎません。ベクトルでいえば$A_x$とか$A_y$に対応します。 -- 前野?
- ベクトルも、$A_x=\vec e_x\cdot \vec A$という式が（ちゃんと等号が）成立します。 -- 前野?
- 回答ありがとうございます。 わかりました。 -- ちゃまろ?
座標演算子(x^)について †
ちゃまろ? (2015-12-16 (水) 00:07:18)
(x^)f=xfが任意のfに対して成立すると本で書かれています。ということは、fの代わりにψ(x)を用いても成立しますよね。 さらに、ψ(x)は|ψ>と書き直すことができます。
つまり、(x^)|ψ>=x|ψ>となると思うのですが、これは明らかに違和感があります。
|ψ>はψ(x)を一般化したものだからだめなのですか？
- ψ(x)が｜ψ＞だと考えるのが間違いです。実際に成り立つのは、ψ(x)=＜x｜ψ＞ですね。そして、＜x｜(x^)｜ψ＞なら、x＜x｜ψ＞になっても間違いありません。 -- 前野?
- この質問を違う角度にしたものですが、(x^)が状態ベクトルに作用する場合には、どの位置に粒子がいるのかを取り出す役割をする、一方で、関数ψ(x)にかかる場合はどの位置にいるという情報を取り出しているようには思えません。 -- ちゃまろ?
- なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- x -- ちゃまろ?
- (x^)|x>=x|x>となりますが、ケットベクトルは表示の仕方を指定しない一般的なものなのに、なぜ座標xが出てくるのですか？ -- ちゃまろ?
- ケット｜x＞と書いたときは「場所xに粒子の存在確率が集中している状態」を表現しているので、｜x＞というのは『特定のxを指定した状態』です。一般の状態じゃありません。 -- 前野?
シュレディンガー方程式について③ †
ちゃまろ? (2015-12-14 (月) 09:58:11)
質問③ ψがエネルギー固有状態ではなくE+ΔEというエネルギーの広がりを持った波動関数とします。この波動関数がシュレディンガー方程式を満たすときを考えます。
シュレディンガー方程式を出すときに、E=H=(1/2m)p^2+V(x)としていますが、このHは古典的に出したものであるので、エネルギーの広がりという情報を持っていないと思います。
なので、＝で結ぶことに違和感があるのですが。
- Hの形を古典論で出したとしても、pやxを演算子に置き換えている時点で、それは量子論です。そして、Hという演算子がかかる相手であるψは、一般にはエネルギーの広がりを持ってます。 -- 前野?
- ありがとうございます！ -- ちゃまろ?
シュレディンガー方程式について② †
ちゃまろ? (2015-12-13 (日) 23:51:12)
質問② エネルギー固有状態を考えたとき、Hψ=Eψとして問題を解くことがよくありますが、
iℏ∂/∂tψ=Eψとしないのはなぜですか？
- 下の質問にも関連しますが、ψがエネルギー固有状態なら、$\mathrm i\hbar{\partial \psi\over\partial t}=E\psi$とやっても全く構いません。これから、$\psi=\phi(x)\mathrm e^{-\mathrm i{E\over \hbar}t}$となります。 -- 前野?
- ただ、この微分方程式を解いただけでは$\phi(x)$は決まらないから、続いて$H\phi(x)=E\phi(x)$の方を解いていくことになります。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
シュレディンガー方程式について① †
ちゃまろ? (2015-12-13 (日) 23:42:07)
シュレディンガー方程式(p.82~83)についていくつか質問があります。
質問① 一つの関数ψ_λ=exp[2πi((x/λ)-νt)]を考えて、シュレディンガー方程式へと向かっていきますが、様々な波が重ねあっていたとしても、p⇔-iℏ∂/∂x E⇔iℏ∂/∂tの対応関係は成立するのでしょうか？
例えば、ψ=ψ1+ψ2 という合成波を考えます。ψiのエネルギーがEi(i=1,2)だとします。
このときiℏ∂/∂t ψ =iℏ∂/∂t (ψ1+ψ2)=E1ψ1+E2ψ2となり、Eψの形に一般にはできないと思うのですが...。
- 質問①について：様々な何が重ねあっている状態というのは、「いろんな運動量」「いろんなエネルギー」の状態が重ねあっている状態です。ですから、pやEが一つに決まらない状態を考えることになります。まずは「pとEが一つに決っている状態」を考えて、それを手がかりにしていこう、というのがあの部分の考え方です。 -- 前野?
- ２番めの質問についても同様で、この場合は元のψの定数倍（E倍）にはならないですが、そういうものです。 -- 前野?
- つまり、$\mathrm i\hbar{\partial \psi\over\partial t}=E\psi$という形にできるのは「幸運にもψがエネルギー固有状態（Eが一つに決っている）状態」だったときだけ、と考えてください。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- エネルギーE1の波とエネルギーE2の波を重ね合わせても E1＋E2の波になるとは限らないということでしょうか？ -- ちゃまろ?
- なりません。それは「観測するとエネルギーがE1になる場合とE2になる場合がある波動関数」になります。なお、２個の粒子がそれぞれE1とE2のエネルギーを持っている状況とそれは全く別です。 -- 前野?
- ２個の粒子がそれぞれE1とE2のエネルギーを持っている状況なら、波動関数を$\psi(\vec x_1,\vec x_2,t)$のように二つの粒子の位置を引数にもっている、全く新しい波動関数を用意する必要があります。 -- 前野?
- すみません、混乱していました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
ミスプリ報告 †
gm3d? (2015-10-14 (水) 08:34:30)
p198 4行ある(10.3)式の3行目、
$$\frac{d\psi_2(x)}{\d x} \frac{d\psi_1(x)}{\delta x}$$
は
$$\frac{d\psi_2(x)}{\d x} \frac{d\psi_1(x)}{\d x}$$
かと思われます。
- \dはdの誤りです。 -- gm3d?
- 御指摘ありがとうございます。これは手が滑ったみたいです、すみません。 -- 前野?
練習問題 問9-7 の解答について †
てらだ? (2015-10-11 (日) 23:50:33)
重箱の隅をつつくような話で恐縮なのですが、解答に単純なケアレスミスを見つけたように思いますのでご報告致します。
問9-7 の解答（P357）D.61式にミスがあります。2行目から3行目に移るときに、$ \sqrt{2m^2g} $ が $ \sqrt{m^2g} $ となっていて、平方根の中の 2 が落ちてしまっているのは誤りではないでしょうか。
問の趣旨には全く影響ないことなので割とどうでも良い気もしますが(^^;、念のためご報告させていただきました。
※ いわゆるアラフォーの年齢になって今更ながら先生の本で量子力学を勉強させて頂いております。この場を借りて感謝申し上げます。
- 御指摘ありがとうございます。たしかに2が消えてしまってますし、その後の数値計算も間違ってます。申し訳ありません。次の刷で訂正します。 -- 前野?
摂動等 †
ちゃまろ? (2015-10-03 (土) 11:50:40)
前野先生の本で、摂動論やWKB近似、散乱問題等が載っているものはありますか？
- すいません、そのあたりは書いてません。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
172p補足について †
gm3d? (2015-08-20 (木) 05:11:26)
ここで議論されている例は、「$\hat{p}$がエルミートにならなず、不確定性関係が成り立たないが、それ以外は注意深く扱えば問題ない」のか、量子力学的なモデルとしてそもそも破綻しているのかどちらと考えるべきでしょうか？
- 注意深く扱えば問題ありません。 -- 前野?
- 周期関数 $\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \exp{2\pi i x / L}$に$\hat{x}$を作用させると周期関数ではないものになるということは、$\psi_n(x)$が完全系でないのか、$\hat{x}$がこの系では正しいオブザーバブルでないのかのどちらかのように思いますが、そういうわけではないのでしょうか。 -- gm3d?
- 数学的な操作として周期関数にxを掛ければ周期関数でなくなります。物理的操作として「xを掛ける」ことができれば波動関数はその物理的操作により定義された領域の外に出てしまうことになります。しかし物理的操作として「xを掛ける」は存在するかというと、周期的境界条件を取るような系を相手にしているのだから、それに対する物理的操作も周期的境界条件を満たしたような操作になっているはずで、波動関数を外にはみ出させることはできなそうに思います。 -- 前野?
- また、「正しいオブザーバブルか？」という点は、xをある程度の幅で観測して波動関数を収縮させる（ということは、波動関数をある領域に局在した形に射影する）ということができるか、という話しになりますが、そういう波動関数$\psi(x)$は周期的境界条件を満たす波動関数の和で書けますから、オブザーバブルでないとは言えないと思います。 -- 前野?
- どちらについても、物理的に変な操作をしないように注意してればおかしなことは起きないでしょう。 -- 前野?
- ありがとうございます。正直これだけ簡単な系で不確定性関係が成り立たないという事実を今まで知らずにいて、やや疑心暗鬼状態なので、もう少し続けさせて下さい。メシア量子力学1巻160-161pの議論によると、周期境界条件がそもそも$\hat{p}$をエルミートにするための必要十分条件として導かれていますが、これは$\hat{x}$の作用を考慮に入れると閉じた議論になっていなくて不十分だということになりますか？ -- gm3d?
- pがエルミートだという証明（いろんな本に書いてありますが）はあくまで「ｘが掛けられてないψの空間」で証明したものなので、xを掛けた後の関数が出てくる場合については不十分な証明だということになります。 -- 前野?
- すると$\hat{x}$の存在を考えると、有限区間の場合はいつでも$\hat{p}$はエルミートではないという話になりますか？ -- gm3d?
- いつでも、かどうかは。境界条件によっては大丈夫かもしれないので（表面項が残らないような状況なら問題ありませんから）。 -- 前野?
- ええ、でも先のメシア等の計算を見る限り、まず周期境界条件を課さないと$\hat{p}$がエルミートにならず、また周期境界条件を課しても結局$\hat{x}$の作用によってそれは崩れるので、いずれにしても$\hat{p}$のエルミート性が成り立たない気がします。 -- gm3d?
- やはり交換関係と両立する形で$\hat{x}$を周期的になるように再定義しないといけないんでしょうかね？ -- gm3d?
- 別にｐがエルミートでなくても、そこを注意して使えばいい（たとえば、エルミートでないと成り立たない性質をうっかり使っちゃったりしない）だけのことだと思います。 -- 前野?
- 確かにそうなのですが、いつ$\hat{p}$がエルミートでなくなるのかがはっきりしないとそのうっかりをやってしまいそうで気になっています。 -- gm3d?
- よく見たら周期境界条件が$\hat{p}$がエルミートになる必要条件というわけではないですね、$\psi(x) = 0 ~(x = 0, L)$でもOKで、こちらでは$\hat{x}$を考慮に入れても$\hat{p}$のエルミート性は保たれますね。 -- gm3d?
- そっちの境界条件（ディリクレ型）の場合、ｐを掛けるというのは微分することなので、結果の波動関数は元々の波動関数の定義域からはみ出す（sin→微分してcosのように）という問題もあって、なかなか面倒な話しになったりします。結構ややこしいのです。このあたりの話しは。 -- 前野?
- なるほどそうですね、とりあえずどの辺で気をつけなければならないかは分かって来ました、どうもありがとうございます。 -- gm3d?
- お忙しい中失礼致します。3次元シュレディンガー方程式において「変数分離が出来ると仮定」したあと、それが解としての唯一性を持っていると考えて良いのでしょうか？またそれは偏微分方程式における解の一意性によるものなのでしょうか？ -- NHK?
- 世にあるテキストには「対称性」がある場合このような処理をするという形で、自分にはやや「感覚的」に思えてしまいます。 -- NHK?
- 変数分離のできるできないは、普通の偏微分方程式と同じで「まずやってみる。やってみて解が出て、それで十分沢山の解が出てればよし」という考え方です。 -- 前野?
- ３次元シュレーディンガー方程式の場合、角度部分が球面調和関数という完全系の関数になるので、それで任意の角度方向関数が用意できるのでこれでよし、という感じでしょうか。 -- 前野?
- 量子力学の場合対称性のよい場合を考えていけばよしなのは、対称性が悪くなればなるほど「複雑な波」がそこにあることになって、波動関数のエネルギーを上げる方向にあるということもあります（たとえば球面調和関数で角運動量が上がれば波は非対称性を増すけど、結果としてエネルギーが増える）。 -- 前野?
- だからエネルギー固有関数を、それも低いエネルギーから考えているときは、対称性のいい奴から探すのは悪い戦略ではないと言えます。 -- 前野?
- 自然科学の研究では低いエネルギーからのアプローチが現実的ということでしょうか。詳しい説明ありがとうございました。 -- NHK?
(6.19) Jの定義 †
gm3d? (2015-07-19 (日) 14:02:02)
先生の本をテキストに意欲のある社会人対象に勉強会を続けており、好評です。
表題の件ですが、本文では
(d/dt)(確率密度の積分) = - [J(x, t)]{上端b;下端a} = -J(b, t) + J(a, t)
となっていますが、350p解答(D.25)では
(d/dt)(確率密度の積分) = + [J]{上端b;下端a}
と定義しているように見え、符号がインコンシステントではないでしょうか。
- すいません、これは(D.25)の最後の式だけマイナス符号が落ちているようです。 -- 前野?
不調 †
前野? (2015-03-29 (日) 18:05:04)
「よくわかる量子力学」の掲示板が不調なので、退避場所としてこの「２」を作りました。
演習問題1-3について †
社会人? (2015-03-29 (日) 17:44:36)
下にある同じタイトル質問と同じ疑問を感じました。
ご回答を拝読したのですがまだ疑問が残るので質問させてください。
「４分30秒かかる」というのは「光が粒子でなかったら」という仮定の元での計算です。
とのことですが、本解答のどこで波として扱っているのでしょうか？
1[m2]当たりを通過する光子のエネルギーの総和が(1/683)[W]、という設定ではないのでしょうか。
- 掲示板不調でなかなか書き込めなかったのではないかと思います。こっちにこれたでしょうか？ -- 前野?
- 問題の解答ですが、「波として扱っている」というより「連続的に広がっていて、いくらでも分割できるものとして扱っている」というふうに考えていただければと思います（これは波の性質でもあります。粒子ならいくらでも分割はできない）。 -- 前野?
- 連続的に広がっていくらでも分割できるものとして扱っているがゆえに、「ロドプシン１原子あたりにこれだけのエネルギーがやってくる」という計算ができます。そしてそのエネルギーでは足りないという結論が出るわけです。 -- 前野?
P.304の(13.48 ) P.308下から4行目 P.310の (13.52) について †
ten109in? (2015-03-16 (月) 20:31:31)
P.304(13.48) Yの前の(2r/n)は不要ではないでしょうか?
P.308下から4行目 ハロゲン(B,Cl)となっていますが、BではなくFの誤りでは?
P.311(13.52) (13.58)から判断すると(13.52)の1s軌道のブラケットの和の前に1/2が必要ではないでしょうか?
本質的でないところばかりメールしてしまい、お手間を取らせて申し訳ありません。
ようやく1回目の通読が完了しました。量子力学は本当に難しいと思います。
少し時間をおいて、2回目にチャレンジします。わかりやすい本に出会うことができ
感謝しています。
- p304の(13.48)の$\left({2r\over n}\right)$はその前の$L^{2\ell+1}_{n+\ell}$の引数を表している部分なので、必要です。 -- 前野?
- ハロゲンは確かにこの表だと(F,Cl)ですね。 -- 前野?
- 最後に(13.52)ですが、(13.52)の方が間違ってました。この式の右辺の最後は、正しくは$C_1^*C_2~~{}_1<1s|1s>_2+C_1 C_2^*~~{}_2<1s|1s>_1$です。 -- 前野?
P.291 の下から4から6行目 †
ten109in? (2015-02-24 (火) 19:22:44)
「陽子を起点とした電子の位置」を表す相対位置ベクトル ベクトルxr = ベクトルX －ベクトルxとありますが、ベクトルxr = ベクトルx － ベクトルX だと思います。そうだとする
とベクトルV － ベクトルv も反対になります。最終的にエネルギーを問題にしているので
本質的ではないと思いますが、気になったので書き込みます。間違っていたら、ごめんなさい。
- 確かに、図に書いている$\vec x_r=\vec x-\vec X$の方が正解です。$\vec V-\vec v$の方も引算を逆にしたほうがいいですね。 -- 前野?
正準交換関係について †
(2015-02-24 (火) 18:00:22)
P120で正準交換関係がもっとも重要な式と書いてありますが、これは
古典力学から量子化を考える際、この正準交換関係を仮定することで量子力学を作られると言う意味で重要、という考えでいいんでしょうか
- 正準交換関係が重要である理由は、古典力学のポアッソン括弧とつながるから、という理由が一つ。もう１つは量子力学の定式化としてはシュレーディンガー方程式の他にハイゼンベルク形式というのもありますが、両方に共通して成立するという意味で基本的だということも言えます。 -- 前野?
P.288のグラフのj1(x)について †
ten109in? (2015-02-24 (火) 10:32:43)
j1(x)の分子が、sinx－xcosx となっていますが、－sinx＋cosx だと思いますが?
間違っていたら、ごめんなさい。
- ああ、これは球ベッセル関数$j_\ell$の定義をちゃんと書いてないから悪いんですが、$j_\ell$は本文中の$R_\ell$とは符号が違う定義になってます。 -- 前野?
P.282 下から2行目について †
ten109in? (2015-02-23 (月) 16:34:34)
r ＜ Rとありますが、r ＞ R だと思いますが?
間違っていたら、ごめんなさい。
- あ〜、ほんとだ。すいません、ありがとうございます。 -- 前野?
- あ〜、ほんとだ。すいません、ありがとうございます。 -- 前野?
P.276 15行目について †
ten109in? (2015-02-23 (月) 13:37:42)
15行目に「と下げる時のLマイナスは、hスラッシュexp(－iΦ)・・・と書き換えることができる。」とありますが、hの前に－が付くと思いますが?
間違っていたら、ごめんなさい。
- えっと、(12.69)の$L_-$の定義からすると、必要なのは$-\mathrm i \hbar$ですね（しかも、(12.89)の右辺にも全部いる）。 -- 前野?
P.273 (12.81)について †
ten109in? (2015-02-22 (日) 19:10:58)
(12.81)のルートの中が、m×(mマイナス・プラス1)となっていますが、上がプラス、下が
マイナスではないでしょうか?
間違っていたら、ごめんなさい。
- ああ、確かに。なんで上の式であっているのに下の式で変わってるのか、おかしい。±が正解です。 -- 前野?
- 書き忘れてた。御指摘ありがとうございます。 -- 前野?
P.243(11.73)について †
ten109in? (2015-02-15 (日) 18:22:49)
(11.73)の最後の式が、2ルートパイ×n!となっていますが、2は不要で、ルートパイ×n!に
なると思いますが?
間違っていたら、ごめんなさい。
- 確かに、そのとおりです。2はどこからもでてきませんね。 -- 前野?
P.228 (11.16)について †
ten109in? (2015-02-14 (土) 11:21:07)
(2(m－2)－λ)のλの前に2がついて2λになると思いますが?
そうだと以下すべて2λになります。
間違っていたら、ごめんなさい。
- 確かにその通りで、(11.18)の直前まで全部間違ってます。すみません。 -- 前野?
無題 †
(2015-02-04 (水) 21:15:17)
演習問題3-2のヒントで右辺第二項のデルタ関数は階段関数が正しいと思います。
- 部分積分の公式そのままですし、これでいいと思いますが。 -- 前野?
P.130の16行目はh/ΔEが正しいのでは? †
ten109in? (2015-01-29 (木) 16:24:59)
hにスラッシュがついていますが、1周期分変化するとあるのでスラッシュはつかないのではないですか? 周期T=2π/ω と思うのですが? 間違っていたらごめんなさい。
- ああ、ほんとですね。このページにある${\hbar\over \Delta E}$は全部${h\over \Delta E}$です。 -- 前野?
誤植のｐｄｆ化のお願い †
農学部2年? (2015-01-24 (土) 00:10:18)
大学に入学してから物理に興味を持ち、ゆっくりですが日々独習に励んでいます。
この本も第5刷を購入し、毎日苦労しながらも読み進めています。
さて、題名の通りですが、この本の誤植の一覧も、類書同様にpdfを作成していただけないでしょうか？
ご一考よろしくお願いします。
- 蕎麦屋の出前のような答えですみませんが、今やってますのでもう少しお待ちください。 -- 前野?
- さっき、サポートページの方にアップしました。 -- 前野?
p167の式(8.10)の右側の最初の式について †
物理学科3年? (2014-11-04 (火) 10:00:49)
(p-〈p〉)|ψ〉の上付き添え字の†は複素共役の*ではないのですか？
- ここは、ケット｜ψ＞をブラ＜ψ｜にするという操作も含めているので、＊ではなく†です。 -- 前野?
「位置の演算子」="x"について †
量子力学初心者? (2014-10-19 (日) 12:56:51)
「位置の演算子」が"x"となる理由が分かりません。「運動量の演算子」の場合は、適当な波動関数を用いて、運動量と演算子の対応が導かれことは理解できます。しかし、どのページを探しても、「位置」と演算子の対応について書かれていませんでした。「位置」と演算子の対応については、暗黙の了解なのでしょうか。
- x表示の波動関数の場合、場所xに粒子が存在する確率密度が$|\psi(x)|^2$で表されるというのがすなわち、xが位置を表現する演算子となる、という対応関係になっていると考えればよいかと思います。 -- 前野?
- x表示の波動関数の場合、場所xに粒子が存在する確率密度が$|\psi(x)|^2$で表されるというのがすなわち、xが位
式(7.44)から(7.47)までの、<A(x)>の変形 †
(物理)化学の学生? (2014-10-06 (月) 13:26:18)
量子化学を勉強中のM1の学生です。前野先生の著書は、豊富なイメージを用いて量子力学を説明しているため、概念や式の意味を理解しやすいです。現在も、前野先生の著書を重宝しています。
数日前から、"x"を文字としてではなく「演算子」として扱わなければならない理由に興味を持って、pp.151-152を読んだのですが、完全に理解できませんでした。具体的には、式(7.44)から(7.47)までの、<A(x)>の変形について、以下の2点です。
①式(7.46)の演算子
式(7.45)を用いて、演算子A(x)→A(-ihd/dp)に変形できることは理解できたのですが、式(7.46)はどうやって導いたのですか？A(-ihd/dp)は「pで微分する」という演算子なので、ψ(p,t)に作用すると思ったのですが、式(7.46)ではexp(pxi/h)にしか作用していません。どのように考えれば、式(7.46)を導出できますか。
②部分積分の方法
式(7.46)を部分積分するには、具体的には、どのような方法を使えばよいですか。A(-ihd/dp)は-ihd/dpの線形結合ということは、他の質問者様のおかげで判明したのですが、ここでは、A(-ihd/dp)を-ihd/dpと考えて部分積分していると思います。確かに、A(-ihd/dp)を-ihd/dpと考えれば簡単に解けるのですが、その根拠が分からなくて行き詰まっています。
- まず①について。計算の手順としてはまずA(x)をψ(p,t)と$\mathrm e^{{\mathrm i\over\hbar}px}$の間に持ってきて（この段階ではxとpは数で可換です）、$\psi(p,t)A(x)\mathrm e^{{\mathrm i\over\hbar}px}$にしてから、$A(x)\to A\left(-\mathrm i\hbar{\partial\over\partial p}\right)$の置き換えをします。 -- 前野?
- ②については、たとえばAの中に$\left(-\mathrm i\hbar {\partial \over \partial p}\right)^2$が含まれていたら、部分積分を２回行います（ｎ乗が入っていればｎ回です）。Aに含まれるそれぞれの項について各々必要な回数の部分積分を行えば、$\mathrm e^{{\mathrm i\over\hbar}px}$にかかっている微分を全部$\psi(p,t)$にかかるように直すことができます。 -- 前野?
シュレディンガー方程式の解 †
ビギナー? (2014-09-26 (金) 10:48:07)
シュレディンガー方程式の解そのものに意味があるわけではないと思いますが・・・
「この方程式の任意の解は固有状態の重ね合わせによって表すことができる」という解釈でよろしいのでしょうか？
イマイチ普遍性を得ることが出来ないので宜しくお願い致します。
- どうも何が聞きたいのかよくわからない質問なのですが、方程式の解が固有関数の重ねあわせで書ける、というのはシュレーディンガー方程式に限らず、線型な方程式ならそういう表現をすることができます。シュレーディンガー方程式の解にはもちろん意味がありますよ。「意味があるわけない」というのはどういうことなんでしょう？？？ -- 前野?
- お返事ありがとうございます。波動関数そのものではなくその絶対値に意味があるということではないのでしょうか。 -- ビギナー?
- というのはまだ言い過ぎです。というのは波動関数は他の波動関数と重ね合わされることがありますが、その時二つの波動関数の位相差により、強め合ったり弱め会ったりします。ですからそういう状況では、絶対値だけに意味があるとは言えません。また、場所によって位相が変化することも波動関数の重要な性質（たとえば運動量は位相変化に関係する）ですが、これも絶対値だけ見てもわかりません。 -- 前野?
- ありがとうございます。ある程度納得いきました。こちらの本の６～７章あたりを読んでみるとより一般的な考えがわかるような気がしました。ブラケットというのは波動関数をより一般的に表したものということですが、時間依存性があるものなのでしょうか？ -- ビギナー?
- 申し訳ありません。これについてはまた別のテーマとして掲載したほうがよろしいでしょうか？ -- ビギナー?
- ブラケットは時間発展する場合もない場合もあります。テーマは別にしなくてもいいですよ（どちらでもお好きな方で）。 -- 前野?
- 波動関数Ψ（ｘ．ｔ）におけるｘは力学変数ではなくｔに依存するものではないということですが、これが「シュレディンガー方程式においてΨ（ｘ．ｔ）がｘとｔで変数分離できる」理由なのでしょうか？それとも単純に解析的に解けるようにするためのお膳立て（前提条件）なのでしょうか？お忙しい中申し訳ありませんが宜しくお願い致します。 -- ビギナー?
- 変数分離できる理由がそれではありません。xがtの関数でx(t)になっていたらそもそも変数分離できませんから、「変数分離できる必要条件」にはなっているかもしれませんが。変数分離ができるかどうかは「問題による」としか言いようがないです（変数分離ができないような問題はそもそも解くのが無理なんですが）。 -- 前野?
- ありがとうございます。なるほど、変数分離できない場合というのはコンピュータでは計算できるのでしょうか。そもそも変数分離できないケースというのは物理的に意味のない状態なのでしょうか？ -- ビギナー?
- 変数分離できない時の手段としてはコンピュータによる数値計算もよく使われますね。後は摂動を使った近似計算などです。物理的に意味がないなんてことはありません。変数分離できるのは「簡単な問題」だというだけのことで、簡単でないけどチャレンジすべき問題は世の中たくさんありますので。 -- 前野?
角運動量の固有値について †
なかた? (2014-08-02 (土) 15:33:36)
的外れな質問かとは思うのですが，
角運動量の大きさ$L^2$の固有値$\hbar ^2 l(l+1)$ が正なのは分かるのですが，lが$l\geq 0$だけではなく$l\leq -1$ の値を取る解を考える必要はないのでしょうか？
- もともと$L_z$の最大固有値が$\hbar\ell$として$\ell$を定義するところから始まったので、$\ell$がたとえば$-1$だと、$L_z$の固有値が$-\hbar,-2\hbar,-3\hbar,\cdots$のようになってしまいます。こうだとすると$(L_z)^2$の固有値が$|\vec L|^2$の固有値を超えてしまうことになって矛盾します。あと、271ページの下の方に$L_z$の最小値の方を決める計算が書いてありますが、そちらから最小値が$-\hbar\ell$というのもわかるので、$\ell$が負だと最小値の方が最大値より大きいというおかしなことになってしまいそうです。 -- 前野?
- なるほど，よくわかりました．もともとの定義から，$m \leq l$ なので，一般に，$l \leq -1$ のとき，$m^2 \geq l^2 > l(l+1)$ となってしまい矛盾するわけですね．ご回答ありがとうございます． -- なかた?
- なるほど，よくわかりました．もともとの定義から，$m \leq l$ なので，一般に，$l \leq -1$ のとき，$m^2 \geq l^2 > l(l+1)$ となってしまい矛盾するわけですね．ご回答ありがとうございます． -- なかた?
δ関数型ポテンシャルに入射する粒子について †
ぶつりがくと? (2014-06-15 (日) 14:36:28)
p214などで扱っているデルタ関数型ポテンシャルに入射する粒子についてです。
透過率を計算すると$V_0$の正負に依らず、$V_0$の二乗のみに依るという結果が出てきますが、これはなんでなのでしょうか？普通、ポテンシャルが小さいほうが粒子をよく通すと考えられると思うのです。
実際、階段型ポテンシャルなどでは、Eを固定すると$V_0$が負の無限大で透過率が1になると思います。
よろしくお願いします。
- 結果はそうなってますね。透過波の係数が$P={ik\over ik-{mV_0\over \hbar}}$ですが、この量は$V_0$の符号がひっくり返っても絶対値が変わりません。 -- 前野?
- じゃあこれをどう考えるかですが、そもそも「ポテンシャルが小さいほうが粒子をよく通す」とは限らない状況だということが一つ（これはデルタ関数的でない時も、壁の厚さとポテンシャルでいろんな場合が有り得ます）。古典力学的な「小さい方がよく通す」という感覚は状況により成立しないこともあるわけです。 -- 前野?
- デルタ関数的ポテンシャルの場合、「壁の中」にあたる部分が全くないので、壁が有限の時のように反射波が二つあってそれが干渉するという状況は考えなくてもよくなって、デルタ関数ポテンシャルのやることは214ページに書いてあるように「波動関数の位相をスキップさせる」ことになっています。そのスキップする位相は$V_0$の符号が反転すると一緒に反転する形になってますね。「どうして？」と言われると直感的説明は今思いつきませんが、位相の変化だけが問題で、その部分に関しては$V_0$の変化に対して奇関数になっている、ということは言えそうです。 -- 前野?
- "位相の変化だけが問題になっている"ということが鍵になっていそうですね。それも$V_0$を大きくし過ぎるとノックバックしすぎてほとんど透過しなくなったり、面白いなぁと思いました。もう少し考えてみます。ありがとうございました。 -- ぶつりがくと?
- "位相の変化だけが問題になっている"ということが鍵になっていそうですね。それも$V_0$を大きくし過ぎるとノックバックしすぎてほとんど透過しなくなったり、面白いなぁと思いました。もう少し考えてみます。ありがとうございました。 -- ぶつりがくと?
問い12-11について †
よーぺー? (2014-01-27 (月) 07:18:10)
(D.90)式について、3行目の交換関係は$[ L_+,L_- ] =2\hbar L_z$ なので、答えは $\frac{\hbar ^2 l}{2}$ になると思うのですが…ご回答お待ちしてます。
- はい、確かにそのとおりです。でないと$|\vec L|^2$の期待値があわなくなりますね。 -- 前野?
無題 †
よーぺー? (2014-01-25 (土) 07:36:47)
問い12-3の解答の2-3行目がおかしいと思うのですが。
- ２行目、｝の下の$=\pm\hbar$の後ろに${\mathrm e}^{\pm\mathrm i \phi}$が必要で、それに連動して３行目も${\mathrm e}^{\pm \mathrm i \phi}$が必要ですね。御指摘ありがとうございます。 -- 前野?
p254の式(12.22)について †
sweetchildren? (2013-11-07 (木) 15:39:32)
式(12.22)ですが
右辺の第一行目の第二項と第三項の係数r^2はrです。
また第二行目の第一項にrがありません。
P79 演習問題3-8の[sim]について †
physeong? (2013-07-21 (日) 12:19:21)
演習問題3-8の[sim]はシミュレーションページのどこにあるのですか？
- レンズによる集光というやつです。問題のシミュレーションというよりは、その前段階の、「分解能とは何か？」という部分のシミュレーションです。 --
P245 電磁場の量子論に関して †
(2013-06-04 (火) 21:03:14)
P245で
電磁場E,Hを演算子と考える
と書かれており、これに対し注釈で
電磁ポテンシャルA,φを用いるほうが多い
と書いていますがなぜ電磁ポテンシャルを使うほうが多いのでしょうか？
電磁ポテンシャルを使うと、不定性があるからゲージ固定とかややこしい話が出てくるので、EとHをそのまま使った方がよさそうな気がするのですが、イマイチ電磁ポテンシャルを使う利点がわかりません・・・。
- いろいろと利点はありますが、まずEとBだと合計６成分。AとΦだと合計４成分で、実はEとBを使った方が冗長性が高い（つまり無駄な自由度がたくさん入っている）ことになります。ゲージ不変性は確かにやっかいなんですが、EとBを使った方が自由度が大きい分やっかいさは増えます。 -- 前野?
- あと、基本方程式であるマックスウェル方程式は、EとBの式としては一階微分方程式です。AとΦの式にすると二階微分方程式になりますが、量子化の手順として二階微分方程式の方がスムーズに行きます。実際、量子化するにはラグランジアン書いてハミルトニアン作って、という作業をしなくてはいけませんが、ラグランジアンをEとBを使って（マックスウェル方程式を出すように）書き下すのは困難です。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございました。 --
同時固有状態に関する質問 †
シロクマ? (2013-04-22 (月) 23:53:49)
P171に同時固有状態に関する定理がありますが
これの逆、裏は必ず真なのでしょうか？
- 「交換しない二つの演算子は同時固有状態を持てない」の裏は、「交換する二つの演算子は、同時固有状態を持つことができる」ということになりますね。それは演算子の固有値で状態が分解できる時（量子力学で出てくるエルミートな演算子ならできる）なら、大丈夫ということになります。 -- 前野?
- 回答ありがとうございました！ --
P152のFAQについて †
だいき? (2013-01-22 (火) 18:11:58)
演算子$A(x)$の意味は演算子$A$は$x$をあらわに含んでいるという意味だと思いますが，
$A(x)$->$A(-i\frac{\partial}{\partial})$の意味は$A$は$(-i\frac{\partial}{\partial})$をあらわに含んでいるという意味でよろしいですか？
その後の計算をみると，$A\times(-i\frac{\partial}{\partial})$のように演算子と$(-id/dp)$の積のように見えてしまいます。
- $\frac{\partial}{\partial p}$です -- だいき?
- その意味（$A$は$-i{\partial \over \partial p}$をあらわに含んでいる）という意味でいいです。そう考えても以下の計算は成り立ちます。 -- 前野?
- ありがとうございます。それでは$A(-\frac{\partial }{\partial p})$を具体的に表すと$C\times(-\frac{\partial }{\partial p})$ ($C$は定数)のような感じになっているのでしょうか？ -- だいき?
- $a_1 \left({\partial \over \partial p}\right)+a_2 \left({\partial^2 \over \partial p^2}\right)+a_3 \left({\partial^3 \over \partial p^3}\right)+\cdots$のようにいろんな次数のが入ってます。 -- 前野?
- ありがとうございます。理解することができました。演習問題の解答(22w)の(F.44)式の結果なのですが$16/105$ではなく$8/105$となる気がいたします。 -- だいき?
- 展開すると$x^6-{x^4\over3}$、不定積分すると${x^7\over 7}-{x^5\over 15}$で、$x=1$を代入すると${1\over 7}-{1\over 15}={8\over 105}$ですね。積分は$x=-1$から$x=1$までなので、$x=-1$を代入した値を引かねばならず、この２倍で${16\over 105}$となります。 -- 前野?
- すみません私の勘違いでした..ありがとうございました -- だいき?
- 問い８－１（２）の回答なのですが規格化する前の波動関数は$\psi(x) = \frac{H}{b-a}x$で規格化定数Hの値は変わってこないのでしょうか？ -- だいき?
- すみません。解決いたしました -- だいき?
演習問題1-3について †
あき? (2012-12-03 (月) 16:28:21)
0等星の光子によって目のロドプシンが反応するのに4分30秒もかかるということは、0等星は見えない、または光子の粒子性によってまたたいて見えるという結論になりませんか？
- 「４分30秒かかる」というのは「光が粒子でなかったら」という仮定の元での計算です。実際には光は粒子なので見えます。そして粒子だとしたら、粒子数は十分たくさんなので、またたく理由を粒子性で説明することはできません。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございます。 -- あき?
p.99 複素成分に関して †
merie? (2012-10-12 (金) 19:51:46)
一度Y(x,t)～の段落の２行目 「複素成分の波」の式の(i)は虚数(-i)の誤記ではないのでしょうか？
９９ページ下の漫画では(-i)、演習問題４－３の解答_p18w_は(-i)になって問題ないようですが。
- ここでは$\mathrm e^{\mathrm i(kx-\omega t)}$と、$kx-\omega t$の形になっていることが肝要なので、この式で大丈夫とおもいますが。 -- 前野?
p312について †
ゆうき? (2012-09-12 (水) 13:40:37)
式(13.62)の二行目，第一項についている注釈の$ E_1 $ですが，これは矢印が反対向きではないでしょうか。ここでうまく向きを選ぶことで，$ \pm $のついた二つの項がちょうど複素共役になってくれる，という理解で良いでしょうか。
- 確かに、こっちは状態２の方に当てないといけないので、左向けですね。±の項は互いに複素共役になっているのも、そのとおりです。 -- 前野?
p314の演習問題とその解答について †
ゆうき? (2012-09-11 (火) 20:55:37)
（記入ミスのため再投稿です）
【演習問題13-1】において，式(13.66)は正しくは，
$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\rho^2}\chi - \frac{l(l+1)}{\rho^2}\chi + \frac{\lambda}{\rho}\chi - \frac{1}{4}\chi = 0 $
にならないでしょうか。左辺第二項以降が $ \rho $ 倍になってしまっているようです。そうすると，エネルギー固有値は $ -\frac{1}{4} $ で，ポテンシャルは，$ \frac{l(l+1)}{\rho^2} + \frac{\lambda}{\rho} $ ということになるのでしょうか。エネルギー固有値が量子数によらない単一の結果となってちょっと不思議なのですが…。何か誤解をしているかもしれません。
【演習問題13-2】の解答で，式(F.129)の右辺に余計な $ (ts)^n $ が掛かっています。
【演習問題13-3】の(F.130)の式変形に計算ミスがあり（ $ \frac{2l+2}{\rho} $ と $ 2\rho $ を掛けるところです），正しくは， $ c_1=-6-4l $ ， $ c_0=2(l+1)(2l+3) $ ， $ L_{2,l}(\rho) = \rho^2 - 2(2l+3)\rho + 2(l+1)(2l+3) $ になると思います。そうしないと $ L_{2,0} $ が $ L_3^1 $ の定数倍にならないです。また，解答の式(F.134)の左辺の下付添字が3でなく4になってしまっています。
また，非常に細かい点ですが，p301の式(13.36)の右辺で，"+"が一つ重複しています。
- 13-1について、確かに計算間違っていて、エネルギーが$-{1\over4}$になりますが、定数になること自体は問題ありません（今は単位系を調整しているので）。解答がだいぶ変わってしまいますが、この後直します。 -- 前野?
- 13-2,13-3についてもそのとおりですね。直します。 -- 前野?
- 修正ありがとうございます。13-1解答のグラフの式ですが，第一項の分母の自乗が抜けています。あと，式(F.134)の左辺の下添字がそのままです。それと，13-3の題意からは，$ L_3^1 $の出番はないような気もします。$ L_{2,0} $から直接多項式部分と比例することを確認するとしても良いでしょうか。 -- ゆうき?
- またミスってしまったようです。$L_3^1$の計算は確かに要りません（たぶん、編集の途中で問題を変えてしまったのに答を編集しそこなったのでしょう）。これも訂正しておきます。 -- 前野?
p282,p289,p344,p365の誤植 †
ゆうき? (2012-08-31 (金) 22:31:29)
数式を追うのが精いっぱいで，量子力学を理解したというにはまだ遠いのですが，気の付いた点がもういくつかありまして，投稿します。何度もすみません。
p282の式(12.108)の右辺分母に$ \varepsilon $ が抜けています。
p289の【演習問題12-3】で挙げられている式は，$ r\frac{\partial }{\partial r} = x\frac{\partial }{\partial x} + y\frac{\partial }{\partial y} + z\frac{\partial }{\partial z} $ の間違いではないでしょうか。
p344の式(C.17)の左辺，$ \xi^2 $ とカンマの位置が逆です。
p365の式(D.93)の二階微分が $ \xi $ でなく $ x $ による微分になっています。
- p282：そうですね。さらに記号は$\epsilon$ではなく$\varepsilon$を使うべきです。p289:そのとおりです。これはまずいですね。以下についても、おっしゃるとおりです。 -- 前野?
p223,p227,p270,p343,p363の誤植 †
ゆうき? (2012-08-30 (木) 12:21:24)
細かい点ばかりで恐縮です。
p223の式(11.5)と，その下にある同じ式で，左辺の $ \psi $ は $ \psi(x) $ だと思います。
p227の式(11.13)の下の行，「収束すると条件」は「収束するという条件」の，
p270の三行目，「量子力学に考えても」は「量子力学的に考えても」の，それぞれ誤記と思われます。
p343,p363の【問い12-8】のヒントと解答で， $ \psi $ は $ \phi $ であるべきではないでしょうか。
p363
- すみません，途中で送ってしまいました。p363の最後の行，「微分積分」は「部分積分」です。またこの【問い12-9】の回答では，mに絶対値記号がついていない式を導出していますが，mの正負で場合分けすれば完全な答えになるのでしょうか。 -- ゆうき?
- p223：ほんとだ、左辺と右辺で(x)がついたりつかなかったりは変ですね。 -- 前野?
- p227,p227,p343,p363：全部そのとおりです。ほんとすみません。 -- 前野?
p.205の誤植 †
ゆうき? (2012-08-24 (金) 21:30:00)
p.205の９行目，
$ \delta p =\frac{h}{2\mathrm{d}} $ は $ \Delta p =\frac{h}{2d} $ の，
10行目，
$ \frac{(\delta p)^2}{2m} = \frac{h^2}{8m\mathrm{d}} $ は $ \frac{(\Delta p)^2}{2m} = \frac{h^2}{8md^2} $ の，
それぞれ誤記ではないでしょうか。
- 確かに、ここだけΔを小文字のδにする意味はありませんし、分母の二乗が抜けてますね。 -- 前野?
- 素早い対応ありがとうございます。あと，分母の $ d $ が立体になっているのは斜体が良いと思いました。 -- ゆうき?
- サポートページの訂正欄で「p209の９行目からの」となっているようです。 -- ゆうき?
- あ、ほんとだ。９行目の９に引っ張られたか。直しておきます。 -- 前野?
ゆうき †
p.203とp.357の誤植? (2012-08-24 (金) 21:25:13)
p.203で二箇所，p.357で一箇所，
$ k^2+\kappa ^2 = \frac{2mV_0}{\hbar ^2} $ とすべきところが $ k^2+\kappa ^2 = \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar} $ となってしまっています。
- 確かに。すいませんなぜかルートをとっちゃってますね。 -- 前野?
p.200とp.202の誤植 †
ゆうき? (2012-08-24 (金) 21:21:34)
p.200の下から６行目，「 $ \psi _E $ か $ \psi _E $ 」は「 $ \psi _E $ か $ \psi _O $ 」の誤記と思われます。
また，p.202の式(10.11)の直前，「ないから、」は「から、」の誤記と思われます（直前の括弧の直前と重複）。
【演習問題9-4】，【演習問題9-5】の解答について †
ゆうき? (2012-08-24 (金) 21:14:15)
【演習問題9-4】と【演習問題9-5】の解答で，クーロンの法則の比例定数が，$ 9.9\times 10^9 $ になってしまっています。
また，【演習問題9-5】の解答で，$ \hbar $ のところに $ h $ の値である $ 6.6\times 10^{-34} $ が代入されてしまっています。
- ああ、これはexpの肩だけに大きな差になってしまいました。まぁ、もともとが小さすぎる値がもっともっと小さすぎる値に変わるだけですが。それにしても大きな間違いでしたすみません。 -- 前野?
p.193の誤植 †
ゆうき? (2012-08-23 (木) 14:43:28)
式(9.43)の直前の，
「$ x_0 $ での波動関数は $ x_N $ での波動関数の」は，
$ x_0 $ と $ x_N $ が逆だと思います。
何だか，細かい点ばかりで恐縮です。『よくわかる』シリーズは記載も興味深く，大変勉強になります。単なる趣味で読んでいるのですが，とても楽しいです。ありがとうございます。
- あ、ほんとだ逆です。いろいろと御指摘くださってありがとうございます。細かい点こそ書いた方はなかなか気づかないので、助かります。 -- 前野?
【演習問題9-1】について †
ゆうき? (2012-08-23 (木) 14:35:43)
たびたび失礼します。
【演習問題9-1】で不確定性関係を用いる場合に，ヒントと解答では運動エネルギーが位置エネルギーと同程度になるという条件で最小エネルギーを見積もっていますが，これで正しく予想できる理由がよくわかりません。
$ \frac{h^2}{2m(\Delta x)^2} + mg\Delta x $ を $ \Delta x $ で微分して，極小値となる点を求めてやる必要はないのですか？概算なので特に問題はないということでしょうか。
- 概算なので多少のずれは気にしてない、ということです。Δｘが小さいと運動エネルギーが上がり、Δｘが大きいと位置エネルギが上がる。しからば最小の値は二つが同じぐらいの値のところだろう、という推測です。 -- 前野?
- なるほど。了解しました。ありがとうございます。 -- ゆうき?
pp.356-7の【問い9-6】の解答 †
ゆうき? (2012-08-23 (木) 13:32:56)
再訂正です。
p.189にあるように，反射波の位相は $ \phi $ でなく $ -2\phi $ ずれる（$ R=\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\phi} $）ので，
式(D.60)の二行目は，
$ = 1+1+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}(kx+\phi)}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}(kx+\phi)}=2+2\cos{2(kx+\phi)} $ になり，
極大になるのが $ kx=n\pi -\phi $ が成り立つところ，
極小になるのが $ kx=(n+\frac{1}{2})\pi -\phi $ が成り立つところになるのではないでしょうか。
- これは確かにその通りです。$kx-\phi$と書いてあるところが$kx+\phi$になりますね。 -- 前野?
- $ kx-\phi $ が $ kx+\phi $ になるのではなく，$ 2kx-\phi $ が $ 2kx+2\phi $ になるのだと思います。前とその前の投稿は削除していただければ幸いです。 -- ゆうき?
- あ、確かに。２つは削除します。 -- 前野?
- 時間が空いてしまいましたが，サポートページの訂正文だとちょっと違うと思います。このスレッドの本文に書いた表現で，内容はあっていると思うのですが，どうでしょうか。 -- ゆうき?
- サポートページの通りに訂正すると「極大になるのは、2kx+2φ=2nπになるところ」になりますが、これはkx=nπ-φと同じ式だと思いますが、どこか他にまずいところがあるでしょうか？ -- 前野?
- 三ヵ所の2k-φが2k-2φになるのと，eの指数も修正が必要になると思います。返信遅れてすみません。 -- ゆうき?
- 修正しました。直したところがまた間違ってましたね。 -- 前野?
- まだちょっと残っていて，「−2kik+2iϕ」は「−2ik+2iϕ」に，「kx−ϕ（3回出てくる）は2kx−2ϕです」は「2kx−ϕ（3回出てくる）は2kx−2ϕです」になると思います。 -- ゆうき?
- 符号も間違っていました。「2ik+2iϕと−2ik-2iϕ」と，「2kx−ϕ（3回出てくる）は2kx+2ϕです」になるはずです。 -- ゆうき?
- すいません訂正しました（家にいなかったので対応遅れました）。 -- 前野?
p.354の(D.46)と，【演習問題8-2】の解答について †
ゆうき? (2012-08-21 (火) 14:12:27)
p.354の【問い8-2】の解答で，(D.46)は，
$ \phi = Ce^{-\frac{k}{2\hbar}x^2} $ ではないでしょうか。
また，この【問い8-2】を踏まえた【演習問題8-2】の解答が未完成のようです。
ここでの $ C $ は何を表すのでしょうか。
波動関数を規格化して $ \hbar $ と $ k $ そのままで地道に計算して，
$ \langle x^2 \rangle = \frac{\hbar}{2k} $ ，
$ \langle p^2 \rangle = \frac{\hbar k}{2} $ となり，
最小波束であることが確認できましたが，これで合っていますか？
- 失礼しました。$ \phi $ は $ \psi $ の誤記です。 -- ゆうき?
- すいません、だいぶいろいろ間違ってますね。ちゃんとした計算の結果はゆうきさんが書かれている通りです。Cの意味は$(\Delta x)^2$で、$(\Delta p)^2$が${1\over C}$を含むので定数になる、という計算です。 -- 前野?
- あと、$(\Delta x)^2$は${C\over 2}$なのでCの意味は$(\Delta x)^2$の２倍ですね。 -- 前野?
- 御確認ありがとうございます。 -- ゆうき?
p354の(D.43)から(D.44)にかけて †
ゆうき? (2012-08-19 (日) 20:25:43)
(D.43)の最右辺は， $ \frac{2A^2(b−a)^3}{24} $ ，
次の行は， $ A=\sqrt{\frac{24}{2(b−a)^3}} $ ，
(D.44)の途中の $ \frac{3}{(b-a)^3} $は $ \frac{24}{(b-a)^3} $ となって，(D.44)の最右辺は， $ \frac{3}{20}(b-a)^2 $ になると思います。
順番は(3)>(1)>(2)で変わりませんが，(3)の標準偏差が $ \sqrt{\frac{3}{5}}(b-a) $ となって $ \frac{1}{2}(b-a) $ を超えるのは，直観的にも不適当です。
- おっしゃるとおりです。${1\over2}(b-a)$の${1\over2}$を忘れた計算をしてしまっていますね。すみません。 -- 前野?
- 数式の方、直しておきます。 -- 前野?
- 迅速な対応ありがとうございます。 -- ゆうき?
p.339とp.349の誤植 †
ゆうき? (2012-08-14 (火) 15:47:04)
細かくてすみません。
p.339の【問い6-5】の式(C.6)で，右辺の被積分関数の第一項と第二項の間に「＋」が抜けています。
p.349の式(D.17)(D.18)で，右辺最後の$[/hat{A},/hat{B}^{n-1}]$は，ともに$[/hat{A},/hat{B}^{n-2}]$になるはずです。
- 細かくてすみません。 -- ゆう?
- 【訂正】p.349の式(D.17)(D.18)で，右辺最後の$[\hat{A},\hat{B}^{n-1}]$は，ともに$[\hat{A},\hat{B}^{n-2}]$になるはずです。 -- ゆうき?
- 確かにおっしゃるとおり、間違ってました。すみません。 -- 前野?
電磁場と光子のエネルギーについて †
シロクマ? (2012-08-10 (金) 03:55:00)
確認なのですがP87の4.18で
電磁場のエネルギー∝個数密度
って書かれていますが、これは正確には
（ε_0E^2/2）+（B^2/2μ_0）=ρhν
が成り立つってことですか？
- 振動数を固定して考えているなら、それでいいです。現実的にはいろんな振動数の光（光子）が混じっていることになるので、$\int \rho_\nu h\nu \mathrm d\nu$のような積分の形（$\rho_\nu$は単位体積あたり、単位振動数あたりの個数密度）になります。 -- 前野?
- 返答ありがとうございます。勉強になりました。 --
p.43の(2.23) †
ゆうき? (2012-07-30 (月) 23:18:59)
『よくわかる電磁気学』を終えてこちらも勉強しています。
p.43の式(2.23)ですが，下段の第一項に余分なnが掛っています。
- ありがとうございます。確かに不要です。打鍵ミスで入ってしまったようです。 -- 前野?
p231の11.31 †
ななし? (2012-07-16 (月) 12:59:03)
上昇演算子a^†は
xとpの一次式でかけると仮定するって書いてありますが
なんでxとpなんでしょうか？時間とかは含まないんですか？
- 時間によらないシュレーディンガー方程式の解（別の言い方をすると、時間を含まない演算子であるハミルトニアンの固有状態）を求めましょう、というのがここの趣旨なので、その時間によらないエネルギー固有値を上げ下げする演算子が時間を含むのは難しい、というか入るとその演算子で上げた結果が「時間による状態」になってしまいます。 -- 前野?
- なるほどー。ありがとうございます。 --
P２６３の練習問題について †
じょ? (2012-07-08 (日) 05:31:39)
(12.50)の演算子の順番をひっくり返して計算したらP361にあるように(D.75)を計算することになり、結果０になったと思うんですが、(12.50)と(D.75)の結果が同じ形になることが確認出来ませんでした。どのように理解すればよろしいでしょうか。
- (D.75)の前半に３つの微分演算子があります。この微分は後ろの$r\vec{\bf e}_r$にもかかるし、さらにその後ろにある量（書いてないけど、何かあるはず）にもかかります。つまり${\partial\over \partial X}r\vec {\bf e}_r f={\partial \vec {\bf e}_r l\over \partial X}f+r\vec {\bf e}_r{\partial f\over\partial X}$のようになるんですが、$r\vec{\bf e}_r$にかかった微分が0なら、後ろだけが残り、それは(12.50)と同じだよ、ということです。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- じょ?
p241の規格化された波動関数のリストについて †
なまきお? (2012-07-01 (日) 02:34:14)
πの肩の数字が1/4になっています。-1/4だと思います。
あと、Ψ1の√2はいらないと思うのですが、どうでしょうか。
- 確かに、$\pi^{-{1\over4}}$が正解ですね。$\psi_1=\pi^{-{1\over4}}\sqrt{2}\xi\exp(-{\xi^2\over2}$ですが、これを自乗すると$\pi^{-{1\over2}} 2 \xi^2 \exp(-\xi^2)$となり、これを積分しますが、公式$\int_{-\infty}^\infty \mathrm dx x^2 \exp(-x^2)={\sqrt{\pi}\over2}$があるので、これであっていると思いますが。 -- 前野?
- あ、分かりました！式11.57で、Ψ1は -- なまきお?
- ちょうど規格化されているというのを勘違いしていました^^; --
p204の問10-4について †
なまきお? (2012-06-29 (金) 01:12:26)
題名の問いについてなんですが、解答が質問にそぐわっていないと思うのですが、どうでしょうか？
- う〜ん、ちょっと説明が足りなかったかな？？ 奇関数の場合のグラフはp358の上に書いてあるわけですが、$V_0$が小さくなると円の半径が小さくなるから、交点がなくなる、ということなのですが。その時の$V_0$の値を出すのはすぐにできると思います。 -- 前野?
- やっぱりそうですよね。P358の解答でVoを求めずに解答が終わっていたので疑問だったんです。 -- なまきお?
演習3-5について †
kim? (2012-05-31 (木) 23:14:08)
Δx=dよりΔp=h/dとなっていますが、なぜイコールなのでしょうか。
おおざっぱな関係を見ると、不等号の関係になっていると思うのですが・・・
- この話全体がおおざっぱな話なので、=とあってもそれはおおざっぱなものだと捉えてください。 -- 前野?
P78の演習問題3-7について †
774? (2012-05-01 (火) 11:36:39)
この問題の解答見ると
「上を通る場合の運動量はそのd/2√(L^2+d^2)」
と書かれているのですがこれは
スリットの半分の長さ/スリットを通った後の斜線長さ、で
d/2√{L^2+(d/2)^2}
じゃないのですか？
p270FAQの" l "（スモールエル）について †
かず88? (2012-02-23 (木) 01:53:32)
この" l "（スモールエル）はここで突然出てきたように思いますが、何のことでしょうか。次のページのlとは違うようですが。こちらの勘違いでしたらすみません。
- すいません、この$\ell$は次頁の$\ell$と同じものです（説明前に出しちゃった）。「$m$の最大値を$\ell$とすると」というのを補ってください。 -- 前野?
300ページについて †
さけ? (2012-02-10 (金) 10:51:44)
n`次が最高べきであるためには(13・32)が必要であるとありますが、これはなぜでしょうか？
- L(ρ)はn'次が最高次だと仮定すると、(13.31)式の最高次はn'-1次になりますが、(13.31)の右辺は0ですから、このn'-1次の項が0にならなくてはいけない、ということから(13.32)を導いたということです。 -- 前野?
- n'-2次の項が０になるという条件はいらないのですか？ -- さけ?
- もちろんいりますが、それを求めるというのは「微分方程式を解く」ということです。ここでは最高次の情報からわかることだけを拾い出しています。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- さけ?
(E・21)について †
さけ? (2012-02-07 (火) 07:30:30)
これはどうやって出てきたのでしょうか？
- すいません。自己解決しました。(１２・６５）から導けますね。 -- さけ?
解答の誤植だと思います †
さけ? (2012-02-07 (火) 07:12:27)
(F.108)式ですが、最後の行で*がつくのはψじゃなくて、その外のカッコ全体ですよね？
- その通りです。あと一番前にある$\hbar$は不要ですね。 -- 前野?
演習問題12－2について †
さけ? (2012-02-06 (月) 14:39:12)
$(p_{r})^{2}=-\hbar^{2}\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}r^{2}$とならないのはなぜですか？よろしくお願いします。
- $p_r=-\mathrm i\hbar{1\over r}{\partial \over \partial r}r$なので、そのまま二乗すると$-\mathrm i \hbar{1\over r}{\partial\over\partial r} \left(r\left(-\mathrm i \hbar {1\over r}{\partial \over \partial r} r\right)\right)$となります。真ん中の$r$と${1\over r}$は消し合うので、$-\hbar^2{1\over r}{\partial^2\over\partial r^2}r$ となります。 -- 前野?
- 掛け算するときに、けっして$r$と${\partial \over \partial r}$の順番を変えてはいけない、というのがミソです。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます！！ -- さけ?
誤植ですか？ †
さけ? (2012-02-03 (金) 14:17:46)
式(12.114)の真ん中の式ですが、一番左のξの乗数が3/2となっていますが、これは一番右の√ξを払わないとこうなりませんよね？
- あ、ほんとだ。真ん中の式の一番右の${Q_{\ell}(\xi)\over \sqrt{\xi}}$の分母は不要です。 -- 前野?
演習問題2-4(E.2)について †
KM? (2012-01-31 (火) 13:03:02)
勉強させていただいております。
演習問題2-4のヒント(付録E)のE.2式につきまして、
お聞きしたく投稿いたしました。
r-からr+の積分範囲の左式を、1/r=xで置換積分していると
思うのですが、積分域がx+からx-になっているのがわからずにいます。
1/r=xなので、1/x+から1/x-になるのかと考えているのですが・・・・。
微積の再勉強もしつつ先生の本で勉強しているため、単に
私が勘違いしているのかもしれませんが、いかがな
ものでしょうか。
- 積分の方もdr→dxに直しているので（具体的には$\mathrm dr=-{\mathrm dx\over x^2}$という置き換えをしているので）、右辺の積分はすでにrではなくxの積分になっています。また、この置き換えで-がついていたので上端と下端をひっくり返しています。 -- 前野?
- お早いご回答ありがとうございました。勉強不足でした。またわからないことがでたら相談に乗ってくださいますよう、お願いいたします。 -- KM?
角運動量の固有関数について †
さけ? (2012-01-31 (火) 05:30:32)
$e$^{im\text{\textgreek{f}}}$$がLzの固有関数になるのはわかるのですが、$p$_{m}^{l}$$がL^2とLzの同時固有関数になるのはなぜでしょうか？L^2とLzが交換するから、ということでいいのでしょうか？
- すいません、また失敗しました・・・ e^imφです。 -- さけ?
- 「交換するから」というだけでは「同時固有関数が存在できる」ことはわかりますが、任意の関数が同時固有関数になるわけではありません。同時固有関数であることを言うには、実際に固有値方程式を解くしかないわけです。実際に$P^\ell_m(\theta){\mathrm e}^{\mathrm i m \phi}$が$L^2$に対してと$L_z$に対して、両方の固有値方程式を満たすことを確認すればよい。$L^2$に対する固有値方程式は（計算の結果）Legendreの陪微分方程式になったわけです。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。確認してみます。 -- さけ?
- すいません。よくよく考えてみたら、P$_{m}^{l}(x)e^{im\varphi}$がL$^{2}$とL$_{z}$の同時固有関数になるのであって、P$_{m}^{l}(x)$はL$^{2}$とL$_{z}$の同時固有関数にはなりませんよね？本にはP$_{m}^{l}(\cos\theta)$が両方の固有関数になると書かれているのですがこれは正しいのでしょうか？ -- さけ?
- もちろん、${\mathrm e}^{{\mathrm i}m\phi}$まで含めて固有関数です。 -- 前野?
- ですよね。ということは、ｐ280の一行目の記述は間違いとなってしまいませんか？ -- さけ?
- $P_m^\ell$は${\partial^2\over\partial \theta^2}+\cot\theta{\partial\over\partial\theta}-{m^2\over\sin^2\theta}$の固有状態ですね。 -- 前野?
- p280の１行めは「同時固有関数」の後に「のθ依存部分」と続いているのです。つまり「$P^\ell_m$の他にφ依存部分もあるよ」と示したつもりだったのですが。 -- 前野?
- う〜ん、素直に「$P^\ell_m(\cos\theta){\mathrm e}^{{\mathrm i}m\phi}$が〜の同時固有関数である」と書いた方がよかったかな。 -- 前野?
- あ、なるほどです！！続いているのを見落としていました囧ｒｚ ありがとうございます！！ -- さけ?
p１７８、１２６の「物理的に全く同等」について †
りゅう? (2012-01-28 (土) 16:13:08)
一般的な本では省かれていて困惑するところも、しっかり書いてある本で、
とても助けられています！ありがとうございます！
「物理的に全く同等」の意味はどう解釈すればいいのでしょうか？
・期待値や確率を計算するとき、任意の複素定数の影響がないことを、物理的に同等、と言うのですか？
・物理的、とは、直接観測できない波動関数そのものは物理的ではなく、期待値や確率など、実験で確認可能なものを物理的、と言われているのでしょうか？
・任意の複素定数を持ったものは、すべて、物理的に同等、表している意味は同等、ということですか？
まだまだ勉強不足です。どうぞよろしくお願いします。
- 何事であれ理解しにくい時は具体的な表現に引き寄せて考えるのがよいので、一番上に書かれた、「期待値や確率を計算するとき、任意の複素定数の影響がないこと」と考えてもらうのが一番いいと思います。何を計算したとしても結局は「観測結果と照らし合わせる」ということをして初めて物理になるので、期待値や確率に「効かない」数字は重要ではない、ということです。 -- 前野?
- あらゆる本を読んでも、ずっとスッキリしない状態が続いていたのですが、まずは少し理解が深まりました。自分では断言できないところを断言していただき、本当にスッキリしました！ありがとうございました！ -- りゅう?
式(12.103)について †
さけ? (2012-01-25 (水) 15:41:38)
この式はどうしてこうなるのでしょうか？左辺に掛かっている演算子はどこから出てきたのでしょうか？
- p274の(12.85)の最後の項を右辺に移項した式なんですが、確かに間に６ページもあるのでどこからきたのかわかりにくかったかもしれません。 -- 前野?
- ああ、わかりました！！ありがとうございます！！もうすぐよくわかる量子力学も読み終わります。バイトとの板挟みでなかなか長くかかりましたが量子力学が単なる計算式に埋もれている物理分野じゃないっていうことがよくわかりました。ありがとうございます！！ -- さけ?
L^2の固有値について †
さけ? (2012-01-25 (水) 09:24:32)
L^2の固有値なのですが、Lzの固有値が最大の時として求めました。このL^2の固有値はLzが最大の時以外でも成り立つのでしょうか？そして成り立つとしたらどうしてなのでしょうか？
- $L_x,L_y$が$|\vec L|^2$と交換することはp266で確かめています。ということは$L_+,L_-$と$|\vec L|^2$も交換するので、$L_z$の固有値を$L_\pm$で変化させても、$|\vec L|^2$の固有値は変わりません。 -- 前野?
- わかりました！！ありがとうございます！！スッキリです。量子力学は色々と難しくて質問量が多くなりすいません・・・。 -- さけ?
Ｐ240の式(11.59) †
さけ? (2012-01-18 (水) 09:39:31)
間違っていたらすみません。式(11.59)なのですが、この式でいいのでしょうか？第二番目で複素共役を表す記号と2乗が抜けていると思うのですが…。
- 確かに抜けてます。ただしくは、$\left((a^\dagger)^2\big|0\big>\right)^\dagger(a^\dagger)^2\big|0\big>$ですね。 -- 前野?
1次元調和振動子について †
さけ? (2012-01-17 (火) 05:43:58)
Ｐ236で位置エネルギーが1/2ξ^2と出てきていますがこれはどうやって出したのでしょうか？それと、古典的にはξが-1から1までの間というのもわかりませんでした。宜しくお願いします。
- すみません。また書き込んだあとに自己解決というパターンです…。バネの位置エネルギーですから、この式になるのは当たり前ですね。そう考えると-1から1までというのも納得です。掲示板汚し、すみません。 -- さけ?
たびたび質問すいません †
さけ? (2012-01-14 (土) 09:46:24)
問10－1なのですが、奇関数とおいて計算していい理由の部分がよくわかりませんでした。対称ポテンシャルでなくてもこうおいて計算していいのでしょうか？
- あ、すみません、自己解決しました。ψ(0)=0なのでcosの係数がゼロにならないといけないからですね。 -- さけ?
ポテンシャルの山へしみ出した波動関数 †
さけ? (2012-01-09 (月) 18:20:23)
なのですが、波動関数は複素数になっていませんよね？波動関数が複素数になって波動関数の進む方向性が決まるというのは納得なのですが、この場合は波動関数の進行方向は気にしなくていいのでしょうか？
- すいません。質問内容は題名とつながっています。 -- さけ?
- 染み出しているところの波動関数は古典的対応が存在しない状況なので、進行方向を気にしようにも気にすること自体ができないと思います。 -- 前野?
- ああ、そうですよね。ありがとうございます！！ -- さけ?
質問です †
さけ? (2012-01-07 (土) 13:10:21)
確率の流れ密度という量が出てきましたが、これはどうイメージしたらよいのでしょうか？物理的イメージが湧きません。よろしくお願いします。
- $J(x,t)$という量は、(p124にあるように）「粒子の存在確率が正方向にどれだけ流れていくか」を表す式になってます。その少し上に
$$
{\mathrm d \over \mathrm d t}\int_a^b \psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm d x =J(b,t)-J(a,t)
$$
という式がありますが、これは「粒子がaからbまでの間にある確率」である$\int_a^b \psi^*(x,t)\psi(x,t)\mathrm d x $が（単位時間あたりに）$J(b,t)$だけ増えて$J(a,t)$だけ減っているよ、という式です。つまり$x=b$から確率が$J(b,t)$だけ流れ込み、$x=a$で$J(a,t)$だけ流れ出している、というイメージです。 -- 前野?
- 確率が流れているというのになかなかなじめませんが、理解は出来ました。具体的に量子力学的な現象で、この確率の流れ密度が関係してくる現象ってあるんでしょうか？ -- さけ?
- １粒子の波動関数で考えると「確率密度の流れ」ですが、これがたくさんの粒子が存在しているところでは「粒子の個数の流れ」になります。その粒子が電荷を持っていれば「電流」そのものになります。金属や半導体を流れる電流などは、流れ密度に電気量をかけることで見積もれます。 -- 前野?
- なるほどです。そう考えると確率の流れというのも実体的に捉えられますね。ありがとうございます。 -- さけ?
章末問題9-1の答え †
さけ? (2012-01-07 (土) 13:01:18)
答えなのですが、ボーア・ゾンマーフェルトの条件を用いて求める最終的な答えにn^2が抜けていました。
- これは「最小のエネルギーを求めよ」という問題なのでn=1にするということで最終的答えはあっています。解答でそこを説明してないのは手抜かりですね。後で修正しておきます。ありがとうございました。 -- 前野?
- あ、わかりました。ありがとうございます。 -- さけ?
p193の波動関数の減衰について †
さけ? (2012-01-06 (金) 10:25:14)
ポテンシャルの細かく区切った範囲内ではe^{-\text{\textgreek{k}n\textgreek{d}x}}のように減少するとありますがこれはどこから出てきたのでしょうか？よろしくお願いします。
- すいません、Tex形式で打とうとして爆死しましたｗ exp(-knδx)倍に減少するとありますが、これはなぜでしょうか？よろしくお願いします。 -- さけ?
- 細かく区切った範囲内ではポテンシャルを定数とみなして、一つ前の節で計算した波動関数の解$e^{-\kappa x}$をそのまま使っています。その狭い範囲内で、$x$が$\delta x$変化した、と考えてます。 -- 前野?
- なるほどです。わかりました。 -- さけ?
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